第3章 第5节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

6.C7.D8.b<-2或b>2 轴，.∴.c>0,.abe<0,故①错误：二次函数图象与x 三阶分层设问攻重难 轴交于不同两点，则4=-4ac>0,.2>4ac,枚②错 9.解：(1)A0=5,0D:AD=3:4, .设0D=3a,AD=4a,则A0=5a=5.解得a=1. 误：-名16=-2m又：当=-1时y<0,即 .点A(3,4),∴，m=3×4=12 a-b+e<0,.2a-2b+2c<0.∴.-3b+2e<0..2c< 云反比例函数的表达式为y=2 3b,故③正确：当x=1时，函数有最大值，.当x=1 B(-6,-2). 时的y值大于当x=m(m≠I)时的y值，即a+b+c> 将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=:+b,得 m(am+b)+c,∴a+b>m(am+b)(m≠1)成立，故④ 2 4=3k+b k= 正确：将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，此时 1-2=-6h+6 解得 3 函数图象与直线y=1有四个交点，由二次函数图象的 1b=2. 轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个 2 一次函数的表达式为y=了+2 根的和为4，故⑤错误综上，③④正确，故选A 4.(1)y=-x2+2x+3(2)y=(x-2)2+8 (2)不等式”-：-b<0的解集为-6<x<0或x>3. (3)y=x2-4x+3(4)y=-x2+2x+3 (3)如解图，设一次函数的图象交y轴于点M,则点M (5)y=x2-2x-2 的坐标为(0,2).0M=2. 5.B【拓展设问】11 6.(1)x1=-3,=0(2)x=-3,x=1 六Sam=20(x-xn）=2 ×2×(3+6)=9. (3)-3<x<1(4)2 三阶分层设问攻重难 7.解：(1)二次函数图象与x轴的交点坐标分别为(3,0)， (-1.0). (2):点(0，y,),(3,为)在函数图象上， .y1=-2a+1,y2=4a+4, .y1-为3=-2a+1-4a-4=-6m-3, 第9题解图 当a<-2时>%：当a=-时=： (4)设点P(0,m),而点A,0的坐标分别为(3,4)，(0,0)， 则AP2=9+(m-4)2,A0=25,P02=m2, 当-3<a<0时，<为 当AP=A0时，9+(m-4)2=25,解得m=8或0（舍去0）： (3)二次函数y=ax2-(a-1)x-2a+1(a为常数， 当A0=P0时，同理可得m=±5：当AP=P0时，同理 且a<0)的图象与直线y=-2a+3有且仅有一个 可得m=2 交点， 8 ∴ax-(a-1)x-2a+1=-2a+3有两个相等的实数 综上，P点坐标为(08)或0,5)或0，-5)或0，总. 根，整理得ax2-(a-1)x-2=0. 4=(a-1)2+8a=0,即a2+6a+1=0. 第五节二次函数的图象与性质 a为常数，且a<0. 一阶教材知识全梳理 ①-六2%⑧-六④ ⑤(h,k) 两边同时除以a,得】+a+6=0,即a+。=-6, 6减小 ⑦增大⑧增大⑨减小国-六 la-=√a+-4=42a- =±42. ①小②小 a Bg-名B大雪大 ⑧左侧 =a+a-)=242或-242 9右侧0-1①-1②-28a(x-m)2+b(x- 小专题培优4二次函数中的线段、面积和 m)+c ax'+bx+c-m a(x-h-m)2+k 存在性问题 a(x-h)2+k-m⑦两个四一个四无刻上方 1.解：(1)抛物线与x轴交于点A(-3.0),B(1,0) 团下方 六设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0)， 二阶追本溯源练考点 将点(2,5)代入y=a(x+3)(x-1)中，得 1.(1)上(0,3)x=-1(2)(-1,1)(3)<-1 5=a(2+3)(2-1),解得a=1, >-1(4)y≥11≤y≤31≤y≤9(5)为<y:<为 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 2.C (2)由(1)知点C的坐标为(0，-3). 3.A【解析】：图象开口向下，.a<0.对称轴在y轴 设直线AC的解析式为y=+(k≠0)，将点A(-3, 的右侧，∴.a与b异号，∴b>0.图象与y轴交于正半： 0),C(0.