第3章 第6节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第六节 二次函数的实际应用 一阶了教材知识全梳理 考点1最值问题（利润、面积等最值） (1)确定函数解析式：根据实际问题中的等量关系或几何图形的性质列出二次函数解析式： 一般 (2)确定自变量取值范围（注意实际意义）： 步骤 (3)配方变形：配方成顶点式，利用二次函数的最值或二次函数的增减性求值： (4)注意取最值时，自变量的值是否在取值范围内 考点2抛物线形问题 (1)选择合适的位置建立平面直角坐标系： (2)根据题中数据确定抛物线解析式： 一般 (3)将实际问题转化为二次函数问题，并利用抛物线的对称性、增减性与坐标轴交点等，解决二次 步骤 函数问题： (4)将二次函数的解转化为实际问题的解 二阶了追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 函考点1最值问题(2019.22(2) (2)该产品产量为多少时，获得的利润最大？ 1.教材（人教九上P51T2改编）某企业生产并 最大利润是多少？ 销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中 的线段AB表示该产品每千克生产成本y,(单 位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系： 线段CD表示该产品售价y2(单位：元)与产量 x(单位：kg)之间的函数关系，且关系式为y2= 3x+90(0<x≤120). D t/kg 第1题图 (1)求线段AB所表示的y,与x之间的函数表 达式； 第三章函数53 2.教材（人教九上P57T7改编）如图，在足够大3.(2024云大附中押题卷)云南昭通苹果因其独 的空地上有一段长为40m的旧墙MN,某人利 特的品质和特点而闻名，种植于高原季风性立 用I旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中 体气候中，海拔高达2300米，有利于养分积 AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一 累.昭通苹果外观颜色鲜艳，通常为深红色或 共用了100m木栏. 浅红色，具有很高的光泽度，果肉细腻，酸甜适 (1)若AD<20m,所围成的矩形菜园的面积为 中，风味浓郁，口感脆甜，具有糖心，更是含有 450m2,求所利用I旧墙AD的长： 丰富的维生素C、钾、镁等矿物质，以及一种特 (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值， 殊的苹果酸，具有清热解毒、生津止渴的功效。 已知昭通苹果的种植成本为8元/千克，经市 场调查发现，某天昭通苹果的销售量y(千克) 与销售单价x(元)(8≤x≤40)满足的函数图 第2题图 象如图所示 (1)根据图象信息，求y与x的函数关系式； (2)求这一天销售昭通苹果获得的最大利润. y千克) 150 B 120L- 082232401元 第3题图 54众相原创赋能中考云南数学 留考点2抛物线形问题 5.教材（人教九上P47T3改编）如图，一名同学 4.教材（北师九下P48T4改编）如图1，桥拱截 推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的竖直 面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻， 高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似 桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面 满足函数关系了=一古+子+6已知铅球落 2 的距离是4m. (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥 地时的水平距离为10m 拱部分抛物线的函数表达式； (1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多 (2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来， 远时，铅球离地面最高？ 当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水 (2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面 位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站 的竖直高度为号▣时，此时铅球的水平距离是 立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会 多少？ 触碰到桥拱？请说明理由（假设船底与水面齐 竖直高度ylm 平） 水平距离x/m 第5题图 图2 第4题图 温馨提示 请完成分层进阶练习册P29~P30习题 第三章函数55&.线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为\= 或(2.-). (2)设产量为xkg时,获得的利润为W元,根据题 6.解:(1)抛物线的函数表达式为y=-x-6x-5 意,得 (2)在抛物线上存在点P,使得△BPE是以BE为直角 W=x- 3+90-(- 边的直角三角形. .y=--6-5=-(+3)+4 .