专题4.2 视图（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题4.2 视图 教学目标 1、理解视图、主视图、左视图、俯视图的概念；知道三视图本质是正投影。 2、掌握三视图的绘制规则：长对正、高平齐、宽相等；会画圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥以及简单组合体的三视图。 3、能根据给出的三视图想象、还原对应的几何体，判断几何体形状。 4、能看懂三视图中标注的尺寸，结合几何体表面积、体积公式进行简单计算；分清看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 5、经历观察实物、绘制视图、由视图想象立体图形的过程，发展空间观念与几何直观；在画图、识图过程中，体会转化思想：立体图形 ↔ 平面三视图；通过观察组合几何体，学会分解几何体，提升读图、推理能力。 6、体会三视图在工程制图、建筑设计中的实际价值，感受数学的应用价值；养成规范画图、细心观察的习惯，提升空间想象的学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的画图原则。 （2）会画简单几何体与简单组合体的三视图，区分实线与虚线。 （3）根据三视图识别、还原几何体；利用三视图所标数据，求几何体体积、表面积。 2.难点 （1）理解 “长对正、高平齐、宽相等”，画图时容易出现尺寸不对应。 （2）组合几何体的三视图：看不见的棱容易忘记画虚线。 （3）由三视图还原几何体（尤其是由小正方体搭成的组合几何体），判断小正方体的个数，容易漏数、多数。 （4）结合三视图进行表面积计算：容易忽略被遮挡重合的面，多算或者少算面积。 知识点1 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图（view）． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图（front view）；从左面得到的视图叫做左视图（left view）；从上面得到的视图叫做俯视图（planform view）． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 【即学即练】 1．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从左面看几何体，一共有两列，左边第一列有两个正方体，第二列有一个正方体，第一列与第二列下对齐． 2．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是该几何体的俯视图，故不符合题意；B、是该几何体的左视图，故不符合题意； C、不是该几何体的三视图，故不符合题意；D、 是该几何体的主视图，故符合题意． 3．（2026·江苏南通·中考真题）如图所示的四个几何体中，主视图是三角形的是（     ） A．圆柱 B．正三棱柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：A.圆柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意； B.正三棱柱的主视图是矩形且矩形中间有一条竖向的轮廓虚线，故本选项不符合题意； C.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；D.圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意． 4．（2026·宁夏·中考真题）如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 5．（2026·山东临沂·模拟预测）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为长方形，长方形，长方形，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，长方形及对角线，故D选项不符合题意．故选：A． 知识点2 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 【即学即练】 1．（25-26九年级下·广西·单元复习）画出下列几何体的三视图． (1) (2) 【答案】(1)该几何体的三视图如图所示： (2)该几何体的三视图如图所示： 2．（25-26九年级下·江苏·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 【答案】题图1、题图2中几何体的三视图分别如图1、图2所示：      3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）画出下面几何体的三视图． 【答案】作图如下： 知识点3 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【即学即练】 1．（2026·山东济南·模拟预测）在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据该几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的直观图如下图所示， 据此画出该几何体的左视图如下图所示，故选D． 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】A 【详解】解：根据主视图和俯视图是长方形可知，该几何体是柱体，左视图判断几何体的底面形状是圆，说明几何体是圆柱． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由俯视图可知，该几何体的底层有3个小正方体，且最底层的形状为： 四个选项中，只有B选项中的几何体符合题意． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________；(2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱(2) 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，，∴，∴， ∴，∴该几何体的体积为：． 5．（25-26九年级上·山西运城·期中）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐，∴左视图的周长为：，故答案为： （2）∵由主视图可知，左视图可知，设交于O，可知， ∴，， 又∵，，∴，∴，故答案为： （3）由（2）可知：，故答案为： （4）由（2）可知：，故答案为： 题型01 判断简单几何体的三视图 【典例1】1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的俯视图是． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为：． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：该几何体的主视图为： ∵小正方体的棱长为1，∴该几何体主视图的面积为． 【变式3】（2026·海南·中考真题）下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故A符合题意； B．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意； C．圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是带圆心的圆，故C不符合题意； D．圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意． 