专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 比例线段】 1．（23-24九年级上·湖南常德·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 【答案】①② 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：①，这四条线段成比例，符合题意； ②，这四条线段成比例；符合题意； ③∵，，，， ∴ ∴，这四条线段不成比例，不符合题意； ④，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故答案为：①②． 3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知线段， (1)求的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； （1）根据题意直接可得结果； （2）根据比例的性质可得，进而即可求解． 【详解】（1）解： （2）∵线段是线段，的比例中项，，， ∴， 解得：， 又∵线段的长是正数， ∴． 【易错必刷二 比例的性质】 1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．根据比例的性质可得，，再代入计算可得答案． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，掌握等比性质是解决问题的关键．依据比例基本性质中的等比性质，即可得到分式的值． 【详解】解∶∵，且， ∴， 故答案为∶ ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∴ ． 【易错必刷三 黄金分割】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：为的黄金分割点，， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，即，若，那么的长为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案．本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）． 【答案】米 【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可． 【详解】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m． 依题意，得 解得（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根． ∴雕像下部设计的高度应该为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【易错必刷四 平行线分线段成比例】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由平行线等分线段定理可得，即得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解分式方程，有理数加法运算等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， 根据平行线分线段成比例定理可得：， 即：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，且． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四分线段成比例定理，解题的关键是数形结合，得出比例线段． （1）根据，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据，  得出，根据，求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：∵，   ， ∵， ， 解得：， ． 【易错必刷五 相似多边形】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，即可求解． 【详解】解：B菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，是相似多边形，则B选项符合题意； A选项边不对应成比例，不是相似多边形，则A选项不符合题意； C选项菱形有不稳定性，形状不固定，不是相似多边形，则C选项不符合题意； D选项等腰梯形形状不固定，不是相似多边形，则D选项不符合题意． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）矩形ABCD中，，矩形EFGH中，，，这两个矩形 【答案】相似 【分析】根据相似多边形的判定方法解答即可. 【详解】∵，，，， ∴,. 又∵矩形的四个角都是直角， ∴这两个矩形相似. 故答案为相似. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由． 【答案】不相似，见解析 【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，判断即可． 【详解】解：不相似．理由如下： 因为， 所以， 而， 所以矩形与矩形不相似． 【点睛】此题考查的是相似多边形的判定，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键． 【易错必刷六 相似多边形的性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得出，代入数据即可得出答案． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 【易错必刷七 相似三角形的判定】 1．（2024九年级下·广东·专题练习）根据下列条件，不能判定和相似的是（　　） A．，， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∵， ∴．故A不合题意； ∵，， ∴,故B不合题意； 过点C作交延长线于N，交的延长线于M， ∵， ∴． 在中，， ∴，同理， 则，即， 设， 则，， 根据勾股定理得，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴和相似.故C不合题意； 因为对应边成比例，夹角不一定相等，不能判定和相似．故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）如图，P是的边上一点，请添加一个条件使得与相似，则你添加的条件可以是 ，（只需添加一个符合的条件即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】由于两个三角形有公共角，因此可添加一组角对应相等即可判定两三角形相似． 【详解】解：添加条件：， ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：两组角对应相等的两个三角形相似，两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【易错必刷八 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，是边上一点，连接，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意； D．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选C． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，E分别是，延长线上的点，请添加一个条件： ____________________，使得，并写出证明过程． 【答案】（答案不唯一）；证明见解析 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据题意，得到两个三角形有一对公共角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，延长线上的点， ∴， 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得； 当时， ∴根据两直线平行内错角相等可得：， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：． 【易错必刷九 利用相似三角形测高】 1．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作，    由图可知，，， ． 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ． ，，， ． ． 故答案为：8． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为24米 【分析】本题考查相似三角形的实际应用．证明，列出比例式进行求解即可．解题的关键是证明三角形相似． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：，且是方程的解， ∵， ∴， ∴，且是方程的解， 答：旗杆的高度为24米． 【易错必刷十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点G是的重心，，则等于（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形重心的性质等知识，根据重心的性质得出以及，即可得出的比值，再利用三角形中线的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：延长到于点N， 点G是的重心，， ， ， ， 点G是的重心，则是三角形中线， ， ． 故选：A． 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质以及相似三角形的性质，依据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：，即可得到，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．解决问题的关键是掌握：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，则点在上，点在上，   ，分别是，的重心， ∴， 连接，，则， ∴． 正六边形的边长为， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【易错必刷十一 相似三角形的判定与性质综合】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质， 根据题意，可证，可得，如图所示，过点作，交于点，交于点，可得四边形是矩形，结合题意，设，可得，在直角中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得，， 如图所示，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴的长为， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，相交于点，于，且，，则矩形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．设，则，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得矩形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴，， ∴矩形的面积为， 故答案为：40． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】根据角平分线的定义可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，可证，根据等角对等边可证； 根据，，可证，从而可证是等腰直角三角形，根据勾股定理可证，根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示， 平分， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据已知条件找出对应相等的角，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和勾股定理证明结论成立． 