第3章 小专题培优4 二次函数中的线段、面积和存在性问题-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

6.C7.D8.b<-2或b>2 轴，.∴.c>0,.abe<0,故①错误：二次函数图象与x 三阶分层设问攻重难 轴交于不同两点，则4=-4ac>0,.2>4ac,枚②错 9.解：(1)A0=5,0D:AD=3:4, .设0D=3a,AD=4a,则A0=5a=5.解得a=1. 误：-名16=-2m又：当=-1时y<0,即 .点A(3,4),∴，m=3×4=12 a-b+e<0,.2a-2b+2c<0.∴.-3b+2e<0..2c< 云反比例函数的表达式为y=2 3b,故③正确：当x=1时，函数有最大值，.当x=1 B(-6,-2). 时的y值大于当x=m(m≠I)时的y值，即a+b+c> 将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=:+b,得 m(am+b)+c,∴a+b>m(am+b)(m≠1)成立，故④ 2 4=3k+b k= 正确：将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，此时 1-2=-6h+6 解得 3 函数图象与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的 1b=2. 轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个 2 一次函数的表达式为y=了+2 根的和为4，故⑤错误综上，③④正确，故选A 4.(1)y=-x2+2x+3(2)y=(x-2)2+8 (2)不等式”-：-b<0的解集为-6<x<0或x>3. (3)y=x2-4x+3(4)y=-x2+2x+3 (3)如解图，设一次函数的图象交y轴于点M,则点M (5)y=x2-2x-2 的坐标为(0,2).0M=2. 5.B【拓展设问】11 6.(1)x1=-3,=0(2)x=-3,x=1 六Sam=20(x-xn）=2 ×2×(3+6)=9. (3)-3<x<1(4)2 三阶分层设问攻重难 7.解：(1)二次函数图象与x轴的交点坐标分别为(3,0)， (-1.0). (2):点(0，y,),(3,为)在函数图象上， .y1=-2a+1,y2=4a+4, .y1-为3=-2a+1-4a-4=-6m-3, 第9题解图 当a<-2时>%：当a=-时=： (4)设点P(0,m),而点A,0的坐标分别为(3,4)，(0,0)， 则AP2=9+(m-4)2,A0=25,P02=m2, 当-3<a<0时，<为 当AP=A0时，9+(m-4)2=25,解得m=8或0（舍去0）： (3)二次函数y=ax2-(a-1)x-2a+1(a为常数， 当A0=P0时，同理可得m=±5：当AP=P0时，同理 且a<0)的图象与直线y=-2a+3有且仅有一个 可得m=2 交点， 8 ∴ax-(a-1)x-2a+1=-2a+3有两个相等的实数 综上，P点坐标为(08)或0,5)或0，-5)或0，总. 根，整理得ax2-(a-1)x-2=0. 4=(a-1)2+8a=0,即a2+6a+1=0. 第五节二次函数的图象与性质 a为常数，且a<0. 一阶教材知识全梳理 ①-六2%⑧-六④ ⑤(h,k) 两边同时除以a,得】+a+6=0,即a+。=-6, 6减小 ⑦增大⑧增大⑨减小国-六 la-=√a+-4=42a- =±42. ①小②小 a Bg-名B大雪大 ⑧左侧 =a+a-)=242或-242 9右侧0-1①-1②-28a(x-m)2+b(x- 小专题培优4二次函数中的线段、面积和 m)+c ax'+bx+c-m a(x-h-m)2+k 存在性问题 a(x-h)2+k-m⑦两个四一个四无刻上方 1.解：(1)抛物线与x轴交于点A(-3.0),B(1,0) 团下方 六设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)， 二阶追本溯源练考点 将点(2,5)代入y=a(x+3)(x-1)中，得 1.(1)上(0,3)x=-1(2)(-1,1)(3)<-1 5=a(2+3)(2-1),解得a=1, >-1(4)y≥11≤y≤31≤y≤9(5)为<y:<为 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 2.C (2)由(1)知点C的坐标为(0，-3). 3.A【解析】：图象开口向下，.a<0.对称轴在y轴 设直线AC的解析式为y=+(k≠0)，将点A(-3, 的右侧，∴.a与b异号，∴b>0.图象与y轴交于正半： 0),C(0.-3)代入解析式， 6众相原创赋能中考 得-3欢+1=0 1u=-3, 解得=-1， 1=-3, ∴直线AC的解析式为y=-x-3. :一弓<0当1=名时5w最大.最大值为管 设点M的坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0)，则点N的 坐标为(x,x2+2x-3), MN=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x=-(x+ :-1<0当=-多时，线段长度有最大值？ 2.解：(1)在y=-x2+4x+5中，令y=0,则-x2+4x+ 第3题解图 5=0,解得x=-1,=5,B(5,0). 