第4章 小专题培优7 全等三角形中的常考模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

小专题培优7 全等三角形中的常考模型 模型1平移型(2017.15) 模型展示 公热A八 B CE F 模型特点 两个三角形有一组边共线，另外两组边分别平行 (1)加（减）共线部分，得到边对应相等： 解题思路 (2)利用平行线性质找角对应相等 1.如图，∠B=∠E,AB∥CE,AC=CD,求证：2.真题(2017云南15题6分)如图，点E,C在 △ABC≌△CED. 线段BF上，BE=CF,AB=DE,AC=DF.求证： ∠ABC=∠DEF. 第1题图 B 第2题图 模型2轴对称型(2023.18：2022.11：2021.16：2020.16：2019.16：2018.16) 有公共边 模型展示 有公共顶点 模型特点 将所给图形沿某条直线折叠，直线两边能完全重合 (1)找公共边、中点、相等边、线段的和（差）等条件得对应边相等： 解题思路 (2)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等 78 众相原创赋能中考云南数学 3.真题(2018云南16题6分)如图，已知AC平4.真题(2021云南16题6分)如图，在四边形 分∠BAD,AB=AD.求证：△ABC≌△ADC. ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于 点E.求证：∠DAC=∠CBD. B 第4题图 第3题图 模型3旋转型(2024.21) "人△」守A 共顶点 模型展示 等边三角形 等腰三角形 正方形 “手拉手” “手拉手” “手拉手” 不共顶点 y Ay 共顶点：绕着公共顶点旋转一定的角度后，可得两个三角形重合： 模型特点 不共顶点：绕一点（非顶点）旋转一定的角度可得两个三角形重合 共顶点：遇到夹角，则应用角的和差转化成一组相等的角： 解题思路 不共顶点：(1)利用公共边的和差转化推出等边：(2)利用平行线的性质推出等角 第四章三角形79 5.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为6.如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形， BC延长线上一点，且CE=CF.求证：∠EBC= 点D在边AB上，∠BAC=∠DEC=90°，AE∥ ∠CDF. BC.探索AC,AD,AE之间的数量关系，并证明. D B 第6题图 第5题图 模型4一线三等角型 模型展示 A P B A P B 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 (一线三垂直) 结论 如图，点A,P,B共线，∠1=∠2=∠3，PC=PD(或AP=BD或AC=PB),则△CAP≌△PBD 模型特点 三个等角的顶点在同一直线上，且两个等角的边在同一直线 7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线8.如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上 m经过点A,BD⊥m于点D,CE⊥m于点E,求 一点，且CA=CB=BD,∠CDE=∠A.求证： 证：△ABD≌△CAE. △CDE是等腰三角形. 第7题图 第8题图 80众相原创赋能中考云南数学 模型5半角模型 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 等腰三角形含半角（∠BDC=120 模型 45 展示 X454 B E C 结论 △AFE≌△AGE,EF=BE+DF △DAE≌△DAF,BD+CE=DE △EDF≌△GDF.EF=BE+CF 模型 由一组共端点的等线段和共顶点的半角组成 特点 解题 (1)“半角模型，必旋转”根据旋转的性质及等量代换得到相等的线段和角： 思路 (2)运用已知几何图形的性质证明三角形全等 9.如图.已知四边形ABCD是正方形，E,F分别是10.如图，△ABC是边长为5的等边三角形，BD= AB,BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点 CD,∠BDC=120°，E,F分别在AB,AC上，且 D逆时针旋转90°，得到△DCM.求证：EF=MF ∠EDF=60°，求△AEF的周长 D H F 第9題图 D 第10题图 第四章三角形 81 模型6对角互补模型(2022.23) 模型展示 模型特点 ∠AOB+∠DCE=180°，CD=CE 过点C分别作OA,OB的垂线OG,OH,则在EB上截取EF=OD,连接CF,则△COD 解题思路 △CGD≌△CHE ≌△CFE 11.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB,12.如图，四边形ABCD为对角互补四边形，且满 ∠ABC+∠ADC=180°，E为DB的中点，求 足∠BAD=60°，AB=AD,求证：CA=CB+CD. 证：CE⊥BD. B 第12题图 第11题图 82众相原创赋能中考云南数学第四节 全等三角形 . △DGE △DGF(SAS)..FG=FG 一阶 教材知识全梳理 CE=BF$BF+BG=FG $CE+BG=EG ①完全重合 ②相等 ③相等 ④相等 相等 (5)解:由(1)知.△ADC△ADB. 相等 三边 ⑧夹角 夹边 对边 $. EAD= GAD=30$$$ ADC= ADB= 二阶 追本溯源练考点 '. C= ABD=90$$DB1AB,DC1AC 1.D [AE=AG. 在△ADE和△ADG中. 2.(1)AB=DE (2) A= D (3)AC=DF和AB=DE$$$ EAD=_GAD, (4)AC=DF (5)证明略 AD=AD. 3.证明略 '.△ADE△ADG(SAS)..Sr=Sc- 4.证明略 三阶 分层设问攻重难 AC=AB, . Smeune=2S=48. 5.(1)解:在△ADC和△ADB中. DC=DB, 小专题培优7 全等三角形的常考模型 LAD=AD. 1.