第二十一章一元二次方程复习-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

22 第二十一章复习 ▶ “答案与解析”见P8 考点一 一元二次方程的根 典例1 已知m,n是方程x2-2x-1=0的两 个根,且(7m2-14m+a)(3n2-6n-7)=8,则 a的值为 ( ) A. -5 B. 5 C. -9 D. 9 跟踪训练 1. (2022·遂宁)若m 为方程x2+3x-2022= 0的根,求m3+2m2-2025m+2022的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 23 考点二 解一元二次方程 典例2 请用指定的方法解下列方程: (1) (3x+1)2=16(直接开平方法). (2) 3x2+6x-1=0(配方法). (3) 3x2-1=2x+5(公式法). (4) (x-3)2-4x(3-x)=0(因式分解法). 跟踪训练 2. 用指定的方法解下列方程: (1) (4y-1)2-25=0(直接开平方法). (2) x(x-5)+2x=2(公式法). (3) 2x2+3x-2=0(配方法). (4) (x+1)2=4(x+1)(因式分解法). 考点三 一元二次方程根的判别式及根与 系数的关系的应用 典例3 已知关于x 的一元二次方程x2- 2(m+1)x+m2-3=0有实数根. (1) 求m 的取值范围. (2) 如果x1,x2 是方程的两个实数根,且满足 x21+x22-x1x2=33,求m 的值. 跟踪训练 3. 已知关于x 的一元二次方程x2-(m+ 5)x+3m+6=0. (1) 求证:不论实数m 取何值,方程总有实 数根. (2) 若该方程的两个根是一个矩形的两条邻 边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求m 的值. 考点四 一元二次方程解法技巧与运用 典例4 阅读材料,回答问题. 解方程:(x2-1)2-5(x2-1)+4=0. 小明将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y, 则(x2-1)2=y2.原方程可化为y2-5y+4=0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 24 解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,解得 x=± 2;当y=4时,x2-1=4,解得x= ±5.综上所述,原方程的解为x1= 2,x2= -2,x3=5,x4=-5. 请你参考小明的思路,解方程:x4-4x2-5=0. 跟踪训练 4. 利用整体换元法,解方程:(x2-1)2-3(x2- 1)-4=0. 考点五 一元二次方程的实际应用 典例5 某商场一种商品的进价为每件30元, 当售价为每件40元时,每天可以销售48件,为 尽快减少库存,该商场决定降价促销. (1) 若该种商品连续两次下调相同的百分率后 售价降至每件32.4元,求下降的百分率. (2) 经调查,若该种商品每件每降价0.5元,每 天可多销售4件. ① 该商场每天要想获得504元的利润,每件应 降价多少元? ② 能不能一天获得520元的利润? 请说明理由. 跟踪训练 5. 某厂引进了一条口罩生产线生产口罩,开工 第一天生产500万个,第三天生产720万个, 若每天增长的百分率相同. (1) 求每天增长的百分率. (2) 经调查发现,1条生产线的最大产能是 1500万个/天,每增加1条生产线,每条生产 线的最大产能将减少50万个/天. ① 现该厂要保证每天生产口罩6500万个, 在既要增加产能,又要节省投入的条件下(生 产线越多,投入越大),应增加几条生产线? ② 是否能增加生产线,使得每天生产口罩 15000万个? 若能,应增加几条生产线? 若 不能,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 用配方法解方程2x2-43x-2=0 ,应把它先 变形为 ( ) A. x-13 2 =89 B. x-23 2 =0 C. x-23 2 =89 D. x-13 2 =109 2. 若关于x 的一元二次方程ax2+bx-3=0 (a≠0)有一个根为2023,则方程a(x- 1)2+bx-3=b必有一根为 ( ) A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 25 3. 已知关于x的方程kx2-(2k-1)x+k-2= 0有实数根,则实数k的取值范围是 ( ) A. k≥-14 且k≠0 B. k<14 且k≠0 C. k≥-14 D. k≤14 4. 已知关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不 等的实数根x1,x2.若x2=2x1,则4b-9ac 的最大值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 答案讲解 5. 已知a是x2+x-2=0的根,则代 数式(a2+a)a-2a+3 的值为 . 6. 若方程x2-2x-4=0的两个实数根为α,β, 则α3+8β+1的值为 . 7. 社区利用一块矩形空地ABCD 建了一个如 图所示的小型停车场(单位:m).已知AD= 52m,AB=28m,涂色部分设计为停车位,且 要铺花砖,其余部分均是宽为xm的道路.已 知铺花砖的面积为640m2. (1) 求道路的宽. (2) 该停车场共有车位50个,据调查分析, 当每个车位的月租金为200元时,可全部租 出.每个车位的月租金每上涨5元,就会少租 出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少 元时,停车场的月租金收入为10125元? (第7题) 答案讲解 8. 某鲜花店出售甲、乙两种花篮,八月 份时,乙种花篮的单价比甲种花篮 的单价低20元,一个甲种花篮与两 个乙种花篮的售价之和为260元. (1) 八月份,甲、乙两种花篮的单价分别是多 少元? (2) 据统计,八月份甲、乙两种花篮分别销售 了40个和50个;九月份,店主决定对甲种花 篮进行降价促销.经市场调研,甲种花篮的单 价每降低1元,预计销量比八月份增加3个; 乙种花篮的单价不变,但其销量相比八月份 也有所增加,预计增加的销量是甲种花篮增 加销量的1 3. 