4解：(1)该抛物线的解析式为y=了2--4 在y=-x2+4x+5中，令x=0,则y=5, (2)如解图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q. C(0,5).BC=3+5=52 由(1)知C(0,-4), (2)如解图，连接PB. ,B(40),点D为BC的中点， :点A与点B关于直线I对称，PA=PB, 六直线BC的解析式为y=x-4,D(2,-2). .PA+PC=PB+PC, 当点C,P,B共线时，PB+PC=BC最小，即为PA+PC 设Pm,2m2-m-4)0<m<4),则0m,m-4 的最小值. 1 ∴.PQ=- 由(1)可知，C(0,5),B(5,0). 2m+2m. 易得直线BC的解析式为y=-x+5, 5aw=P0:化-o=-m-22+2 :对称轴I为直线x=2,且与直线BC相交于点P, 1 .在y=-x+5中，令x=2,则y=3, 2 <0,0<m<4 .当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(2,3). 当m=2时，Saw最大，最大值为2 第2题解图 3解：()抛物线L的解析式为y=一+2+1 第4題解图 (2)如解图，过点P作PE∥y轴，交直线AB于点E,设抛物 5.解：(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3,D(1,-4). 线与x轴在对称轴右侧的交点为D (2)存在点Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形为 :抛物线的对称轴直线x=2交x轴于点A,.A(2,0). 矩形 在y=-子产+2x+1中，当x=0时y=1B0.. 设P(1,m),Q(s,),由A,C的坐标得AC=10,当AC为 对角线时，由中点坐标公式和AC=PQ,得 设直线AB的解析式为y=x+n(k≠0)，则 ,-1=8+1, 1 2k+n=0, 「k=- -3=m+1, 解得-或-2 解得 21 n=1, 10=(s-1)2+(t-m)2, lt=-2,=-1, ln=1, 即Q(-2,-2)或(-2，-1)： 直线AB的解析式为y=-2x+1. 当AP或AQ为对角线，由中点坐标公式和AP=CQ或 在y=-2+2+1中，令y=0.则-号2+2x+1 r1-1=8, AQ=CP,得{m=t-3, 0,解得x=2±6，∴D(2+6,0). m2+4=s2+(t+3)2, 设P,-2+2+).则E,-之+1)， r8-1=1, 或{1=m-3, “P是第一象限内且在对称轴右侧的抛物线上的一个 (x+1)2+2=1+(m+3)2. 动点，2<t<2+6 r8=0, r8=2, 易得PE=宁+之， 3 云南数学7 综上，点Q的坐标为(-2，-2)或(-2，-1)或0， 线段AB所表示的y,与x之间的函数表达式为为= 或2.子. 6*+60 (2)设产量为xkg时，获得的利润为W元，根据题 6.解：(1)抛物线的函数表达式为y=-x2-6x-5. 意，得 (2)在抛物线上存在点P,使得△BPE是以BE为直角 边的直角三角形. W=[-3x+90-(- 6*+60)]=- 6r2+30x= y=-x2-6x-5=-(x+3)2+4, “.抛物线的对称轴为直线x=-3 6(x-90)2+1350. :抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点 -石<0.0<x≤120， E,点E的坐标为(-3，-2)，则DE=D=2, .∠ABE=∠BED=45 ∴.当x=90时，W取得最大值，最大值为1350. 当∠EBP=90时，则∠ABP=45°，过点P作PQ⊥OA于点 答：该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润 Q,如解图，则△BPQ是等腰直角三角形.∴.PQ=BQ 是1350元 运用待定系数法可得直线BP的函数表达式为y=一x-【 :2.解：(1)设AB=bm,则BC=(100-2b)m, 抛物线y=-x2-6x-5与直线BP交于B,P两点， 根据题意，得(100-26)=450，解得b1=5,b2=45. 六联立-6c-5解得4 当b=5时，100-2b=90>20,不合题意，舍去： y=-x-1, 当b=45时，100-2b=10. y1=3,ly2=0, .点P的坐标为(-4,3)： 答：所利用I旧墙AD的长为10m 将直线BP平移至经过点E,此时直线与抛物线的交点 (2)设AD=xm,矩形菜园ABCD的面积为Sm2, 分别为P,P,则∠BEP,=∠BEP2=90°，可设直线 则s=7(100-)=-分(x-502+1250(0< P,P的函数表达式为y=-x+m,将E(-3,-2)代 x≤40) 人，得-2=3+m,解得m=-5, 直线P,P的函数表达式为y=-x-5 六联立6-5解得=0,55 :一弓<0当x<50时.S随x的增大面增大。 二当x=40时，S有最大值，最大值为1200. ly=-x-5, ly1=-5,ly2=0, 答：矩形菜园ABCD面积的最大值为1200m. 点P的坐标为(0，-5)或(-5,0). 3解：(1)由题意，当8≤x≤32时，设y=红+b(k≠0). 综上所述，在抛物线上存在点P,使得△BPE是以BE 为直角边的直角三角形，点P的坐标为(-4,3)或(0， 则26=150解得怎 L32k+b=120. 