证明略 .△ADC△ADB(SSS):.LADC=ADB 2.证明略 .CDB=120”. . ADB-CDB=60”. 3.证明略 4.证明略 (2)证明:CAB+C+CDB+ABD=360. 5.证明略 $AB=60*.$CDB=1 2 0$$ C+ ABBD=18 0$$ 6.解:如解图,过点E作EF1AE交AC于点F,则乙AEF ' ABD+ DBF=180* C= DBF$ -90%. rCE=BF. ·△ABC和△EDC都是等腰直角三角形, 2C=乙DBF. 在△DEC和△DFB中. $. B= ACB=45*$DE=CE [CD=BD. :AE/BC EAC= ACB=45* . △DEC△DFB(SAS).:DE=DF 2.△AEF是等腰直角三角形.:.AE=FF (3)解:CE+BG=EG. DEC= AEF=90*$'$ AED= $FEC$$$ 证明如下: CDB=120*ZEDG=60 . △ADE△FCE(SAS)...AD=CF. . CDE+BBDG=12 20*-60*}=60。 在Rt△AEF中,AF=/2AE. 由(2)知.△DEC△DFB. $AC=AF+CF=2AE+AD,即AC=2AE+AD 8. CDE= BDF DE=DF. . GDB+ BBDF=6 0$,即 $FDG=6 0$$ '. 乙EDG=乙FDG DE-DF, 在△DEG和△DFG中. 乙EDG= FDG. B LDG=DG. 7 第6题解图 . △DEG△DFG(SAS).:. FG=EG 7.证明略 :CE=BF BF+BG=FG $$CE+BG=FG$$$ 8.证明略 1a时,CE+BG=EG仍然 (4)解:当乙EDG=90*- 9.证明略 成立。 10.解:如解图.延长AC至点P.使CP=BF.连接PD '△ABC是等边三角形,.乙ABC=乙ACB=60。 理由如下:由(1)得△ADC△ADB. $$D=CD$$ BDC= 12 20$. DBC= DCB=30$$$ . EBD= DCF=90*$ DCP= DBE= 0$$$ BD=CD. .乙EDG-900- 2._EDG= BDA= CDA 在△BDE和△CDP中. 乙DBE=/DCP. . EDA+ ADG= ADG+ GDB= CDE+ EDA BE-CP. '. CDE= ADG. EDA= GDB . △BDE△CDP(SAS). 同(2)理知△DEC△DFB. :.DE=DP. BDE= CDP . BBDF= CDE DE=DF . ADG= BDF : BBDC=120*$ EDF=60* '. 乙BDE+ CDF=60*. . 乙GDB+ BDF=90*- 2。 .CDP+ CDF=60*},即 PDF=60 '.乙EDG=LFDG '. 乙EDF= PDF=60 DE=DF. DE=DP. 2EDG=乙FDG, 在△DEF和△DPF中, 在△DGE和△DGF中. {_EDF=.PDF. DG=DG. LDF=DF. 云南数学 13 . △DEF△DPF(SAS).:.EF=FP 过13.24.B .FP=FC+CP.:.EF=FC+BE. 5.D 【解析】:四边形ABEF是正方形,BE=AB.一四 '. AEF的周长=AF+EF+AE=AF+FC+BE+AE= 边形ABCD是矩形...AB=CD...BE=CD.矩形 AC+AB=10 CEFD与矩形ABCD相似,.. AB CE BE CE BCCBE 5+1.故选D. 2 , + 6. 7.9 8.(1)6 (2)2/15 D 过9.D 第10题解图 三阶 分层设问攻重难 11.证明:如解图,过点C分别作CF1AB于点F.CG1AD 10.(1)证明: AFF·BE.-A FEAE 交AD延长线于点G ·乙ABC+ ADC=180*$ ADC+ CDG=180$$$ .LAEF= BEA.. △AEF△BEA. $. CDG=乙ABC.即 CDG= CBF (2)证明:·AB=AD..乙ABD=乙ADB. ·AC平分乙BAD.:CG=CF 由(1)知△AEF△BEA.. 乙EAD=乙ABE . 乙G=ZCFB=90 ABD= ABE+ CBE, ADB= EAD+ C .△CDG△CBF(AAS)..CD=BC . 乙CBE= C.:.BE=EC E为DB的中点.:CE1BD. (3)解:如解图1.过点A作AM1BD于点M,交BE于 / 点G,连接GD. B D 第11题解图 第10题解图1 12.证明:如解图.延长CB至点M.使得BM=CD.连AM ·AB=AD.AM1BD. :ADC+ ABC=180*$ ABM+ ABC=180$ .BM=MD.即AM为BD的垂直平分线. '. 乙ADC=乙ABM $. GB=GD. GBC=乙GDB 由(2)知乙CBE= C. GDB= C..GD//EC. 'AD=AB.CD=MB.$$ CAD$ MAB(SA$) .△BCD~△BEC. DBD GD BD '. CAD= MAB,AC=AM$ CAM= MAB+$ CAB= CAD+ CAB= BAD=60$$$$ .BD:CD=4:3.. GD BD 4 .△ACM为等边三角形, ECC=7 GD4 .CA=CM=CB+BM=CB+CD 32 , . BD:CD=4:3.BM=MD. . WD:DC=2:3.: ·GD/EC.:.△MGD△MAC. GD MD 2 第12题解图 第五节 相似三角形(含位似) .AC80 一阶 教材知识全梳理 (4)解::△ABC是等边三角形, ①# 成比例 ④相等 相似比 , .AB=BC. ABD= BCE. 相似比 ⑧相似比的平方 相等 成比例 [AB=BC. 在△ABD和△BCE中. LABD= BCE. 夹角 相等 成比例 相似比 相似比的平方 IBD-CE. 相似比(x,by)或(-kx,-by) 二阶 追本溯源练考点 . △ABD△BCE(SAS). 乙BAD= CBE. .乙BDA-L FDB. . △ABD~△BFD. ADFD' AD BD 1.C 2.(1)c=4(2)c=-4 BD=AD·FD=(AF+FD)·FD=8.$$ 14 众相原创 赋能中考