【易错必刷十二 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，直角三角形中，，，，为的中点，过点作的垂线，交边于点，若点在射线上（不与点重合），且由点，，组成的三角形与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或， 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，由相似三角形的性质得，则，所以，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，垂足为，，垂足为， ， ； （2）证明：∵，，， ， ， ， ， ， ， 与相等或互为相反数， ，， ． 【易错必刷十三 证明三角形的对应线段成比例】 1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐项判断即可. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴AB∥CD， AD∥BC，且AB=CD，AD=BC， A、在△EBF中，∵AG∥BF，∴，故此选项正确； B、∵AE∥DH，∴，故此选项正确； C、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，故此选项错误； D、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，又∵AD=BC，∴，故此选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断. 2．（23-24九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC； （2）由DFBC可知，可求得BE，进一步可求出BD． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥BD， ∴∠FDC=∠DEC=90°，且∠DCE=∠DCF， ∴△DEC∽△FDC； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴，且F为中点， ∴，且DE=2， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【易错必刷十四 利用相似求坐标】 1．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 2．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2022·江西九江·二模）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求，，的值． (2)是轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先根据点在反比例函数上求出，然后将点和点代入一次函数解析式即可得出答案． （2）如图，过点作轴交轴于点，交轴于点，设出点的坐标，根据代入即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为． 将和代入， 得， 解得． （2）：如图，过点作轴交轴于点，交轴于点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点坐标为，则，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题属于反比例与一次函数综合题，解题的关键是读懂题意，设出坐标，应用相似三角形对应边成比例代入求解． 【易错必刷十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，PQ=，PR=，QR=， ∴PQ2+PR2=RQ2， ∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为=2， 观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 2．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图②，点即为所求； （3）解：如图③，点即为所求 【易错必刷十六 相似三角形的动点问题】 1．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分别在边AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（　　）    A．2 B．3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O． ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵DE∥AB， ∴＝，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60° ∴＝， ∵∠ACB＝∠D′CE′， ∴∠ACD′＝∠BCE′， ∴△ACD′∽△BCE′， ∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB， 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝， ∵DE∥AB， ∴＝， ∴＝， ∴CE＝， ∵∠CHE′＝90°，∠CE′H＝∠CAB＝60°，CE′＝CE＝ ∴E′H＝CE′＝，CH＝HE′＝， ∴BH＝＝＝ ∴BE′＝HE′+BH＝3， 故选：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为 ． 【答案】或11 【分析】需要分在的左边或右边两种情况分别求解即可． 【详解】解：，，，垂足为， ， 当在的左边时，如图： 在边上，由题意得：，， ， ， ， （秒， 当在的右边时，如图： 由题意得：，，， ， ， ， ， （秒． 故答案为：或11． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线截线段成比例、勾股定理、三角形相似，解题的关键是充分利用正方形性质，讨论的位置． 3．（2023·吉林·模拟预测）如图在中，是边的高线，，动点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．当点P出发后，过点P作．交折线于点Q，以为边作正方形，使点N在直线上，且与始终在的同侧．设正方形与重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t秒．    (1)当点N与点B重合时，t的值为 ； (2)当点P在线段上，且正方形与重叠部分图形是五边形时，求t的取值范围； (3)当正方形与重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、列函数解析式等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）由题意可得和都是等腰直角三角形，；利用等腰直角三角形的性质解答即可； （2）当点M在上时，设交于点E，则，得到，代入数值即可得到答案； （3）分情况利用数形结合进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，则（N、B重合）， ∵，， ∴， 解得； 故答案为：3 （2）如图，当点M在上时，设交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由（1）可知，点N与点B重合时，t的值为， 则当重叠部分是五边形时，t的取值范围是 （3）①当时，重叠部分是正方形，如图，    ∴， 当时，重叠部分是梯形，如图，    ∵， ∴ ∴, 即, ∴， ∵ ∴， 当点M在上时，由得， ， 由得到正方形边长为， ∴， ∴， 当时，重叠部分是正方形， ∴， ∴S与t之间的函数关系式为 【易错必刷十七 相似三角形的应用1】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 【详解】解：依题意，∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ， ， ，，， ， ， ∵， 树高为． 【易错必刷十八 相似三角形的应用2】 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．证明与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵ ∴， 又， ∴ 由相似三角形的性质得到：． 解得，． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：10． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 【易错必刷十九 相似三角形的综合问题】 1．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接BC′，根据旋转的性质和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接BC′， ∵矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′， ∴B′C′＝BC＝AD，AB′＝AB，B′C′∥AB， ∵B，D，C′三点在同一直线上， ∴△DB′C′∽△DAB， ∴， ∴， ∴AD2＝AB2﹣AB•AD， ∴AD＝AB（负值舍去） ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似的性质，辅助线的连接，对应边长成比例是本题的难点 3．（23-24九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析  （2） 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 【易错必刷二十 位似图形】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 【易错必刷二十一 求两个位似图形的相似比】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，得到答案． 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴与相似比为， ． 故选：A． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长∶四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 【答案】(1)画图见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． （3）利用割补法求解三角形的面积即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：由位似图形的性质可得：； （3）解：． 【易错必刷二十二 求位似图形的对应坐标】 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解． 【详解】解：∵已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把放大， ∴点B的对应点的坐标为：或 即，或． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则可证明得到，即点C为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵线段和线段关于原点位似， ∴， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，，． 