题型02 判断组合体的三视图 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下：故选项C符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图是： 【变式2】（2026·西藏·中考真题）如图，“圭表”是我国古代用于测量日影长度的天文仪器，该仪器的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该仪器的主视图是：． 【变式3】（2026·江苏盐城·中考真题）小明在新四军纪念馆看见了老一辈无产阶级革命家刘少奇、陈毅曾使用过的水壶（如图1）．图2是其示意图，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、呈现的是从正前方观察水壶，能看到左侧壶嘴，下方的壶身，上方的环形提手以及壶口轮廓，符合题目指定的主视图方向． B、呈现的是从水壶的侧面（正对壶嘴的方向）观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． C、呈现的是从水壶的正上方俯视观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． D、呈现的是从水壶的侧面（壶嘴的相反方向）观察得到的视图，不符合题目指定的主视图方向． 【变式4】（2025·山东菏泽·一模）斗拱是我国古建筑中的重要部件，一种斗形木构件“三才升”的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从左面看，上面部分是长方形，下面部分是梯形，长方形内部有一条看不见的线，应该画虚线，故左视图为． 题型03 判断非实心几何体的三视图 【典例1】（2026·浙江湖州·模拟预测）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 【变式1】（26-27九年级上·陕西·期中）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 【变式2】（2026·海南海口·二模）米斗是古代粮仓中不可或缺的粮食计量器具．如图1所示，这是一种无盖米斗，其不计厚度的示意图如图1所示，那么它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题干图可知，它的俯视图是 【变式3】（2026·河南新乡·二模）如图，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体的俯视图是． 题型04 画出指定几何体的三视图 【典例1】（25-26九年级上·广东·期末）如图是由8个小正方体搭成的几何体．请在对应网格中画出从正面、左面和上面看该几何体得到的形状图． 【答案】解：如图所示． 【变式1】（25-26九年级下·湖南·期末）如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【答案】如图所示 【变式2】（26-27九年级上·广东·校考期中）按要求完成下列各题： (1)画出图中各个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)请找出一些与图中几何体形状类似的物体，并尝试画出它们的三种视图． 【答案】(1)解：第1个图可以看成圆柱与球的组合体；第2个图可以看成圆锥和半球的组合体，第3个图可以看成两个圆锥的组合体．它们的三种视图分别是： (2)解：画图如下： 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】解：如图所示，即为所作的三视图． 【变式4】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 【答案】该几何体的三视图如图所示． 题型05 根据三视图判断几何体形状 【典例1】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江·期中）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵主视图是直角三角形，故A，C，D选项不合题意，故选项B符合题意． 【变式2】（2026·山西·中考真题）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察主视图发现右上角缺失三角形，排除B、C选项； 观察俯视图发现右下角缺失三角形，D选项俯视图缺失长方形，排除D选项；∴该几何体可能是A选项． 题型06 根据部分三视图还原未知视图 【典例1】（2026·山东潍坊·二模）某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由主视图和左视图可知，工件由大小两个长方体组成，上层的小长方体在下层的大长方体中间，∴其俯视图为矩形，中间有两条实线，∴C选项符合题意． 【变式1】（2026·安徽·二模）若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体为正四棱锥，其底面为正方形，顶点在底面的投影为正方形中心．左视图为等腰三角形，且中间有一条可见的棱（实线）． A、三角形无中线，此选项不符合题意；B、三角形有中线，此选项符合题意； C、为矩形，此选项不符合题意；D、为矩形，此选项不符合题意． 【变式2】（2026·安徽宿州·二模）已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中，∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右，∴左视图应为 【变式3】（2026·辽宁抚顺·一模）某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由主视图可得：该几何体有两层，第二层的小正方形在左边， 由俯视图可得：该几何体有两列、两排，故它的左视图可能是． 【变式4】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据该几何体的主视图为长方形，俯视图为圆形可知， 该几何体可能是圆柱，∴其左视图是长方形，选D． 题型07 根据三视图求小正方体最多（最少）个数 【典例1】（25-26九年级上·山东·阶段检测）用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要______个小立方体． 【答案】9 【详解】解：从正面看，包括上下两层，上层最少有2个，结合从上面看的图形可得，最多有4个， 从上面看，包括两排，共5个，∴搭出这个几何体最少需要7个小立方体，最多需要9个小立方体， 故答案为：9 ． 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体，故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 【变式2】（25-26九年级下·重庆·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【答案】9 【详解】解：结合俯视图和左视图，各个位置最少的小正方体的个数如下图： 或，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：观察物体的俯视图和左视图可知：该几何体有两层，下面一层最少要有4个小正方体，上面一层最少要有1个小正方体，其主视图如下： 故组成该几何体所需小正方体的个数最少是；故选：B． 题型08 由三视图部分数据还原信息 【典例1】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，，. 【变式1】（2026·河南许昌·一模）如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，，，即． 【变式2】（2026·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5，∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即．故选：Ａ． 