第1章 第1节 实数及其计算9-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（云南专用）

第一部分 追本溯源夯基础 第一章数与式 第一节 实数及其计算 一阶了教材知识全梳理 考点I实数的分类（重点） ,正整数 整数0 负整数 D 正分数 分数 有限小数或② 小数 实数 负分数」 正无理数 实数的 按定义分 无理数 小数 负无理数」 分类 【特别提醒】无理数的常见形式： (1)开方开不尽的敏，如：2,3,6等： (2)结果含有根号的三角函敏值，如：sin45°，cos30°等： (3)m及化简后含π的数，知：2，号等 (4)有规律的无限不循环小数，如：0.1010010001（每相邻两个1之间依次多一个0） 按大小分 正数0（既不是正数，也不是负数）、负数 (1)常用正负数来表示一组具有相反意义的量： 正负数 (2)常见的具有相反意义的量有：“零上、零下”、“收入、支出”、“上升、下降”、“增加、减少”等 的意义 举例：若气温为零上4℃记作+4℃，则零下3℃应记作④ 考点2数轴、相反数、绝对值、倒数 1.数轴 一◆正方向 原点 三要素 原点、正方向、单位长度（如图） 单位长贷 -4-3-2-10 1234 (1)实数与数轴上的点是一一对应的： (2)数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数⑤ :原点右边的点表示的数 性质 为⑥ ,原点左边的点表示的数为⑦ (3)若数轴上A,B两点表示的数分别为a,b,则A,B两点间的距离为⑧ ,线段AB的 中点表示的数为⑨ 第一章数与式1 2.相反数 概念 只有符号不同的两个数互为相反数 (1)非零实数a的相反数是0 特别地，0的相反数是① 性质 (2)实数a,b互为相反数一n+b=2 在数轴上，表示互为相反数(0徐外)的两个数的点，分别位于原点的两侧，且到原点的距离 几何意义 13 3.绝对值 概念 般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|al (1)绝对值具有非负性，即1a≥0： (2)正数的绝对值是④ .0的绝对值是5 负数的绝对值是回 性质 r1D (a>0), 即Ial=8 (a=0), 19 (a<0) 几何意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点越远的点表示的数的绝对值④ 4.倒数 概念 乘积是1的两个数互为倒数 (1)非零实数a的倒数是列 (2)正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数，② 没有倒数： 性质 (3)倒数等于其本身的数是 (4)a,b互为倒数ab= 考点了科学记数法（重点） 概念 把一个数表示成a×10°的形式（其中1≤lal< ,n为整数) 方法一：当原数的绝对值≥10时，n是正整数，n=“原数的整数位数”-1；当0<原数的绝对 值<1时，n是负整数，Inl=原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）： n的确定 方法二：nl=原数变为a时小数点移动的位数（小数点向左移动，n为正整数：小数点向右 移动，n为负整数) 【特别提醒】 (1)含计数（量）单位的数用科学记数法表示时，应先把计数（量）单位进行换算： (2)常见的计数单位换算：1千=103,1万=10,1亿=10： (3)常见的计量单位换算：】mmm=103m,1m=106m,1nm=109m 1h=3.6×103s,1m/8=3.6km/h,1g/cm3=1×103kg/m3 2众相原创赋能中考云南数学 考点④实数的大小比较 数轴比较法 将要比较的数表示在数轴上，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数 正数>0>负数： 类别比较法 两个负数比较大小，绝对值大的反而四 作差比较法 a-b>0a>b;a-b=0ea=b;a-b<0a<b 平方比较法 a>√b(a>0,b≥0)一a2>b(a>0,b≥0)（适用于含二次根号的数的大小比较） >0时，台>1a>b:分<laa<b:若=lea=b 求商比较法 当6<0时，号>19a<b:号<10>6：号=10=6 考点5平方根、算术平方根、立方根 a>0 a=0 a<0 性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为四 :0的 平方根 ±a 0 无 平方根是0：负数没有平方根： (2)平方根等于本身的数是0 算术平方根 a 0 无 算术平方根等于本身的数是四 (1)任意一个实数只有一个立方根，且与原数同号： 立方根 a(正数)》 0 /a(负数)】 (2)立方根等于本身的数是國 考点6实数的运算（重点） 1.常见运算 零次幂 a°= (a≠0) a”=a·a·a·…·a(n个a相乘，其中a是底数，n是指数)： 乘方 正数的任何次幂都是正数：负数的奇次幂是@ ,偶次幂是8 -1的奇、偶 (n为偶数)， (-1)"= 注意：(-1)6=1，-1°=-1) 次幂 13团 (n为奇数) 负整数 a”=图 (a≠0，p是正整数).特别地，a'= (a≠0) 指数幂 ra-b(a>b), 去绝对 1a-bl=0(a=b), 值符号 0 (a<b) sin30°=c0s60°= 特殊角的三 2,sin45=c0s450=宽 ,sin60°=c0s30°=9 角函数值 an30°=3 ,an45°=1，an60°=到 8=4① ,12=4@ ,√18=48 ,-8=4 常见的开方 27=5 第一章数与式3 2.四则运算法则 (1)同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； (2)异号两数相加：绝对值相等时，和为40 :绝对值不相等时，取绝对值4⑦ 加法 的数的符号，并用较大的绝对值⑧ 较小的绝对值： (3)一个数同4 相加，仍得这个数 减法 a-b=a+① 乘法 a·b=ab:a·(-b)=⑤① 两数相乘除，同号得正，异号 除法 a÷b=a·2 (b≠0) 得负 3.运算律 加法交换律：a+b=3 加法结合律：(a+b)+c=⑤团 乘法交换律：ab= 乘法结合律：(ab)c= 乘法分配律：a(b+c)= 考点⑦近似数、精确度 与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数.如：取3.14，身高约为165cm,这里说的 近似数 3.14和165都是近似数 近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示，一个近似数四舍五人到哪一位就说这 精确度 个数精确到哪一位 二阶」追本溯源练考点 教材·真题·课标·指导丛书 □考点1实数的分类(8年5考) 也不是负数的是 1.教材（人教七上P27阅读与思考改编）中国 (2)以上实数中，大于1小于2的无理数是 人很早就开始使用负数.早在1700多年前，我 国数学家刘徽给出了用算筹区分正数、负数的 函考点2数轴、相反数、绝对值、倒数 方法，即“正算赤，负算黑”，就是用红色算筹表 (8年2考) 示正数，黑色算筹表示负数.如图：=（此算筹 3.真题(2018,2017云南1题组合改编)有理数 为红色)，表示的数是+32，如图：=（此算筹 2024的相反数是( ),绝对值是( ),倒 为黑色)，表示的数是 () 数是( A.-42B.-24 C.+24 D.+42 A.2024 B.-2024 2.教材团（人教七下P57T2改编）将下列实数对 1 应的序号填在相应的横线上： 一题多点 C. D.一2024 0号.2m,③3.14159265，④5，⑤-7.⑥4， 4.教材（北师七上P28例1改编）如图，A,B,C, D,E各点在数轴分别表示5个数 一题多点 ⑦3，⑧3，⑨0,02.020020002…（每相邻两个 ECA DB 2之间依次多一个0)，①c0s45 -3-101 3 (1)其中有理数为 ,无理数为 第4题图 ,整数为 ,分数为 (1)点C对应的实数是 ,其倒数是 ,负数为 ,既不是正数 4众相原创赋能中考 云南数学 (2)图中5个点中，表示的数互为相反数的点 方根是 是 【变式】一个正方体的体积是64cm3,则这个正 (3)到点A的距离为2个单位长度的点表示的 方体的棱长是 cm. 数是 留考点6实数的运算(8年8考) (4)请写出一个点B可能表示的无理数：9.真题(2021云南1题4分)某地区2021年元 旦的最高气温为9℃，最低气温为-2℃，那么 (5)将点A向右平移3个单位长度后表示的数 该地区这天的最低气温比最高气温低() 是 A.7℃ B.-7℃ 【拓展设问】若点F是线段ED的中点，则点F C.11℃ D.-11℃ 所表示的数是 10.