-3)代入解析式， 6众相原创赋能中考第五节 二次函数的图象与性质 阶了教材知识全梳理 考点1二次函数的图象与性质 般地，形如y=ax2+ba+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量， 概念 a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 开口方向 a>0,开口向上 a<0,开口向下 图示 (1)对称轴为直线x=① 对称轴 (2)配方转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则对称轴为直线x=② (3)已知抛物线上纵坐标相同的两点A(xy),B(,y),则对称轴为直线x=名+考 2 (1)直接运用顶点坐标公式（③ ,④ ）: 顶点坐标 (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为⑤ (3)将对称轴直线x=x。代人函数解析式求得对应的% 在对称轴左侧，y随x的增大而⑥ 在对称轴左侧，y随x的增大而⑧ 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大而⑦ 在对称轴右侧，y随x的增大而⑨ 当x=0 时，y取得最①⑩ 当x=通 时，y取得最⑤ 最值 值，最2 值为B 值，最6 值为 考点2二次函数图象与系数的关系 系数 a,b 符号 a>0 a<0 b=0 ab>0 ab<0 c=0 c>0 c<0 抛物 抛物线与 抛物线与 图象 开口 开口 对称轴 对称轴在y轴 对称轴在y轴 线过 y轴正半y轴负半 特征 向上 向下 为y轴 8 ② 原点 轴相交 轴相交 先把含a,b,c的项移到等式（或不等式）的一边 2-4ac>0,图象与x轴有两个交点 b2-4c<0,图象与x轴没有交点 特殊 看到2a-b,比较- 关系 看到2a+6,比较-会和1的大小 和2 的大小 看到a+b+c,找当x=1时y的值 看到a-b+c,找当x=① 时y的值 看到4a+2b+c,找当x=2时y的值 看到4a-2b+c,找当x=@ 时y的值 46 众相原创赋能中考云南数学 考点③二次函数解析式的确定（重点） 1.二次函数解析式的三种形式 一般式y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0，a,h,k是常数) 交点式y=a(x-x,)(x-x2),其中x,x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标 2.待定系数法求解析式 (1)设二次函数解析式： (2)代入点的坐标：用待定系数法将图象上的点的坐标代入所设解析式中，得到关于待定系数 步骤 的方程（组）： (3)求解：解方程（组），求出待定系数的值，将其代回所设解析式中 (1)若顶点在原点，可设为y=ax2: (2)若顶点在y轴上（或对称轴是y轴），可设为y=ax2+c: (3)若顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2: 解析式 (4)若抛物线过原点，可设为y=ax2+br: 设法 (5)若已知任意三个点的坐标，可设为y=x2+bx+c: (6)若已知顶点(h,k)时，可设为顶点式y=a(x-h)2+: (7)若已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0),可设为交点式y=a(x-x)(x-x2) 考点④二次函数图象的几何变换 变换方式 一般式y=ar2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 图象特点 向左平移m个单位长度 y=a(x+m)2+b(x+m)+e y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 y=8 y=5 y=ax2 +bx+c+m a不变，即开 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 口方向和大 向下平移m个单位长度 y=24 y=团 小不变 沿y轴翻折（关于y轴 y=ax2-bx+c 对称) y=a(x+h)2+k 沿x轴翻折（关于x轴 y=-ax2-bx-c y=-a(x-h)2-k a变为相反 对称) 数，即开口方 绕顶点旋转180° y=-a2-+c- 向相反，开口 2a y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180 y=-ax2+bx-c 大小不变 y=-a(x+h)2-k 考点3二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线y=ax2+br+c(a≠0) 方程ax2+bx+c=0(a≠0) b2-4ac>0 与x轴有 交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 与x轴有四 交点 有两个相等的实数根 b2-4ae<0 与x轴四 交点 没有实数根 【特别提醒】抛物线y=ar2+br+c(a≠0)与直线y=似+m的交点，可转化为一元二次方程ax2+br+ c=x+m的解的问题 第三章函数47 2.