精品解析：陕西省西安市西北工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

2024~2025学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学 高二上学期开学考试数学试卷 一、单选题 1. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 2. 在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与的位置关系不能判断 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 7. 已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 空间中三点是坐标原点，则（ ） A. B. C. 点关于平面对称的点为 D. 与夹角的余弦值是 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（ ） A. B. C. 平面 D. 直线与AC所成角的正弦值为 三、填空题 12. 已知向量，，且，则______． 13. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是______. 14. 在正方体中,是侧面的中心分别是 的中点，点分别在线段上运动，则的最小值为 __________. 四、解答题 15. 已知向量． （1）求； （2）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （3）若向量与向量共面向量，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形底面分别是的中点. （1）求直线与平面的距离； （2）若点为的中点，求平面与平面的距离. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． （1）当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； （2）在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学 高二上学期开学考试数学试卷 一、单选题 1. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 2. 在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为.其中正确命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合空间向量线性运算性质、数量积的运算性质、线面垂直的判定定理、共线向量的性质逐一判断即可. 【详解】①由及正方体棱长与体对角线关系，故，①正确； ②， 而面，面，则，又， ，面，故面， 又面，故，则，②正确； ③设该正方体的棱长为， ， 所以， 因为两个向量的夹角的范围为， 所以与的夹角为，③不正确， 故选：C. 3. 在下列条件中，使与一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 4. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与的位置关系不能判断 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线即可判定. 【详解】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故， 故选：A 6. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 7. 已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 8. 如图所示，正方体的棱长为1，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 三棱锥的体积为 D. 直线BC与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A选项根据正方体的性质判断；对于B，D利用空间向量判断，对于C，利用体积公式求解即可. 【详解】A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错误； 如图建立空间直角坐标系，则， 对于B，设平面的法向量为，则， 令，则， 因为，所以，所以， 因为在平面外，所以直线与平面平行，所以B正确， 对于C， ，所以三棱锥的体积为，所以C错误， 对于D，，直线BC与平面所成的角为，，所以D错误， 故选：B. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可. 【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确； 对于B项，由可得，解得，故B项错误； 对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确； 对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确. 故选：ACD. 10. 空间中三点是坐标原点，则（ ） A. B. C. 点关于平面对称的点为 D. 与夹角的余弦值是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定. 【详解】由题意可得：，， 所以，故A正确； ，即，故B正确； 点关于平面对称的点为，故C错误； ，故D错误. 故选：AB 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则（ ） A. B. C. 平面 D. 直线与AC所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质和定义、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】以为空间一组基底，， ， 所以，A选项正确； ，所以 ， 所以，B选项错误； 依题意可知，四边形ABCD是菱形， 所以，且，由于，，平面， 所以平面，C选项正确； 设直线与AC所成角为，， ， ， ， ， 所以， ，D选项错误． 故选：AC． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间向量基本定理、空间向量夹角公式. 三、填空题 12. 已知向量，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算公式，计算可得答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 13. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离，再根据等体积法计算. 【详解】∵， ∴由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上， ∴的最小值转化为求点到平面的距离， 由正方体棱长为1，可得时边长为的等边三角形， 则，， 根据等体积法得，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：. 14. 在正方体中,是侧面的中心分别是 的中点，点分别在线段上运动，则的最小值为 __________. 【答案】 【解析】 【分析】连接设,连接,则,利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得,所以，过作,垂足为，则长即为所求. 【详解】 连接设,连接,则, 又平面,平面,所以, 又因为平面， 所以平面， 因为平面，所以, 所以，过作,垂足为， 所以长即为所求， 在矩形中，易知，, 可知, 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量． （1）求； （2）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （3）若向量与向量共面向量，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可. （2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可. （3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可. 【小问1详解】 ，， ， ． 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 因为，且向量与垂直， 所以， 即， ． 所以实数和的值分别为和； 【小问3详解】 解：设， 则 解得， 即， 所以向量与向量，共面． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形底面分别是的中点. （1）求直线与平面的距离； （2）若点为的中点，求平面与平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理结合空间向量的坐标运算，证明平面，从而直线与平面的距离为点到平面的距离，利用坐标运算求解； （2）利用面面平行的判定定理结合空间向量的坐标运算，证明平面平面，从而平面与平面的距离为点到平面的距离，即可转化为问题（1）. 【小问1详解】 因为底面底面是边长为的正方形, 所以以为坐标原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， , 则，取则，所以， , 因为，且平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离为点到平面的距离， , 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由小问（1）可知，, 因为平面，所以平面， 因为平面, 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点到平面的距离，即为. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）法一：取中点，连接， 为的中点，， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. 法二：取中点，连接， 为的中点，， 平面平面，平面， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面 又，平面，平面平面， 又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用构造平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得证；法二：利用面面平行的判定定理与性质定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，， 平面， 取中点，连接，则平面， 所以是直线与平面所成的角，即， 又，， 又， 又，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， ， ， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 易得平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， ， 故平面与平面所成的夹角的余弦为. 18. 将矩形面绕边顺时针旋转得到如图所示几何体．已知，，点E在线段上，P为圆弧的中点． （1）当E是线段的中点时，求异面直线AE写所成角的余弦值； （2）在线段上是否存在点E，使得平面？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法处理即可. （2）利用空间位置关系的向量证明即可. 【小问1详解】 如图，以A为原点，以AC，AB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz． 则，，，， 当E是线段的中点时，，，， 则， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 设， 设平面的法向量为， 又，，， 所以，令，得， 若平面，则，解答． 所以在线段上存在点E，使得平面，此时． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在，，理由如下： 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为． 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $