第1章 小专题培优1 规律探索-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

小专题培优1 规律探索 类型工数式规律（必考） 1.常见简单数字规律： (1)正整数型：若一列正整数：1,2,3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是① ,这n(n≥1)个 数的和为② (2)奇偶型：若一列数：1,3,5,7,9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是③ ,这n(n≥1)个数 的和为④ :若一列数：2,4,6,8,10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑤ ,这n (n≥1)个数的和为⑥ (3)正负交替型：若一列数：3，-3.3，-3,3，….依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑦ :若一列 数：-3,3，-3,3，-3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑧ (4)固定累加型：若一列数：5,8,11,14，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑨ (5)平方型：若一列数：1,4,9,16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是0 若一列数：0,3,8,15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是① (6)菜积型：者-列数：号石动，依照此规律则第a≥)个数是卫 2.数式递推规律题解题的一般步骤 一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解： 第一步：标序数： 第二步：对比序数(1,2,3，…，)和所给数字或数式的关系，把每一部分用含序数的式子表示出来： 第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验 1.真题(2024云南10题2分)按一定规律排列 C.2"-a D.2"a 的代数式：2x,3x2,4x,5x,6x,…,第n个代数4.指导丛书(2024云南中考指导丛书P67T68) 式是 ( 观察下列各算式，用你所发现的规律得出2 A.2x" B.(n-1)x 的末位数字是 () C.nx"+ D.(n+1)x 2'=2.22=4.23=8.,2=16,23=32.26=64. 2.真题(2023云南9题3分)按一定规律排列 27=128,28=256,… 的单项式：a,2a2,N3a2,4a,5a,…,第n个 A.2 B.4 C.6 D.8 单项式是 ( 5.数学文化如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三 A.n B.√n-1a"-l D.√na"-l 角”.其规律是：从第二行起，每行两端的数都 C.√na 是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之 3.真题(2020云南12题4分)按一定规律排列 的单项式：a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,…,第 和，表中两平行线之间的一列数：1,3,6,10， n个单项式是 15,…,我们把第一个数记为a,第二个数记为 A.(-2)m-a B.(-2)"a a2,第三个数记为a,…,第n个数记为a.则 第-章数与式11 a1m的值为 (2)猜想第n个等式（用n的代数式表示），并 证明你猜想的等式是正确的. 1 、121 1331 14641 15101051 1615201561 404 第5题图 A.100 B.199 C.5050 D.10000 6.真题(2017云南16题6分)观察下列各个等 式的规律： 第一个等式2-1-1 =1,第二个等式： 3-2-1=2,第三个等式4-2-1=3… 2 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式： 类型2图形规律 图形规律的基础还是数字规律，所以解决图形规律的关键是如何转化为数字规律. 图形个数变化规律题解题的一般步骤： 第一步：标序数：记每组图形的序数为“1,2,3，…，n”: 第二步：数个数：分别用1，a2,a1,…,an表示每组图形中对应元素的个数： 第三步：观察：a1,2,43,…,an与序数n之间的关系； 第四步：验证：代人序号检验所得式子是否正确。 7.课标(P108例19(3)改编)按如图所示的方9.教材（北师七上P104T16改编）如图所示，将 式摆放餐桌和椅子，图1中共有6把椅子，图2 形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规 中共有10把椅子，…，照此规律，则图6中 律摆成下列图形，第1幅图形中“”的个数为 椅子把数是 ( a,第2幅图形中“.”的个数为a2,第3幅图形 图1 图2 图3 中，”的个数为4，…，以此类推，则上+1+ 02 第7题图 A.22 B.26 C.30 D.34 +…+1的值为 8.教材（人教七上P72数学活动1改编）用火柴 棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等 边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个 第1幅图第2褥图第3幅图第4幅图 小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此 第9题图 规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数 29 N.45 65 36 C.175 264 D. 09 为 (用含n的式子表示) 12 3 第8题图 12众相原创赋能中考云南数学尔相原创 赋能中考 参考答案及解析·2025云南数学 @课堂精讲册：P1~P39 ©分层进阶练习册：P39~P47 ○基础滚动限时练：P47~P48 课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一章数与式 二阶追本溯源练考点 第一节实数及其计算 1.