1b=216. -5)或(-5,0) y=-3x+216: 当32<x≤40时.y=120: 「-3x+216(8≤x≤32). “—+ 综上，=120(32<x≤40). (2)设利润为W元， 当8≤x≤32时，W=(x-8)y=(x-8)(-3x+216)= CP) -3(x-40)2+3072. -3<0,对称轴为直线x=40. 第6题解图 二当8≤x≤32时，W随x的增大而增大， 第六节 二次函数的实际应用 当x=32时，W有最大值，W大=2880： 二阶追本溯源练考点 当32<x≤40时，W=(x-8)y=120(x-8)=120x-960. L.解：(1)由题意知线段CD所表示的为与x之间的函数 120>0,∴.F随x的增大而增大。 表达式为=-宁+90(0<≤120)， 六当x=40时，W有最大值，W大=3840. 3840>2880,∴.最大利润为3840元. 当为=50时，-3+90=50，解得x=120, 4.解：(1)由题意得水面宽O4是8m,桥拱顶点B到水面 的距离是4m, .D(120,50),B(120,40). 结合函数图象可知，顶点B(4,4),点0(0,0)， 设线段AB所表示的y,与x之间的函数表达式为为= 设二次函数的表达式为y=a(x-4)2+4(a≠0)， r+b(k≠0)， 则/=60， 将0(0.0)代人函数表达式，解得a=-4 6 1120k+b=40 b=60. 六二次函数的表达式为)=-}(x-4)244,即y 8众相原创赋能中考小专题培优4 二次函数中的线段、面积和存在性问题 类型①线段问题(2020.23(2) 2.如图，已知抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C 已知A(x1,y),B(,2) (I)求线段BC的长： (1)若AB∥x轴，则AB=x1-x2: (2)点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当 线段长 (2)若AB∥y轴，则AB=y-为2： PA+PC的值最小时，求点P的坐标 (3)若AB与坐标轴不平行，则 AB=V(x-本)产+(-了 (1)利用二次函数性质求最值： 线段 (2)利用对称性求线段和最值，即将军饮 最值 第2题图 马问题（详情见P145) 1.如图，抛物线y=ax2+br+c(a≠0)与x轴交 于A,B两点，其中点A的坐标为(-3,0)，点B 的坐标为(1,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+ bx+c上 (1)求抛物线的解析式： (2)点C为抛物线与y轴的交点，设点M是线 段AC上的动点，作MN⊥x轴交抛物线于点N, 求线段MN长度的最大值. 第1题图 50众相原创赋能中考云南数学 类型2面积问题(2017.21(2) 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ bx-4与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y 方法 图示 结论 轴交于点C,点D为BC的中点 (1)求该抛物线的解析式： 公式 如图，过点C作△ABC的 (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点， 法 高h,则SAMc= 求△BDP面积的最大值， 如图，过点B作BD∥y轴交 AC于点D,则S△=S△+ D 割补 0 Sm=7BD(e-) 法 如图，过点A,B,C构造矩 形CEFG,则SAe= 第4题图 S矩ECBG-SAADE-SACn 等积 如图，过点A作AM∥BC, 转换 法 连接BM,则SAAC=SAM (0M 3.已知：若抛物线L:y=ax2-2ax+x+1(a<0》 与y轴交于点B,顶点为C,对称轴是直线x= 2,对称轴与x轴交于点A. (1)求抛物线L的解析式： (2)如图所示，P是抛物线上的一个动点，位于 第一象限内且在对称轴右侧，连接BP,AP,求 △ABP的面积的最大值. 第3题图 第三章函数51 类型3存在性问题(2020.23(3) 6.如图，已知抛物线y=ax2-6.x+c(a,c为常数， 且a≠0)与x轴交于A,B(-1,0)两点（点A在 5.如图，抛物线y=ax2+br+c的对称轴是直线 ,点B左侧)，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的 x=1,与x轴交于A,B两点，且A点的坐标为 对称轴与x轴交于点D,与经过点B的直线y= (-1,0),与y轴交于点C(0,-3) x+1交于点E. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标： (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角 (2)在抛物线上是否存在点P,使得△BPE是 坐标系中是否存在点Q,使以点A,C,P,Q为顶 以BE为直角边的直角三角形？若存在，求出 点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q 所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说 的坐标；若不存在，请说明理由。 明理由 第5题图 第6题图 52众相原创赋能中考云南数学