第4章 第1节 线段、角、相交线与平行线-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第四章 三角形 第一节 线段、角、相交线与平行线 阶了教材知识全梳理 考点1直线和线段 (1)两点确定一条直线： 两个基本事实 (2)两点之间，① 最短 两点间的距离 连接两点间的② 如图，在线段AC上有一点B,则有AB+③ =AC:AB=④ 线段的和差 ⑤ :BC=⑥ -⑦ 如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,点M叫做线段AB的中点，即 线段的中点 AM=BM=⑧ AB AM B 考点2角与角平分线 角的 锐角 直角 钝角 平角 周角 分类 0°<&<90° ax=90° 90°<a<180 a=180° a=360° 角的 角的度、分、秒是⑨ 进制.即1°=60'，1'=60" 换算 概念 若∠1+∠2=0 白∠1和∠2互为余角 余角 性质 同角（或等角）的余角① 概念 若∠1+∠2=2 台∠1和∠2互为补角 补角 性质 同角（或等角）的补角 从一个角的顶点出发，把这个角 概念 如图，PM⊥OA,PN⊥OB. 分成两个相等的角的射线 角平 角平分线上的点到这个角的两边 性质 分线 的距离到 角的内部到角两边距离 (1)OC平分∠AOB=LAOC=∠BOC=0 ∠AOB: 逆定理 的点在这个角的平分线上 (2)OC平分∠AOB台PM=PN 第四章三角形 61 考点3相交线和垂线 1.三线八角 对顶角 对顶角 ,即∠1=∠3，∠2=∠4，∠5=∠7，∠6=∠8 邻补角 4入 互为邻补角的两个角之和等于⑧ (邻补角互补)，即∠1和 32 ∠3都与∠2，∠4互为邻补角：∠5和∠7都与∠6，∠8互为邻补角 同位角 ∠1与四 ∠2与∠6，∠4与∠8，四 与∠7 内错角 ∠2与∠8，∠3与④ 同旁内角 ∠2与2 ,∠3与∠8 2.垂线 基本事实 在同一平面内，过一点有且只有② 直线与已知直线垂直 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，4 最短 点到直线的距离直线外一点到这条直线的 3.线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离国 .如 性质 图，直线I垂直平分线段AB于点C,则PA② PB C B 逆定理 到线段两端点距离四 的点在这条线段的垂直平分线上 考点4平行线 平行公理 公理：过直线外一点，有且只有四 条直线与已知直线平行 及推论 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相30 (1)两直线平行一同位角到 如图，a∥b白∠1= 包 平行线 (2)两直线⑧ 一内错角相等.如图，到 的性质 ∠4=∠3： 与判定 (3)两直线平行一同旁内角 如图，a∥b白∠3+ ∠2=网 概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 平行线间 间的距离 的距离 性质：两条平行线间的距离处处 考点5命题 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫做命题.一般地，命题由题设和结论两部分组成 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题 在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一个命题的结论是 逆命题 另一个命题的题设，把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题 62 众相原创赋能中考云南数学 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 函考点1直线和线段 足分别为C,D, 1.(1)如图1，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置 (1)求证：∠PCD=∠PDC: 分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能 (2)求证：OP是线段CD的垂直平分线， 使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知 识是 D R 第4题图 图1 图2 第1题图 (2)教材（人教七上P128思考改编）如图2， 从甲地到乙地有四条道路，路程最短的一条是 用到的数学原理是 2.教材（人教七上P130T10改编）点A,B,C在 同一条直线上，若AB=3cm,BC=1cm,则AC 的长为 cm. 召考点2相交线和垂线 3.