抛物线的对称轴为直线x=-3. ·抛物线的对称轴与经过点B的直线y=x+1交于点 E..点E的坐标为(-3.-2).则DE=BD=2 '.乙ABE= BED=45* .当x=90时,W取得最大值,最大值为1350 当乙EBP=90*时,则 ABP=45^*},过点P作P010A于点 答:该产品产量为90kg时,获得的利润最大,最大利润 0.如解图,则△BPQ是等腰直角三角形.:.PQ=BQ. 是1350元. 运用待定系数法可得直线BP的函数表达式为y=-x-1 2.解:(1)设AB=bm,则BC=(100-2b)m. .抛物线=-x-6x-5与直线BP交于B.P两点$$ 根据题意,得b(100-2b)=450,解得b.=5,b.=45 当$=5时,100-2b=90>220,不合题意,舍去; .联立[=-r-6--5. y=--1. ly.=3. l.=0. 当$ =45时,100-2=10$ .点P的坐标为(-4,3); 答:所利用旧墙AD的长为10m. 将直线BP平移至经过点E,此时直线与抛物线的交点 (2)设AD=xm.矩形菜园ABCD的面积为Sm} 则$x(100-x)=-(tx-50) +1250(0< 分别为P.P,则 BEP$三 BEP。=90*},可设直线 1 P.P的函数表达式为y=-x+m,将E(-3.-2)代 1<40). 人,得-2=3+m,解得n=-5. .直线P.P.的函数表达式为y=-x-5 .联立=-6r-5. 解得[=0[-5. .当:=40时,S有最大值,最大值为1200 ly=--5. l=-5.1y.=0. 答:矩形菜园ABCD面积的最大值为1200m{. .点P的坐标为(0.-5)或(-5.0). 3.解:(1)由题意,当8<x32时,设y=kx+b(k0). 综上所述,在抛物线上存在点P.使得ABPE是以BE 则 32k+b=120. 为直角边的直角三角形,点P的坐标为(-4,3)或(0 16-216. -5)或(-5.0). .y=-3x+216; 当32<x<40时.v=120; y+ 综上,y= (-3x+216(8<xs32). 1120(32<x40). (2)设利润为W元, 当8 x<32时,W=(x-8)y=(x-8)(-3x+216)= C(P) -3(x-40)+3072 .-3<0.对称轴为直线x=40 第6题解图 .当8<x<32时,W随x的增大而增大. 第六节 二次函数的实际应用 :当x=32时,W有最大值,W..=2880; 二阶 追本溯源练考点 当32 40时.W=(x-8)y=1220x-8)=120-96 $$ 1.解:(1)由题意知线段CD所表示的.与x之间的函数 120>0.W随x的增大而增大 -3+90(0xs120). .当x=40时,W有最大值,W..=3840 表达式为y。=- ·3840>2880.:.最大利润为3840元. 4.解:(1)由题意得水面宽0A是8m.桥拱顶点B到水面 的距离是4m. :.D(120,50).:.B(120.40). 结合函数图象可知,顶点B(4,4),点0(0.0). 设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y= 设二次函数的表达式为y=a(x-4)+4(a*0) kx+b(hz0). 将0(0.0)代入函数表达式,解得a=- 4. 刘/{60. b-60. 8 众相原创 赋能中考 2 (2)工人的头顶不会触碰到桥拱,理由如下; .点E的坐标为(-3 2.4). ·小船距0点0.4m.小船宽1.2m.工人站立在小船 中间, ##.# .将x=1代入y=- 7=1.75. l2=-3'+b, Lb=6. .1.75m>1.68m. 2.此时工人的头顶不会触碰到桥拱 ③如解图1.设CD与y轴的交点为0 5 3: 2 -2<0.v.当x=4时,y有最大值,最大值为3. 答:铅球出手后水平距离与这名同学相距4m远时,铅 球离地面最高为3m. B A (#2)令-得-分12--# 解图1 .6(x<0) 解得x.=0(舍去),x.=8. ·反比例函数的解析式为y=- 答:此时铅球的水平距离为8m. 单元整体构建 易错题专练 1. -2 【变式】1 2.-2 【变式】-2 3.2 4.C $$$ y=2x-4-6或=-2x+4t+6 $ 6.解:(1)v=-10x+800 (2)设每天获得的利润为元. 'Sror=Sm cao-Sron-So-Sr=12-3-3- ###2 则=(x-30)(-10+800)=-10+1100x-24000$ =-10(x-55)+6250 .单件该商品的利润率不能超过60%, ④设点P的纵坐标为yv,则Sc_-1.1·AB=21y。 1. 30 .-10<0. 将y-3代人y-4x+6.解得x-- 27 2. 当x=48时,x有最大值,最大值为5760 8 答:当售价定为48元/件时,商家销售该商品每天获得 的利润最大,最大利润为5760元 一题一单元 函数的综合探究 解:(1)B(-3.0).C(-3.4).D(1.4). 8。 (2)①该一次函数的解析式为y=3x+1 此时点P的坐标为(-45. 8' ②四③. ④该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为6 平移方式可以是向下平移4个单位长度.(答案不唯一) y=-3x+1. [-41. 6(x<0). .该反比例函数的解析式为y=- 联立解析式,得 。& 6 点E在线段CD上..点E的纵坐标为4 云南数学