第1章 第2节 二次根式-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第二节 二次根式 一阶了教材知识全梳理 考点口二次根式的相关概念及性质（重点） 概念 般地，形如va(a≥0)的式子叫做二次根式，a是被开方数 有意义 被开方数①) 0 的条件 需同时满足以下两个条件： 最简二 (1)被开方数不含分母，即分母中不含根式，如：， 厂，上均不是最简二次根式： 次根式 3'3 (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，如：⑧，入a6均不是最简二次根式 同类二 化为最简二次根式后，被开方数② 的几个二次根式称为同类二次根式，如： 次根式 18(化简后为3√2)与2就是同类二次根式 (1)双重非负性：a≥0且a≥0： a(a≥0). 性质 (2)(a)2=③ (a≥0)： (3)/a=lal= L④ (a<0): (4)√ab=⑤ (≥0,6≥0)：(5)号=0 (a≥0.b>0) 考点2二次根式的运算 先将各二次根式化成⑦ 二次根式，再将⑧ 相同的二次根式进行合 加减法 并，如：8+2=2√2+2=32 乘除法 a·D=⑨ (a≥0.b≥0)：5=0 (a≥0.b>0) 混合运算 先乘除，再加减：有括号先算括号里面的：同级运算从左往右依次进行 【知识拓展】分母有理化 (1)1 =Va =(a>0) √a√a·aa (2)1 a+b =a+b(a≠b,a≥0) a-b (a-b)(a+b)a-b 考点3二次根式的估值 确定与无理 (1)先对二次根式平方，如：(3)2=3： 数a(a≥0) (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，即1<3<4： 相邻的两个 (3)对以上两个整数开平方，即1=1,4=① 连续整数 (4)确定这个根式的值在开平方后所得的两个整数之间，即1<√5<2 6 众相原创赋能中考云南数学 续表 确定无理数 (1)确定a在哪两个相邻整数之间，如：1<3<2； a(a≥0)离 （2)求这两个相邻整数的平均数，即，21.5： 哪个整数 (3)求平均数的平方，即：1.52=2.25： (或小数) (4)若这个平均数的平方大于二次根式的平方，则离较小的那个整数近，否则离较大的整 更近 数近，即：2.25<3，则3离2较近 【知识拓展】记住常见的二次根式的估值，如：w2≈1.414,3=1.732,5=2.236,6≈2.449,7≈2.646， 可提升解题速度 二阶了追本潮源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 函考点1二次根式的相关概念及性质(8 ④√3×2=6：⑤(-3)=-3： 年5考) ⑥43-33=3：⑦5-3=2： 1.真题(1)(2024云南4题改编)若√x在实数 ⑧v2+32=2+3. 范围内有意义，则实数x的取值范围是 4.教材（人教八下P16阅读与思考改编）我国南 宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边 (2)(2022云南13题改编)使二次根式√3x+1 求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦 有意义的x的取值范围是 提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别 (3)(2017云南4题改编)若二次根式W5-2x有 意义，则x的取值范围是 为a,6,c,记p=++9,则其面积S 2 (4)(2019云南10题改编)若x+1 2 有意义，则 √p(p-a)(p-b)(p-c),这个公式也被称为海 伦一秦九韶公式.若一个三角形的a,b,c,p为四 x的取值范围是 : 个连续正整数，则此三角形的面积为 (5)若代数式 2一在实数范围内有意义，则x5.教材（北师八上P50T8改编）计算：√27+ x+4 的取值范围是 3 V3-3,6×2 (6)若代数式x- x-3 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 一题多点 2.教材（人教八下PI0练习T2改编）把下列二 次根式化成最简二次根式： 一题多点 (1)√32= :(2)√40= (3)1.5 4 :(4) 3 (5)/28x= 函考点3二次根式的估值 (6)5ab3= 6.教材（北师八上P50T10改编）把下列四个数 函考点2 二次根式的运算(8年3考) 表示在数轴上，离原点最近的是 () 3.教材（人教八下P15T1改编）下列运算正确 A.-2 B.√2 C.-0.4 0. 的是 (填序号)】 7.开放性试题写出一个无理数x,使得1<x<4, ①2+√2=22：②/15÷5=3：③ 2-2 3=3 则x可以是 (只要写出一个满足 条件的值即可) 温馨提示 请完成分层进阶练习册P3习题 第一章数与式7尔相原创 赋能中考 参考答案及解析·2025云南数学 @课堂精讲册：P1~P39 ©分层进阶练习册：P39~P47 ○基础滚动限时练：P47~P48 课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一章数与式 二阶追本溯源练考点 第一节实数及其计算 1.(1)x≥0 (2)x≥-3(3)≤3(4)x≥-1 一阶教材知识全梳理 (5)x>-4(6)x≥1且x≠3 ①有理数②无限循环③无限不循环④-3℃ ⑤大⑥正数⑦负数81a-61⑨“十b0-4 (5)2/7x 2 2422,而)92 ①0203相等④它本身雪0⑥它的相反数 (6)1bl、5ab ①a809-:国越大①②08±11 3.④⑥4.6 5.原式=-23. 雪10大7小②相反数四0,10，±11 6.C7.5(答案不唯一) 负数⑧正数网-1心站雪站团6-a⑧号 第三节 代数式与整式 a 一阶教材知识全梳理 40322422548324-253 ①a=b=e=0②和③常数项④次数最高⑤相同 ⑥相同⑦系数⑧不变⑨a+b+c0a-b-c 004较大8减去900(-b) 励-ab2 b ①相加2a"+”3相减a-”5相乘Ga 536+aa+(b+e)5ba a(be) 5ab +ac ①⑦ab0B6ab'①0ma+mb+me2⑧am+an+bm+bm 二阶追本溯源练考点 0a2-b22a2±2ab+6284a2x④a+6 1.B 5m(a+b+e) 5(a+b)(a-b)④(a±b) 2.(1)①3⑤6⑦⑨ ②④801D ⑤6⑦⑨①8③ 二阶追本溯源练考点 ⑤⑨(2)⑧ 1.(1)a2+2(2)(1-15%)a(3)0.8a 3.B A C (4)(8m+100n) 4)-2-3 2.A3.C4.-35.③⑥6.④⑤ (2)点C和点D(3)-3或1 7.原式=3x2+y2, (4)7(答案不唯一）(5)2【拓展设问】-1 当x=-3,y=-2时，原式=31. 5.(1)4×102(2)4.59×10(3)5.78×10 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2)(x-2)(3)(x-1)月 (4)4.6×10(5)2×10-【拓展设问】2340000 (4)a(a-3)(a+3)(5)(x+1)(x+2) 6.A7.(1)<(2)>8.±882【拓展设问】4 小专题培优1规律探索 9.C ①n ②n(m,+D③2n-1④n262n⑥m(m+1） 10.1(21(3)-27(4)1(5)8 (6)-8 2 ⑦(-1)-1.3⑧(-1)·3⑨3n+20n2①m2-1 (7)5-2(8)1 21 n(n+1) 11.原式=2. 1.D2.C3.A4.C5.C 12.原式=6. 6.解：(1)由题目中式子的变化规律可得 13.原式=22+2. 第四个等式是5-4-山4 第二节 二次根式 2 一阶教材知识全梳理 (2)第n个等式是a+山--1=n 2 ①大于或等于②相同③a④-a⑤a·石6 6 证明如下：(n+1)2-2-山 2 ⑦最简⑧被开方数⑨√b q①2 =[(n+I)+nl[(n+1)-nl-I 2 云南数学1