教材（人教七下P8T8改编）如图，直线AB与 CD相交于点0，OE平分∠AOD,∠AOD=8524'. (1)∠AOD是 (填“锐角”或“钝角”)； 留考点3平行线(8年5考) (2)∠AOD的余角等于 °，LA005.真题(2023云南3题3分)如图，直线c与直 的补角等于 线a,b都相交.若a∥b,∠1=35°，则∠2 (3)∠AOE= °，∠COB= () (4)若点P是OE上一点，点P到直线AB的距 A.145 B.65 C.55 D.35 离为2，则点P到直线CD的距离为 一题多点 3 第5题图 第6题图 6.教材（人教七下P24T8改编）当光线从空气 [8 射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这 第3题图 就是光的折射现象（如图所示），图中∠1= 4.教材（北师八下P32T3改编）如图，已知P点 80°，∠2=40°，则∠3的度数为 () 是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA,PD⊥OB,垂 A.30° B.40 C.50 D.70 温馨提示 请完成分层进阶练习册P31习题 第四章三角形 63整理，得4+1+18=0，解得气=-号=-2 解得m1, In=3. 当=-时y=号：当=-2时y=3. ∴.直线BM的解析式为y=x+3. 设点H的坐标为(h,-h2-2h+3)(-3<h<0),则K(h. 交点坐标为(-子号)和(-2.3) h+3) .HK=-2-2h+3-(h+3)=-2-3h. 4 ⑥将一次函数y=3x+6图象向下平移n个单位长度后 sm=孤·0=(-后-h)x3=-a+ 4 得到的图象对应的函数解析式为y=3+6-m + :平移后的图象与反比例函数图象只有一个交点， 一子<0当么=-子时，。m有最大值，最大值为 3 号+6-n=-整理，得4+3(6-nx+18=0 x 则4=[3(6-n)]2-4×4×18=0, 名此时--2h+3=经 解得，=6-42，m2=6+42(舍去)， ∴点1的坐标为(- 315 ·.当两个图象只有一个交点时，n的值为6-42：当两个 24 图象没有交点时，n的取值范围是n>6-42 第四章三角形 (4)①A(1,0),B(-3,0) 第一节线段、角、相交线与平行线 .抛物线的对称轴为直线x=-1 一阶教材知识全梳理 :抛物线的顶点在线段CD上，∴.顶点坐标为(-1,4)， ①线段②线段的长度③BC④AC⑤BC⑥AC “设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4. ⑦B⑧ ⑨60090°①相等12180°13相等 将A(1,0)代入，得0=a(1+1)2+4,解得a=-1, “抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3. 雪相等雪相等匹} 相等⑧180°四∠5 ②·顶点(-1,4)绕点A(1,0)旋转180得到的点的坐标 为(3，-4)， ①∠3①∠5②∠5②一条4垂线段 .旋转后的抛物线的顶点坐标为(3，-4)，二次项系数为1， 巧垂线段的长度少相等四=②相等②一 .旋转后的抛物线的解析式为y=(x-3)2-4=x2-6x+5. 团平行①相等@∠2⑧平行④a∥b互补 ③y,>y.理由如下： 30180°m相等 由①知，抛物线的对称轴为直线x=-1. 二阶追本溯源练考点 1.(1)两点确定一条直线(2)③两点之间，线段最短 :点S,T都在抛物线上，且-2≤x,<-1,0<x<2 2.2或4 一点S与对称轴的距离为x,+11,且0<1x+1山≤1，点T与3.(1)锐角(2)4.694.6(3)42.785.4(4)2 对称轴的距离为，+1，且1<比+1<及， 4.(1)证明略 (2)证明略 “点S与对称轴的距离小于点T与对称轴的距离. 5.D6.B :抛物线的开口向下，与对称轴的距离越小的点的纵 第二节三角形及其基本性质 坐标越大，y,>y 一阶教材知识全梳理 ④如解图2.过点H作HK∥y轴交BM于点K ①等边三角形②直角三角形.③90°④90°⑤大于 C' AY ⑥小于⑦等于⑧和⑨大于0等角①c2c 43180°0∠B0590° 二阶追本潮源练考点 1.(1)1<AC<5(2)①85°②40°③17.5°④62.5 2.B【拓展设问】C 3.(1)①垂心②40°130°(2)①19②18③1：2 解图2 (3)①115°25°②2 由①知，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 第三节等腰三角形与直角三角形 令x=0,得y=3..点M的坐标为(0,3) 一阶教材知识全梳理 设直线BM的解析式为y=mx+n(m≠0). ①相等②相等③相互重合④相等⑤相等 将B(-3,0),M(0,3)代入，得-3m+n=0, n=3, 660°⑦轴83⑨60°W(180°-am)①45 10众相原创赋能中考