(1)x≥0 (2)x≥-3(3)≤3(4)x≥-1 一阶教材知识全梳理 (5)x>-4(6)x≥1且x≠3 ①有理数②无限循环③无限不循环④-3℃ ⑤大⑥正数⑦负数81a-61⑨“十b0-4 (5)2/7x 2 2422,而)92 ①0203相等④它本身雪0⑥它的相反数 (6)1bl、5ab ①a809-:国越大①②08±11 3.④⑥4.6 5.原式=-23. 雪10大7小②相反数四0,10，±11 6.C7.5(答案不唯一) 负数⑧正数网-1心站雪站团6-a⑧号 第三节 代数式与整式 a 一阶教材知识全梳理 40322422548324-253 ①a=b=e=0②和③常数项④次数最高⑤相同 ⑥相同⑦系数⑧不变⑨a+b+c0a-b-c 004较大8减去900(-b) 励-ab2 b ①相加2a"+”3相减a-”5相乘Ga 536+aa+(b+e)5ba a(be) 5ab +ac ①⑦ab0B6ab'①0ma+mb+me2⑧am+an+bm+bm 二阶追本溯源练考点 0a2-b22a2±2ab+6284a2x④a+6 1.B 5m(a+b+e) 5(a+b)(a-b)④(a±b) 2.(1)①3⑤6⑦⑨ ②④801D ⑤6⑦⑨①8③ 二阶追本溯源练考点 ⑤⑨(2)⑧ 1.(1)a2+2(2)(1-15%)a(3)0.8a 3.B A C (4)(8m+100n) 4)-2-3 2.A3.C4.-35.③⑥6.④⑤ (2)点C和点D(3)-3或1 7.原式=3x2+y2, (4)7(答案不唯一）(5)2【拓展设问】-1 当x=-3,y=-2时，原式=31. 5.(1)4×102(2)4.59×10(3)5.78×10 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2)(x-2)(3)(x-1)月 (4)4.6×10(5)2×10-【拓展设问】2340000 (4)a(a-3)(a+3)(5)(x+1)(x+2) 6.A7.(1)<(2)>8.±882【拓展设问】4 小专题培优1规律探索 9.C ①n ②n(m,+D③2n-1④n262n⑥m(m+1） 10.1(21(3)-27(4)1(5)8 (6)-8 2 ⑦(-1)-1.3⑧(-1)·3⑨3n+20n2①m2-1 (7)5-2(8)1 21 n(n+1) 11.原式=2. 1.D2.C3.A4.C5.C 12.原式=6. 6.解：(1)由题目中式子的变化规律可得 13.原式=22+2. 第四个等式是5-4-山4 第二节 二次根式 2 一阶教材知识全梳理 (2)第n个等式是a+山--1=n 2 ①大于或等于②相同③a④-a⑤a·石6 6 证明如下：(n+1)2-2-山 2 ⑦最简⑧被开方数⑨√b q①2 =[(n+I)+nl[(n+1)-nl-I 2 云南数学1 _2n+1-1.20=m, 2 2 5-2rg25+5-5 :第n个等式是+1--山： 2 了t 3 28 7.B8.6n+6 5=3+5= 51 9.A【解析】观察图形，可知：a,=2+1=3=1×3,4,=11.解：m2-2m+n=8,n=-m2+2m+8, 2+3+2+1=8=2×4,01=2+3+4+3+2+1=15= 7=2-18n+83 3×5.44=2+3+4+5+4+3+2+1=24=4×6,…, m-1 a,=n(m+2),L+1+⊥ 11 -2-18m+81+2 +a,1x3+ +…+ m-1 1a03 1 1 1 111 =n-9)2+2 2x4+3x5+…+8×10=2×(1-3+2-4 m-1 11 11 111 ==m+2m+8-9)2+2 3-5+…+810)=2×(1+2-910 m-1 分×0+5则0-9-器做选入 2=(m-+2 90 ·m,T为整数，而2的因数有±1或±2， 第四节分式 .m-1=±1或m-1=±2， 一阶教材知识全梳理 ,m=2或0或3或-1， ①B≠0②B=0③A=0且B≠0④不等于0 .n=8或5 ⑤不变⑥不变⑦加减⑧“⑨密 0ad±c6 bd 12.解：，k是抛物线y=-x+7x+1与x轴交点的横坐标， .k是方程-x2+7x+1=0的根， .-2+7k+1=0 二阶追本溯源练考点 1.①②④⑥⑦①2⑦2.(1)x≠4(2)-1(3)-1 -1skk-g=万 3.D4.③⑤6 (-=1状+79， 1 51)号(2)4(3)2x(4本(51 45 (6) g+眼+2然+R+k x+1 45 6原式= 收+0+2+日+ + 当=时，原式=2 45 世+2++(-2++2 小专题培优2代入求值中的整体思想 45 1.C2.B3.364.D【变式1】6【变式2】B 54【变式D【变式21号 ++(-P+2 45 【变式31解过-3心3，即y-=3w 9°+7+2 y 226m- y+2y-x:(y-x)+2y 13.解：(1)八抛物线y=2+成-1的对称轴是直线x=之 3 6.647.18.2 9.解：m2-m-1=0,∴m2=m+1,m2-m=1, ∴.m-2m+2024 大一号=号，解得6=-3 =m·m2-2m+2024 (2)由(1)知b=-3, =m(m+1)-2m+2024 ∴.抛物线的解析式为y=x-3x-1, =m2-m+2024 =1+2024 当y=0时，0=2-3x-1,解得x=3±国 2 =2025. ·m是抛物线y=2+x-1与x轴交点的横坐标， 10.解：5x2-3x-5=0,.5x2-2x=x+5,5x2-5=3x. m=3±g 2 2-1=房 “m是抛物线y=x2-3x-1与x轴交点的横坐标， 2众相原创赋能中考