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图， 由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF==3，则边长AB为3， 连AC交BD于E，则AC⊥BD，由左视图得AE=CE=x， 在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3， ∴BE=，AE=AB•cos30°=，即x=．故选择：D. 【变式4】（2026·浙江丽水·二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 【答案】 【详解】解：根据三视图的定义，可得：在水平方向上，线段对应的直角边长度为：， 在竖直方向上，线段对应的直角边长度为． 由勾股定理，得：，，，． 答：主视图上线段的长度为． 题型09 由三视图求侧面积或表面积、体积 【典例1】（2026·云南楚雄·三模）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 【变式1】（2026·贵州贵阳·一模）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【答案】A 【详解】解：由三视图可知，该几何体是圆锥．圆锥的高，底面直径为，因此底面半径． 根据勾股定理，圆锥的母线长​． 圆锥侧面积公式为，代入数据得：，对应选项A． 【变式2】（2026·广东珠海·校考一模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】B 【详解】如图，连接AC，BD，交于点O， 由图可知，，∵四边形ABCD是正方形，， ， ， ∴长方体的长和宽都是，高为4， ∴长方体的体积为，故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长；(3)求这个几何体的侧面积． 【答案】(1) (2)解：左视图如下图所示：(3) 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 四边形是等腰梯形，， ，故答案为：； （2）略 （3）解：，这个几何体的侧面积是． 【变式4】（2026九年级·广东·专题练习）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一的圆柱构成的几何体，该玩具的两个视图如下图所示（结果保留）． (1)求该几何体的体积．(2)求该几何体的侧面积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由图可知，长方体部分的长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积， 则该几何体的体积． （2）解：．故该几何体的侧面积为． 【变式5】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图所示，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图．若，，，，求该几何体的体积． 【答案】 【详解】解：根据三视图可知，这个几何体是三棱柱，如图，过点A作， 由俯视图和左视图可知，对应，∴， ∵，，在中，， ∴（或相似），∴，∴， ∴该三棱柱的体积为：． 题型10 小立方体重叠问题 【典例1】（26-27九年级上·山东·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 【答案】468 【详解】解：第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，可以写成： ， 第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，可以写成： ， 第（3）个几何体的表面积为36个平方单位，可以写成： ， 第（4）个几何体的表面积为60个平方单位，可以写成： ， 第（n）个几何体的表面积可以写成： ， 则第（12）个几何体的表面积可以写成： ， 现在，用表示总面积，则， 再写成的形式， 则，解得， 所以第（12）个几何体的表面积为468个平方单位． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要________个正方体积木；按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为________． 【答案】 18 48 【详解】解：∵小亮所搭几何体恰好可以和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体， ∴该长方体最少需要小立方体个数为：（个）， ∵小明用18个边长为1的小正方体搭成了一个几何体， ∴小亮至少还需的小立方体个数为（个）， 按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为：，故答案为：18；48． 【变式2】（25-26·广东·黄埔学校九年级开学考试）图①是棱长为a的小立方体，图②和图③由这样的小立方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n个图一共有n层，第n层的小立方体的个数记为S． (1)按照要求填表； n 1 2 3 4 5 …… n S 1 3 6 …… (2)写出当n＝10时，S的值；(3)说出第10个图的三视图特点． 【答案】(1)10，15(2)55(3)三视图的行数、列数都相同，正方形个数相同；左视图与主视图相同 （1）解：由题意得：从上到下第一层为1，第二层为1+2， 第三层为1+2+3，…，∴第n层为：S＝1+2+…+n＝， ∴当n＝4时，S＝1+2+3+4＝10，当n＝5时，S＝1+2+3+4+5＝15，故答案为：10，15； （2）解：∵第n层为：S＝1+2+…+n＝，∴当n＝10时，S＝＝55； （3）解：三视图的行数、列数都相同，正方形个数相同；左视图与主视图相同． 1．（26-27九年级上·陕西·期中）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该几何体的俯视图，如图所示， 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）“陀螺”是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图（从正面看）是（     ） A．两个相切的圆 B．一个长方形和一个三角形 C．两个相连的矩形 D．一个长方形下方接一个等腰三角形 【答案】D 【详解】解：陀螺上部是圆柱体，下部是圆锥体， 该几何体的主视图是上方一个长方形，下方接一个等腰三角形． 3．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示，如图所示：． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）中国青铜器在世界享有极高的声誉和艺术价值．下列关于如图所示青铜器的三视图描述，正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图、俯视图各不相同 【答案】D 【详解】解：主视图是从正面观察得到的图形，呈现为宽长方形主体上方有双耳，下方有足； 左视图是从左面观察得到的图形，呈现为窄长方形主体，宽度与主视图不同； 俯视图是从上面观察得到的图形，呈现为长方形顶面及双耳顶部； 综上，主视图、左视图、俯视图各不相同，故选项D符合题意. 5．（25-26九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该几何体的俯视图是． 6．（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】左视图的列数等于俯视图纵向（上下方向）的行数，本题俯视图从上到下共3行，因此左视图共有3列；左视图从左到右对应几何体从后到前（即俯视图从上到下），每一列的高度等于对应行里小正方体个数的最大值： 俯视图第一行（几何体后排）最大数字是3，因此左视图第一列高度为3； 俯视图第二行（几何体中排）最大数字是3，因此左视图第二列高度为3； 俯视图第三行（几何体前排）最大数字是2，因此左视图第三列高度为2； 综上，左视图从左到右三列高度依次为3、3、2，对应选项B． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.该几何体的主视图为，本选项不符合题意； B. 该几何体的主视图为，本选项符合题意； C. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意； D. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意． 8．（2026·黑龙江鸡西·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下：有（个），故选：B． 9．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，四个几何体中，它们各自的三种视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是_______．（请填写序号） 【答案】②③ 【详解】解：①正方体的主视图、左视图和俯视图均为正方形； ②圆柱的主视图和左视图均为长方形、俯视图为圆； ③圆锥的主视图和左视图均为等腰三角形、俯视图为画出圆心的圆； ④球的主视图、左视图和俯视图均为圆；综上所述，满足题意的几何体是②③． 10．（2026·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体．故表面积为． 11．（25-26九年级上·山东·期末）如图是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍．(1)画出该几何体的三视图；(2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）． 【答案】(1)解：该几何体的三视图如图所示： （2）几何体的表面积为， 几何体的体积为． 12．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】：(1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明．(3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形，，， ，∴； (2)解：不赞同思思同学的结论，理由如下：如图，连接，由可求得， ，，， ，， 过道宽度都是，该物品不能顺利通过直角过道，不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点，中，，， ，，，， ，，中，，设，则， 由勾股定理得：，，负值舍，； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且，∴， ，的最大值为，故答案为：． 1．（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察几何体，其左侧面为完整的矩形，从左向右观察，外轮廓为矩形， 几何体右上方被切去一部分，产生一条内部棱， 该棱从左向右看被左侧面遮挡，不可见，应画为虚线，所以左视图为矩形且内部有一条斜虚线． 2．（2026·山西阳泉·一模）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得“榫”的俯视图的圆内都为虚线，选项B正确． 3．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【详解】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，    ∵，，∴．故选A． 5．（25-26九年级上·河北·期末）下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，，故， 解得，解得或（舍去），故选：B． 6．（2026·山西大同·模拟预测）发泡陶瓷空心砖，采用发泡陶瓷雕刻而成，质量轻，可浮于水面，通常用于装修公共建筑、室内外墙面．如图是某块发泡陶瓷空心砖及其主视图，则它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可知，它的俯视图为： ． 7．（2026·河南开封·模拟预测）如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 【答案】A 【详解】解：①几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； ②几何体的主视图为：，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ③几何体的主视图为：，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； ④几何体的主视图为：，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④． 8．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 【答案】162 【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体里面挖了一个长方体，如图： 则该几何体的体积为：．故答案为：． 9．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【答案】 【详解】解：俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是个． 10．（2026九年级·绵阳·专题练习）如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：从正面投影：的投影形成的图形与①相符； 从侧面投影：的投影形成的图形与②相符； 从上面投影：的投影形成的图形与③相符； 图形④的形状不符合空间四边形在任何面上的正投影．故答案为：①②③． 11．（2026·广东广州·二模）如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____． 【答案】 【详解】解：通过三视图可知该几何体为圆锥，底面圆的半径为， 底面圆的周长为，侧面扇形的弧长等于底面圆的周长， 根据勾股定理可得母线长为，∴该几何体的侧面积为． 13．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长；(2)左视图的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：如图，俯视图中过点作边上的垂线，由题意可得，，，点为垂足，，，， ，，即， ，， ，∴； （2）解： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 视图 教学目标 1、理解视图、主视图、左视图、俯视图的概念；知道三视图本质是正投影。 2、掌握三视图的绘制规则：长对正、高平齐、宽相等；会画圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥以及简单组合体的三视图。 3、能根据给出的三视图想象、还原对应的几何体，判断几何体形状。 4、能看懂三视图中标注的尺寸，结合几何体表面积、体积公式进行简单计算；分清看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 5、经历观察实物、绘制视图、由视图想象立体图形的过程，发展空间观念与几何直观；在画图、识图过程中，体会转化思想：立体图形 ↔ 平面三视图；通过观察组合几何体，学会分解几何体，提升读图、推理能力。 6、体会三视图在工程制图、建筑设计中的实际价值，感受数学的应用价值；养成规范画图、细心观察的习惯，提升空间想象的学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的画图原则。 （2）会画简单几何体与简单组合体的三视图，区分实线与虚线。 （3）根据三视图识别、还原几何体；利用三视图所标数据，求几何体体积、表面积。 2.难点 （1）理解 “长对正、高平齐、宽相等”，画图时容易出现尺寸不对应。 （2）组合几何体的三视图：看不见的棱容易忘记画虚线。 （3）由三视图还原几何体（尤其是由小正方体搭成的组合几何体），判断小正方体的个数，容易漏数、多数。 （4）结合三视图进行表面积计算：容易忽略被遮挡重合的面，多算或者少算面积。 知识点1 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图（view）． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图（front view）；从左面得到的视图叫做左视图（left view）；从上面得到的视图叫做俯视图（planform view）． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 【即学即练】 1．（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·重庆·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·中考真题）如图所示的四个几何体中，主视图是三角形的是（     ） A．圆柱 B．正三棱柱 C．球 D．圆锥 4．（2026·宁夏·中考真题）如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 5．（2026·山东临沂·模拟预测）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 知识点2 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 【即学即练】 1．（25-26九年级下·广西·单元复习）画出下列几何体的三视图． (1) (2) 2．（25-26九年级下·江苏·随堂练习）分别画出如图1、图2所示几何体的三视图． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）画出下面几何体的三视图． 知识点3 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 【即学即练】 1．（2026·山东济南·模拟预测）在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________；(2)根据图中数据，求该几何体的体积． 5．（25-26九年级上·山西运城·期中）某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 题型01 判断简单几何体的三视图 【典例1】1．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·四川成都·期中）如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2026·海南·中考真题）下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 题型02 判断组合体的三视图 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·西藏·中考真题）如图，“圭表”是我国古代用于测量日影长度的天文仪器，该仪器的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏盐城·中考真题）小明在新四军纪念馆看见了老一辈无产阶级革命家刘少奇、陈毅曾使用过的水壶（如图1）．图2是其示意图，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·山东菏泽·一模）斗拱是我国古建筑中的重要部件，一种斗形木构件“三才升”的示意图如图所示，则它的左视图为（     ） A． B． C． D． 题型03 判断非实心几何体的三视图 【典例1】（2026·浙江湖州·模拟预测）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·陕西·期中）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·海南海口·二模）米斗是古代粮仓中不可或缺的粮食计量器具．如图1所示，这是一种无盖米斗，其不计厚度的示意图如图1所示，那么它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南新乡·二模）如图，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 题型04 画出指定几何体的三视图 【典例1】（25-26九年级上·广东·期末）如图是由8个小正方体搭成的几何体．请在对应网格中画出从正面、左面和上面看该几何体得到的形状图． 【变式1】（25-26九年级下·湖南·期末）如图，桌面上放置了两个几何体，请按每个几何体下面的要求画出相应视图． 【变式2】（26-27九年级上·广东·校考期中）按要求完成下列各题： (1)画出图中各个几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)请找出一些与图中几何体形状类似的物体，并尝试画出它们的三种视图． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）我们知道当一束平行光线垂直照在不透明的物体上时，会形成这个物体在某个方向的正投影，这个物体在投影面上形成的平面图形称为“视图”．请画出这个几何体的主视图、左视图、俯视图． 【变式4】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某几何体的示意图如图所示，请画出该几何体的三视图． 题型05 根据三视图判断几何体形状 【典例1】（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·黑龙江·期中）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西·中考真题）一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图是一个几何体的三视图，则该几何体可能是下列的（     ） A． B． C． D． 题型06 根据部分三视图还原未知视图 【典例1】（2026·山东潍坊·二模）某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·安徽·二模）若一个几何体的主视图、俯视图如图所示，那么它的左视图为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽宿州·二模）已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【变式3】（2026·辽宁抚顺·一模）某个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）小华同学画出了一个几何体的主视图和俯视图，则该几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 题型07 根据三视图求小正方体最多（最少）个数 【典例1】（25-26九年级上·山东·阶段检测）用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要______个小立方体． 【变式1】（2026·海南省直辖县级单位·一模）一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（   ） A．4 B．7 C．10 D．