二次函数与不等式的关系（拓展）】 不等式 解集 函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=x+m y=ax'thx+c ax2 +bx +exkx+m 图象列 对应的点的横坐标的取值范 y=kx+m 围（如图，解集为x<x4或x>x:) 函数y=ax2+bx+c的图象位于函数y=x+m ax2 +bx+e<kx+m 图象① 对应的点的横坐标的取值范 围（如图，解集为，<x<x)】 二阶了追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 函考点1二次函数的图象与性质(8年7考) 3.教材（北师九下P55随堂练习改编）已知二 1.教材（人教九上P41T7改编）已知二次函数 次函数y=ax2+br+c(a≠0)的图象如图所 y=2x2+4x+3. 一题多点 示，有下列5个结论：①abc>0;②b2<4ac; (1)该二次函数的图象开口向 与y ③2c<3b:④a+b>m(am+b)(m≠1)；⑤若方 轴交于点 ,对称轴为直线 程Iax2+bx+cl=1有四个根，则这四个根的 (2)该二次函数图象的顶点坐标为 和为2.其中正确的结论有 () (3)当x 时，y随x的增大而减小： 当x 时，y随x的增大而增大： (4)该函数值y的取值范围是 ;当 -1 -2≤x≤0时，函数值y的取值范围是 第3题图 :当-2≤x≤1时，函数值y的取值范围是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 留考点3二次函数解析式的确定(8年7考) (6)者点c3).0(-3).B(-是)均 4.教材（人教九上P47T4改编）已知抛物线y= ax'+bx+c. 一题多点 在该二次函数的图象上，则y,少，少的大小关 (1)若抛物线经过点(3,0)，(-1,0)，(0,3)， 系为 .(用“<”连接) 则该抛物线的解析式为 ； 留考点2二次函数图象与系数的关系 (2)若抛物线的顶点坐标为(2,8)，且经过点 2.教材（人教九上P46例题改编）已知二次函 (3,9),则该抛物线的解析式为 数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(b, 【拓展设问】(3)已知抛物线y=x2+bx+c经 c)所在的象限是 过点(3,0)，(0,3)，则该抛物线的解析式为 (4)已知抛物线y=a.x2+2x+c经过点(-1， 0),(0,3),则该抛物线的解析式为 ； 第2题图 (5)已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴为直 A.第一象限 B.第二象限 线x=1,且经过点(1，-3)，则该抛物线的解析 C.第三象限 D.第四象限 式为 48众相原创赋能中考云南数学 留考点4二次函数图象的几何变换 过原点.（写出一种方式即可) 5.教材（人教九上P35例3改编）将抛物线y= 图考点5二次函数与一元二次方程、不 -（x+1)2-1先向左平移2个单位长度再 等式的关系 6.教材（北师九下P51议一议改编）如图，已知 向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式 一次函数y=x+a和二次函数y=x2+bx的图 为 象交于点A(-3,0)和点B. 一题多点 Ay=-2x-102-2 (1)方程x2+r=0的解为 By=-2x+3 1 (2)方程x2+bx-x-a=0的解为 (3)不等式x+a>x2+bx的解集是 c=-x+3y2-2 (4)若t>0,则方程x2+bx=t的根的个数为 0.y=-,x2-2 【拓展设问】将抛物线y=-】 (x+1)2-1先 向右平移 个单位长度，再向上平移 第6题图 个单位长度后，得到的新抛物线经 三阶了分层设问攻重难 基础·能力·培优 零重难点二次函数性质综合题 7.在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2-(a-1)x-2a+1(a为常数，且a<0). 基础显》(1)若a=-1,求该二次函数图象与x轴的交点坐标： 能力层》(2)若点(0，y),(3,y2)在函数图象上，比较y,与，的大小： 培优层》(3)若二次函数的图象与直线y=-2a+3有且仅有一个交点，求代数式a2-2的值 温馨提示 请完成分层进阶练习册P26~P28习题 第三章函数49