教材（人教七上P47T1改编）计算： ☑考点3科学记数法(8年7考，近3年连续 一题多点 考查) (1)2°= :(2)(-2)°= 5.将下列各数分别用科学记数法表示：一题多点 (3)(-3)3= (1)真题(2022云南1题改编)40000000= (4)(-1)2024= (2)4.59亿= (5)23= (6)(- (3)真题(2024云南2题改编)57800= (7)12-51= (8)(3-2)°= (4)0.0000046= (9)c0s30°= (5)20纳米= 米； (10)sin45°= 【拓展设问】将用科学记数法表示的数还原： 1 11.真题(2024云南20题7分)计算：70+ 2.34×10= 国考点4实数的大小比较 (合）'+1-21-(5)2-im30 6.教材（人教七上P52T10改编）实数a,b在数 轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正 确的是 12.真题(2021云南15题6分)计算：(-3)2+ 0五 第6题图 tan45 2 +(2-1°-2+号x(-60. A.-a>-b B.lal <Ibl c片 D.a2<b2 7.教材（北师八上P50T7改编）比较下列各数 13.真题(2018云南15题6分)计算：18- 的大小： (1)23 3√2：(2)81 27 2s45+(分)1-(m-1 函考点5平方根、算术平方根、立方根 8.教材（北师八上P28想一想改编）64的平方 根是 ,64= ,√64的立 温馨提示 请完成分层进阶练习册P1~P2习题 第一章数与式5众相原创 参考答案及解析·2025云南数学 赋能中考 课堂精讲册:P1~P39 分层进阶练习册:P39~P47 基础滚动限时练:P47~P48 课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一章 数与式 二阶 追本溯源练考点 第一节 实数及其计算 (4)x>-1 一阶 教材知识全梳理 (5)x>-4(6)x=1且x3 ①有理数 ②无限循环 ③无限不循环 ④-3C (5)2/7x 0 0 相等 它本身 0 它的相反数 (6)1b15a 0 -a 8越大 ②0 ②+1 ②1 3.④4.6 5.原式=-2/3. 10 2大 小 相反数 20.10,+1 1 6.C 7./5(答案不唯一) 第三节 代数式与整式 ## 一阶 教材知识全梳理 03 22 23 32-23 ①a=b=c=0 ②和 ③常数项 ④次数最高 相同 相同 系数 ⑧不变 +b+c a-b-c 相加“” 相减“” 相乘” ③+a a+(b+c)ba a(be)ab+ac a'b" 6ab3 ma + mb+ mc 2am + an + bm+ bn 二阶 追本溯源练考点 -b②a’+2ab+6234a’x ②+b 2(a+b)(a-b) 2m(a+b+c) 1.B 2(a+b)} ①③ 2.(1)①③ ②④⑧ 二阶 追本溯源练考点 (2)⑧ 1.(1)+ (2)(1-15%)a (3)0.$ 3.B A C (4)(8m+100n) 4.(1)-2 2.A 3.C 4.-3 5.③ 6.④ (2)点C和点D(3)-3或1 7.原式=3v+y. (4)/7(答案不唯一)(5)2【拓展设问】-1 当x=-3.y=-2时,原式=31. 5.(1)4×10’(2)4.59×10*(3)5.78×10* 8.(1)2x(x-2) (2)(x+2)(x-2) (3)(x-1)) (4)4.6x10*(5)2×10*【拓展设问】2340000 (4)a(a-3)(a+3) (5)(x+1)(x+2) 6.A 7.(1) (2)>8.+88 2【拓展设问】4 小专题培优1 规律探索 9.C 10.(1)1(2)1(3)-27(4)1(5)& (6)-8 2 (-1)*.3 ⑧(-1) ·33n+2nn-1 11.原式=2. 1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 12.原式=6. 6.解:(1)由题目中式子的变化规律可得. 13.原式-22+2 第四个等式是-4-1-4. 第二节 二次根式 2 一阶 教材知识全梳理 2 ①大于或等于 ②相同 ③a ④-a · 证明如下:.(n+1)-*-1 2 2 最简 ⑧被开方数 -[(n+1)+n][(n+1)-n]-1 2 云南数学1