13 【变式2】（25-26九年级下·重庆·期末）由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图所示，则搭成该立体图形的小正方体的最少个数为________个． 【变式3】（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型08 由三视图部分数据还原信息 【典例1】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南许昌·一模）如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式4】（2026·浙江丽水·二模）榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根据三视图所提供的数据，主视图上线段的长度为________． 题型09 由三视图求侧面积或表面积、体积 【典例1】（2026·云南楚雄·三模）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·贵州贵阳·一模）某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的侧面积是（     ） A．4π B．60π C．15π D．8π 【变式2】（2026·广东珠海·校考一模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积是（    ） A． B．8 C． D．16 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图所示是一个直四棱柱及其主视图和俯视图（等腰梯形）． (1)根据图中所给数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______； (2)在虚线框内画出其左视图，并标出各边的长；(3)求这个几何体的侧面积． 【变式4】（2026九年级·广东·专题练习）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一的圆柱构成的几何体，该玩具的两个视图如下图所示（结果保留）． (1)求该几何体的体积．(2)求该几何体的侧面积． 【变式5】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图所示，是一个几何体分别从正面、左面、上面看到的三视图．若，，，，求该几何体的体积． 题型10 小立方体重叠问题 【典例1】（26-27九年级上·山东·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 【变式1】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要________个正方体积木；按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为________． 【变式2】（25-26·广东·黄埔学校九年级开学考试）图①是棱长为a的小立方体，图②和图③由这样的小立方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层，第n个图一共有n层，第n层的小立方体的个数记为S． (1)按照要求填表； n 1 2 3 4 5 …… n S 1 3 6 …… (2)写出当n＝10时，S的值；(3)说出第10个图的三视图特点． 1．（26-27九年级上·陕西·期中）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南郑州·期中）“陀螺”是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图（从正面看）是（     ） A．两个相切的圆 B．一个长方形和一个三角形 C．两个相连的矩形 D．一个长方形下方接一个等腰三角形 3．（26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． ． 4．（2026·江苏淮安·中考真题）中国青铜器在世界享有极高的声誉和艺术价值．下列关于如图所示青铜器的三视图描述，正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图、俯视图各不相同 5．（25-26九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西西安·三模）如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江鸡西·一模）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图，四个几何体中，它们各自的三种视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是_______．（请填写序号） 10．（2026·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 11．（25-26九年级上·山东·期末）如图是由一个长方体和圆柱组合而成的几何体，长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等，圆柱的高是长方体的高的2倍．(1)画出该几何体的三视图；(2)若长方体的长为，宽为，高为，求该几何体的表面积和体积（取3）． 12．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】：(1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明．(3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 1．（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西阳泉·一模）榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东潍坊·一模）如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北石家庄·模拟预测）三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 5．（25-26九年级上·河北·期末）下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·山西大同·模拟预测）发泡陶瓷空心砖，采用发泡陶瓷雕刻而成，质量轻，可浮于水面，通常用于装修公共建筑、室内外墙面．如图是某块发泡陶瓷空心砖及其主视图，则它的俯视图为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南开封·模拟预测）如图所示的几何体由5个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（     ） A．①④ B．③④ C．① D．②③ 8．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为_____． 9．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 10．（2026九年级·绵阳·专题练习）如图，点O为正方体的中心，点E为面的中心，点F为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）． 11．（2026·广东广州·二模）如图所示的三视图为一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为_____． 13．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求： (1)主视图中线段的长；(2)左视图的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $