第2章 第1节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组)及其应用 一阶了教材知识全梳理 考点口等式的性质 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：若a=b,则 应用：解方程 性质1 a±c=① 中的移项 等式两边乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等.即： 应用：解方程 性质2 ;若a=b,c≠0，则只=③ 中去分母或系 若a=b,则ac=② 数化为1 考点2一元一次方程及其解法 只含有④ 未知数（元），未知数的次数都是⑤ ,等号 概念 一元一次 两边都是⑥ ,这样的方程叫做一元一次方程 方程 一般形式 ax+b=0(a,b是常数，且a≠0)】 方程的解 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 一般步骤 注意事项 例：解方程31“ 6 (1)方程两边同乘各分母的⑦ 不要漏乘不含分母的项： 去分母 解：⑧ (2)分子（若为多项式）是一个整体，去 分母后要加括号 解一元一次 (1)括号前的数要乘括号里的每一项： 方程 去括号 (2)去掉“-()”形式的括号时，原括 0 号内的每一项都要⑨ 移项 移项一定要① 2 合并同类项 系数相加减，未知数及其指数不变 B (1)方程两边同时除以未知数的系数： 系数化为 (2)分子和分母位置不要颠倒 考点3二元一次方程（组）及其解法 1.二元一次方程（组）的相关概念 含有⑤ 未知数，并且含有未知数的项的次数都是⑥ 二元一次方程 的整式方 程，形如ax+by=c(a≠0，b≠0，a,b,c是常数) 二元一次方程组 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组 18 众相原创赋能中考云南数学 2.二元一次方程组的解法 基本思想 二元一次方程组消元一元一次方程 消元法 步骤 适用情况 (1)变：用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 当方程组中一个方程的 代入 (2)代：将(1)中代数式代人另一个方程，消元为一元 常数项为0或某个未知 消元法 一次方程： 数的系数为1或-1时， (3)解：解一元一次方程 用代入消元法比较简单 解法 (1)变：方程变形使两个二元一次方程中同一未知数 当方程组中某个未知数 的系数相等或互为相反数； 加减 的系数相同或互为相反 (2)加减：两个方程加减运算消去一个未知数得一元 消元法 数或成整数倍关系时，用 一次方程： 加减消元法比较简单 (3)解：解一元一次方程 【知识拓展】※三元一次方程组的解法 基本思路：三元一次方程组道元二元一次方程组道元一元一次方程 考点④一次方程（组）的实际应用 1.解一次方程（组）实际问题的一般步骤 一般步骤 特别提醒 审 审：找等量关系 设 实际问题 方程（组）问题 设：设未知数 对于带单位的应用题，在 列 列：列方程（组） 醉 设未知数和作答时要带 解 验 实际问题的补 方程（组）的解 验：检验，是方程（组）的 单位 答 解，且将合实际意义 2.列方程（组）解实际应用题的常见类型 常见类型 等量关系 以购买甲、乙两种商品为例： 购买、分配 (1)总价=单价×总量： 问题 (2)甲的量+乙的量=总量（或甲、乙的量之间的和差倍分关系）； (3)甲的量×甲的单价+乙的量×乙的单价=总价 (1)售价=标价×折扣（如：打八折就是标价×80%）： (2)销售额=销售单价×销售总量： 打折销售 (3)单件利润=单件售价-单件进价： 问题 （4)利润率=利润×100%： 进价 (5)利润=（单件售价-单件进价）×销售，总量 (1)一个A和一个B配套：A的数量=B的数量： 配套问题 (2)m个A和n个B配套A的数量=（即A的数量的n倍=B的教量的m倍） B的数量n 第二章方程（组）与不等式（组）19 续表 (1)总工作量=工作效率×工作时间： 工程问题 (2)总工作量=各组工作量之和： (3)总工作量未定时，可设总工作量为单位“1”，此时，工作效率=工作时同 路程=速度×时间，即s=t (1)相遇问题：”甲×相遇时甲的行驶时间+”乙×相遇时乙的行驶时间=两地路程： 行程问题 (2)追及问题：若同时出发，则1甲一2|×追及时间=追及路程： (3)航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度 阶梯费用 (1)未超过部分的费用=单位费用×用量： 问题 (2)超过部分的费用=（单位费用±a)×超过部分的用量(a表示每单位提高或降低的价格） 比赛积分 (1)总场数=胜场数+负场数+平场数： 问题 (2)总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 留考点1等式的性质 (2)1-1-2+x 2 3 1.运用等式的性质进行变形，正确的是 ( A.如果a=b,那么a+c=b-c B如果a=6,那么名=名 C.如果a=b,那么a(c2+1)=b(c2+1) D.如果a2=3a,那么a=3 留考点2一元一次方程及其解法(2017.2) 留考点3二元一次方程（组）及其解法 (8年8考) 2.真题(2017云南2题改编)已知关于x的方程 4.教材还（人教七下P93T2改编）解方程组： ax=3x-4. 一题多点 [Y=x-5, (1)若x=1是方程的解，则a的值为 2x+y=4. (2)若方程无解，则a的值为 (3)若方程的解是负数，则a的取值范围 是 ； (4)若方程有非负整数解，则整数a的所有可 能的取值的和为」 3.教材（北师七上P136T1改编）解方程： (1)2-3x=2(x-4): 【拓展设问】若方程组 x-y=4-0·的解满足 3x+y=3a x+y=2,则a的值为 5.开放性试题已知二元一次方程x+3y=14,请 写出该方程的一组正整数解： 20 众相原创赋能中考云南数学 留考点4一次方程（组）的实际应用 A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格， (8年4考) 6.数学文化我国古代数学著作《孙子算经》有 “多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二 人共车，九人步.问：人与车各几何？”其大意如 下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那 么有2辆空车：如果每2人坐一辆车，那么有9 人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y 辆车，则可列方程组为 ( 3(y-2)=x, A. B. 3(y+2)=x, 2y-9=x 2y+9=x c.3-2)=, 3(y-2)=x, 9.课标(P141例62改编)在人体每天摄取的总 D. 2y+9=x 2y+x=9 能量中，午餐约占40%，膳食中营养的均衡摄 7.教材（人教七下P102T6改编）从甲地到乙地 人与学生身体健康密切相关某健康营养师计 划用甲、乙两种原料为学生配制营养午餐，已 有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时 知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁 走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走 质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁 5km,从甲地到乙地需要70分钟，从乙地到甲 质.设每份营养午餐含甲原料x克，乙原料 地需要54分钟，从甲地到乙地上坡、平路的路 y克 程各是多少？若设从甲地到乙地上坡与平路 (1)依据题意，填写下表； 的路程分别是xkm和ykm,则可列方程组 ( 项目 甲原料x/克 乙原料y/克 3x+4y=70 +￥=70， 其中所含蛋白质/单位 4 A. 其中所含铁质/单位 B. 4y+5x=54 554 (2)如果一个初中学生的午餐需要32单位蛋 4 白质和40单位铁质，那么午餐含甲、乙两种原 + +-70 4=601 料各多少克恰好能满足学生的需要？ D x+y_54 Y x_54 5=60 4 + 560 8.真题(2023云南21(1)题)蓝天白云下，青山 绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻 清风，话家常，好不惬意.某景区为响应文化和 旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展 的指导意见》精神，需要购买A,B两种型号的 帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐 篷4顶，则需5200元：若购买A种型号帐篷3 顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元.求每顶 温馨提示 请完成分层进阶练习册P8~P10习题 第二章方程（组）与不等式（组）210=m2-3m-1,.m2-3m+1, (2)午餐含甲原料30克，乙原料20克时恰好能满足学 m3=(m2)2m 生的需要 =(3m+1)2·m 第二节分式方程及其应用 =(9m2+6m+1）·m 一阶教材知识全梳理 =[9(3m+1）+6m+1]·m ①未知数②最简公分母③0 =(27m+9+6m+1)·m 二阶追本溯源练考点 =(33m+10）·m 1.A =33m2+10m 2.(1)3(2)-2(3)-2或8(4)9或11或13或23 =33(3m+1)+10m 3.x=-1是原分式方程的解 =99m+33+10m 4.B5.B =109m+33. 6.D型车的平均速度是100千米/小时 六M=m-33.109m+33-33 7.该商场购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批 109 109 m. T恤衫每件的进价是44元 当m3+,压时，M-=m-E3+正 第三节一元二次方程及其应用 2 2 2 2 一阶 教材知识全梳理 是>0此时0> ①2②±Vn+m-m③-b±/B-4c 2a ④B-4ac 当m=3-压时，M-3=m-.3- 2 2 ⑤6-4c⑥不相等⑦相等8无⑨-么0二 3-2压<0此时w< ①(x1+x2)2-4xx22a(1-x%)2=b 2 B(a-2x)(b-2x)4(a-x)(b-x)5(a-x)(b-x) 单元整体构建 6生·ba（1+x)'gmD9n(n-1） 易错题专练 2 1.32.43.C 二阶追本溯源练考点 4.原式=4x+1, 1.(1)m≠-1(2)-1 当x=-2时，原式=-7 (3)22-3x-31=1= 5c6号 2.(1)x1=2+5,x=2-5 2(x-1) 3-x 7.(x-1)(x+1 x+1-2x+2 (x-1)(x+1)》 (x-1)(x+1) 12-30 意+1 8-35-5 2 1 第二章方程（组）与不等式（组) (4)x1=3,4=-2 第一节一次方程（组）及其应用 3.(1)m<2且m≠1(2)2(3)m≤2且m≠1 一阶教材知识全梳理 (4)m>2 ①6±e②加e③2④-个⑤1⑥整式 41)-8325-8 (2)5【拓展设问】5 ⑦最小公倍数⑧2(3x-1)=6-(4x-1)⑨变号 5.B【拓展设问】3+3(1+x)+3(1+x)2=10.92 06x-2=6-4x+1①变号26x+4x=6+1+2 6.解：(1)2x(20+2x)(40-x) BIOr-9 B (2)根据题意，得(40-x)(20+2.x)=1200, 5两个61 整理，得x2-30x+200=0. 二阶追本溯源练考点 解得x1=10.x2=20. 1.C2.(1)-1(2)3(3)a>3(4)2 :要扩大销售量，尽快减少库存，∴.x=20, 3.(1)x=2(2)x=1 答：每件童装应降价20元 4方程组的解为广=3， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 ly=-2 【拓展设问】2 一阶教材知识全梳理 5任=2（答案不唯-）6c1.D ①>②不变③>④>⑤改变⑥<⑦< y=4 ⑧实心圆点⑨空心圆圈0左①右2公共 8.每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元Br>ax<b⑤b<x<a⑥无解⑦≥8≤ 9.(1)0.4xy0.8x0.8y :9≥20≤ 云南数学3