【分析】本题主要考查平移，位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． 【详解】（1）解：如图，为所求图形；   ； （2）解：根据相似比可得，，，； 如图，为所求图形． 【易错必刷二十三 求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比． 【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵，， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是． 故选：D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比． 根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案． 【详解】解：，， ，， 以原点为位似中心放大后得到， ， 与的相似比是， 与的面积的比是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似变换，位似变换的性质等等，正确根据坐标变换方式找到对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到对应点的横纵坐标，进而描出，再顺次连接即可； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵与关于原点位似，且将放大为原来2倍得到， ∴与的位似比为， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的相似易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 比例线段】 1．（23-24九年级上·湖南常德·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）已知线段， (1)求的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求线段的长； 【易错必刷二 比例的性质】1．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，且，则的值是 ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期中）已知实数x，y，z满足，试求的值． 【易错必刷三 黄金分割】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，即，若，那么的长为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）． 【易错必刷四 平行线分线段成比例】 1．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、，已知，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，且． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【易错必刷五 相似多边形】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）下列各组四边形中是相似多边形的是（        ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）矩形ABCD中，，矩形EFGH中，，，这两个矩形 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形的长，宽．若矩形的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形与相似吗？请说明理由． 【易错必刷六 相似多边形的性质】 1．（24-25九年级上·吉林长春·期中）东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，已知四边形四边形，若，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【易错必刷七 相似三角形的判定】 1．（2024九年级下·广东·专题练习）根据下列条件，不能判定和相似的是（　　） A．，， B．， C．， D．， 2．（23-24九年级上·陕西西安·开学考试）如图，P是的边上一点，请添加一个条件使得与相似，则你添加的条件可以是 ，（只需添加一个符合的条件即可）    3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【易错必刷八 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，是边上一点，连接，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点D，E分别是，延长线上的点，请添加一个条件： ____________________，使得，并写出证明过程． 【易错必刷九 利用相似三角形测高】 1．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，某校操场上有一根旗杆，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆、，两杆相距30米，已知视线与地面的交点为F，视线与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，、、均与垂直，测得为3米，为5米，求旗杆的高度． 【易错必刷十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点G是的重心，，则等于（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在正六边形中，，分别是，的重心，若，则线段的长为 ．    3．（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【易错必刷十一 相似三角形的判定与性质综合】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，点为矩形内一点，，于点，连接，，，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，相交于点，于，且，，则矩形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【易错必刷十二 利用相似三角形的性质求解】 1．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，直角三角形中，，，，为的中点，过点作的垂线，交边于点，若点在射线上（不与点重合），且由点，，组成的三角形与相似，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求证：． 【易错必刷十三 证明三角形的对应线段成比例】 1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度. 【易错必刷十四 利用相似求坐标】 1．（23-24九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 2．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 3．（2022·江西九江·二模）图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求，，的值． (2)是轴上一点，若，求点的坐标． 【易错必刷十五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 1．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【易错必刷十六 相似三角形的动点问题】 1．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，D、E分别在边AC、BC上，CD＝1，DE∥AB，将△CDE绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为D′、E′，当点E′落在线段AD′上时，连接BE′，此时BE′的长为（　　）    A．2 B．3 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，，垂足为，线段上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，以线段为边向上作正方形，设点运动的时间为，当点落在的边上时，的值为 ． 3．（2023·吉林·模拟预测）如图在中，是边的高线，，动点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．当点P出发后，过点P作．交折线于点Q，以为边作正方形，使点N在直线上，且与始终在的同侧．设正方形与重叠部分图形的面积为S，点P运动的时间为t秒．    (1)当点N与点B重合时，t的值为 ； (2)当点P在线段上，且正方形与重叠部分图形是五边形时，求t的取值范围； (3)当正方形与重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式． 【易错必刷十七 相似三角形的应用1】 1．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，小明用自制的直角三角形纸板测量树的高度．斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条直角边．，测得边离地面的高度，，求树高． 【易错必刷十八 相似三角形的应用2】 1．（23-24九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示．如图2所示的小孔成像实验可简化为一个数学问题：与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是 cm． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【易错必刷十九 相似三角形的综合问题】 1．（21-22九年级上·福建宁德·期末）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，矩形ABCD绕点A旋转90°，得矩形AB′C′D′，若B，D，C′三点在同一直线上，则的值为 ． 3．（23-24九年级·广西梧州·学业考试）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【易错必刷二十 位似图形】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【易错必刷二十一 求两个位似图形的相似比】 1．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则线段的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点位似，且相似比为． (1)在轴下方，画出： (2)直接写出________． (3)直接写出的面积________． 【易错必刷二十二 求位似图形的对应坐标】 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点C的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，，．    (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为，并写出点的坐标． 【易错必刷二十三 求坐标系中两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是 ． 3．（23-24九年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$