第2章 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第三节一元二次方程及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点1一元二次方程及其解法 1.概念及一般形式 概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是① 的整式方程 二次项系敏一次项系数 一般形式 0a,韦，c为常数，n0) 二次项一次项常数项 【特别提醒】(1)若题目中有“一元二次方程ax2+bx+c=0”的说法，则必然隐含着a≠0这一条件；(2)若 未说明方程类型，则需分类讨论a=0时是一次方程和a≠0时是一元二次方程两种情况 2.一元二次方程的解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式 平方法 x=±p或x=±√p-n 二次项系数化为1后，一次项系数为偶数时使用较简单，形 配方法 x=② 如x2+2mr=n,配方后为(x+m)2=n+m2(n+m2≥0)》 适用于所有一元二次方程，应先化为一般形式ax2+x+c= 公式法 x=③ 0(a≠0)（需满足b2-4ac≥0，否则不能使用求根公式） 因式 能化成(x-a)(x-b)=0的形式 分解法 x=a,x2=b 【特别提醒】(1)用公式法代a,b,c的值时要注意它们的符受； (2)对于方程两边含有相同因式的一元二次方程，切勿直接约去公因式，避免导致丢根，正确做法是将方程化 为两个因式之积为0的形式，利用因式分解法求解如：y(y-2)=4(y-2),移项，整理得(y-2)(y-4)=0 考点2一元二次方程根的判别式 般地，式子④ 叫做一元二次方程a2+b,+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希 概念 腊字母“4”来表示它，即4=⑤ (1)b2-4ac>0=一元二次方程有两个⑥ 的实数根： 根的情况 (2)2-4c=0台一元二次方程有两个⑦① 的实数根： 与判别式 (3)62-4ac<0一-元二次方程⑧ 实数根 的关系 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二水 项系数不为0这个限制条件 【怎么考？】常见考查类型：(1)不解方程，由根的判别式直接判断根的情况：(2)根据根的情况，确定参数 的取值范围：(3)证明含参方程的根的情况 24 众相原创赋能中考云南数学 考点③一元二次方程根与系数的关系 根与系数 如果-元二次方程a2+c+c=0(a≠0，B-4ac≥0)的两根分别是，=-b+-4ac 2a 的关系 5=-h-,B-4c,那么+=9 2a ,x152=0 根与系数 (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2:(2)(x1-x2)2=① 关系的常 (3)1+1-=+3 (4)+_出+西)2-2x2 见变形 x2 x Uxz 考点4一元二次方程的实际应用 类型 数量关系 设a为原来的量，b为变化后的量 变化率问题 (1)若平均增长率为x%,增长次数为2，则a(1+x%)2=b: (2)若平均下降率为x%,下降次数为2，则@ 在矩形ABCD中，设阴影部分的宽为x,则图1中S白= .图2中5自= 四 ,图3中S白=5 面积问题 图1 图2 图3 (1)常用公式：①每件利润=售价-成本：②总利润=每件利润×销售量： 每每问题 (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价x元，则少卖的数量为06 件 (1)病毒传播问题：若初始数据为a,每次传播x个，则第一轮后共有a(1+x)个，第二轮后共有 传播、循 D 个： 环问题 (2)握手、单循环赛问题：握手（单循环赛）.总次数为⑧ (n为人数)： (3)互赠礼物问题：送礼物总份数为四 (n为人数) 二阶了追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 国考点1一元二次方程及其解法(8年7 (2)若该方程是一元一次方程，则m的值是 考，2022单独考查，其余均在解答题中 涉及考查) (3)若m=1,则该方程的二次项是 1.真题(2022云南16题改编)已知关于x的方 二次项系数是 ,一次项是 程(m+1)x2-3x+1=0. 一题多点 次项系数是 ,常数项是 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值范 方程的解为 围是 第二章方程（组）与不等式（组）25 2.教材（人教九上P25T1改编）解下列一元二 函考点3一元二次方程根与系数的关系 次方程： 4.教材（人教九上PI7T7改编）已知一元二次 x-2y2=5:2)2--8=0: 方程x2-3x+k=10的两个实数根为x1,x2 (1)当k=2时，x1x2= ,x1+2= x,2+x22= +1= (2)若x2+2x1+2x2=1,则实数k的值为 【拓展设问】若m,n为方程x2+3x-8=0的两 个实数根，则m2+4m+n= 函考点4一元二次方程的实际应用(2024.9) 5.真题(2024云南9题2分)两年前生产1千克 甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进 步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元. (3)x2+3x+1=0:(4)2x(x-3)+x=3. 设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题 意，下列方程正确的是 A.80(1-x2)=60B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 【拓展设问】某地区2021年生产总值为3万亿 元，已知2021到2023年各年生产总值的和为 10.92万亿，若2021到2023年生产总值的年 增长率相同，设年增长率为x,则可列方程为 6.教材（北师九上P55T1改编）某品牌童装平 均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接 国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大 销售量，增加盈利，尽快减少库存经市场调查 ☑考点2一元二次方程根的判别丘式(8年6考) 发现：若每件童装降价1元，则每天可多售出2 3.真题(2021云南5题改编)关于x的一元二次 件.如果每天要销售这种童装盈利1200元，那 方程(m-1)x2+2x+1=0. 一题多点 么每件童装应降价多少元？ (1)若该方程有两个不相等的实数根，则m的 (1)填空：设每件童装降价x元，那么降价后， 取值范围是 平均每天就可多售出 件，一天可售 (2)若该方程有两个相等的实数根，则m的值 出 件，每件盈利 元： 是 (2)列方程求解上述问题 (3)若该方程有实数根，则m的取值范围是 (4)若该方程无实数根，则m的取值范围是 温馨提示 请完成分层进阶练习册P13~P14习题 26 众相原创赋能中考云南数学0=m2-3m-1,.m2-3m+1, (2)午餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足学 m3=(m2)2m 生的需要 =(3m+1)2·m 第二节分式方程及其应用 =(9m2+6m+1）·m 一阶教材知识全梳理 =[9(3m+1）+6m+1]·m ①未知数②最简公分母③0 =(27m+9+6m+1)·m 二阶追本溯源练考点 =(33m+10）·m 1.A =33m2+10m 2.(1)3(2)-2(3)-2或8(4)9或11或13或23 =33(3m+1)+10m 3.x=-1是原分式方程的解 =99m+33+10m 4.B5.B =109m+33. 6.D型车的平均速度是100千米/小时 六M=m-33.109m+33-33 7.该商场购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批 109 109 m. T恤衫每件的进价是44元 当m3+,压时，M-=m-E3+正 第三节一元二次方程及其应用 2 2 2 2 一阶 教材知识全梳理 是>0此时0> ①2②±Vn+m-m③-b±/B-4c 2a ④B-4ac 当m=3-压时，M-3=m-.3- 2 2 ⑤6-4c⑥不相等⑦相等8无⑨-么0二 3-2压<0此时w< ①(x1+x2)2-4xx22a(1-x%)2=b 2 B(a-2x)(b-2x)4(a-x)(b-x)5(a-x)(b-x) 单元整体构建 6生·ba（1+x)'gmD9n(n-1） 易错题专练 2 1.32.43.C 二阶追本溯源练考点 4.原式=4x+1, 1.(1)m≠-1(2)-1 当x=-2时，原式=-7 (3)22-3x-31=1= 5c6号 2.(1)x1=2+5,x=2-5 2(x-1) 3-x 7.(x-1)(x+1 x+1-2x+2 (x-1)(x+1)》 (x-1)(x+1) 12-30 意+1 8-35-5 2 1 第二章方程（组）与不等式（组) (4)x1=3,4=-2 第一节一次方程（组）及其应用 3.(1)m<2且m≠1(2)2(3)m≤2且m≠1 一阶教材知识全梳理 (4)m>2 ①6±e②加e③2④-个⑤1⑥整式 41)-8325-8 (2)5【拓展设问】5 ⑦最小公倍数⑧2(3x-1)=6-(4x-1)⑨变号 5.B【拓展设问】3+3(1+x)+3(1+x)2=10.92 06x-2=6-4x+1①变号26x+4x=6+1+2 6.解：(1)2x(20+2x)(40-x) BIOr-9 B (2)根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1200, 5两个61 整理，得x2-30x+200=0. 二阶追本溯源练考点 解得x1=10.x2=20. 1.C2.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 :要扩大销售量，尽快减少库存，∴.x=20, 3.(1)x=2(2)x=1 答：每件童装应降价20元 4方程组的解为广=3， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ly=-2 【拓展设问】2 一阶教材知识全梳理 5任=2（答案不唯-）6c1.D ①>②不变③>④>⑤改变⑥<⑦< y=4 ⑧实心圆点⑨空心圆圈0左①右2公共 8.每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元Br>ax<b⑤b<x<a⑥无解⑦≥8≤ 9.(1)0.4xy0.8x0.8y :9≥20≤ 云南数学3