若预计九月份甲、乙两种花篮的 销售总额是11100元,则甲种花篮的单价应 降低多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 当x=40时,180-2x=100>90,不 合题意,舍去;当x=50时,180- 2x=80<90,符合题意. ∴ BC的长为50m. 6. (1) (20-2x);(13-2x). (2) 依 题 意,得 (20-2x)(13- 2x)=144. 整理,得2x2-33x+58=0,解得 x1=2,x2=14.5(不合题意,舍去). ∴ x的值为2. 7. (1) 28. (2) 设每个模型降价x 元,则每个模 型可盈利(40-x)元,平均每天可售 出(20+2x)个. 根据题意,得(40-x)(20+2x)= 1200. 整理,得x2-30x+200=0,解得 x1=10,x2=20. ∵ 每个模型盈利不少于25元, ∴ x=10. ∴ 每个模型应降价10元. 8. (1) (6-2t). (2) 存在. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC= AB2-BC2=6cm. ∵ S△ABC= 1 2×6×8=24 (cm2), ∴ S△PQC= 1 6×24=4 (cm2). ① 当0<t<3时,PC=(6-2t)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (6- 2t)cm2. ∴ 1 2t (6-2t)=4,即t2-3t+4=0. ∵ Δ=(-3)2-4×1×4=-7<0, ∴ 该一元二次方程无实数根. ∴ 该范围内不存在. ② 当3<t≤8时,PC=(2t-6)cm, QC=tcm, ∴ S△PCQ= 1 2QC ·PC=12t (2t- 6)cm2. ∴ 1 2t (2t-6)=4,即t2-3t-4=0, 解得t=4或t=-1(不合题意,舍去). 综上所述,当t=4时,存在△PQC 的 面积是△ABC面积的16. 第二十一章复习 ［知识体系构建］ ax2+bx+c=0(a ≠0) x= -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) -ba c a ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. ∵ m 为方程x2+ 3x-2022=0的根, ∴ m2+3m-2022=0. ∴ m2+3m=2022. ∴ 原式=m3+3m2-m2-3m- 2022m+2022=m(m2+3m)- (m2 +3m)-2022m +2022= 2022m-2022-2022m+2022=0. 典例2 (1) x1=1,x2=- 5 3. (2) x1= 23 3 -1 ,x2=- 23 3 -1. (3) x1= 1+ 19 3 ,x2= 1- 19 3 . (4) x1=3,x2= 3 5. [跟踪训练] 2. (1) y1= 3 2 ,y2=-1. (2) x1= 3+ 17 2 ,x2= 3- 17 2 . (3) x1= 1 2 ,x2=-2. (4) x1=-1,x2=3. 典例3 (1) ∵ 关于x的一元二次方 程x2-2(m+1)x+m2-3=0有实 数根, ∴ Δ=[-2(m+1)]2-4(m2-3)= 4m2+8m+4-4m2+12=8m+ 16≥0. ∴ m≥-2. (2) 由根与系数的关系,得x1+x2= 2(m+1),x1x2=m2-3. ∵ x21+x22-x1x2=33, ∴ (x1+x2)2-3x1x2=33. ∴ 4(m+1)2-3(m2-3)=33,即 m2+8m-20=0,解得m1=-10, m2=2. ∵ m≥-2, ∴ m=2. [跟踪训练] 3. (1) ∵ Δ=[-(m+ 5)]2-4(3m+6)=m2-2m+1= (m-1)2≥0, ∴ 不论实数m 取何值,方程总有实 数根. (2) 设矩形的两条邻边的长分别为 a,b. 根据根与系数的关系,得a+b=m+ 5>0,ab=3m+6>0. 由题意,易得a2+b2=25, ∴ (a+b)2-2ab=25,即(m+5)2- 2(3m+6)=25. 整理,得 m2+4m -12=0,解 得 m1=-6(不合题意,舍去),m2=2. ∴ m 的值为2. 典例4 设x2=t. x4-4x2-5=0可化为t2-4t-5= 0,则(t+1)(t-5)=0,解得t1=-1, t2=5. 当t=-1时,方程x2=-1无实数 根;当t=5时,x2=5,解得x=±5. 综上所述,原方程的解为x1= 5, x2=-5. [跟踪训练] 4. 我们可以将x2-1 视为一个整体,然后设x2-1=y,则 (x2-1)2=y2. 原方程可化为y2-3y-4=0,则(y+ 1)(y-4)=0,解得y1=-1,y2=4. 当y=-1时,x2-1=-1, ∴ x1=x2=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 当y=4时,x2-1=4, ∴ x3=5,x4=-5. 综上所述,原方程的解为x1=x2=0, x3=5,x4=-5. 典例5 (1) 设下降的百分率是x. 由题意,得40(1-x)2=32.4,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去). ∴ 下降的百分率是10%. (2) ① 设每件降价y元. 由题意,得(40-y-30) 48+4× y 0.5 =504,解得y1=3,y2=1. ∵ 要尽快减少库存, ∴ 每件应降价3元. ② 不能. 理由:设每件降价z元. 由题意,得(40-z-30) 48+4× z 0.5 =520. 整理,得z2-4z+5=0. ∵ Δ=(-4)2-4×1×5=16- 20=-4<0, ∴ 方程无实数根. ∴ 不能一天获得520元的利润. [跟踪训练] 5. (1) 设每天增长的百 分率为x. 依题意,得500(1+x)2=720,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题 意,舍去). ∴ 每天增长的百分率为20%. (2) ① 设增加m 条生产线,则每条生 产线的最大产能为(1500-50m)万 个/天. 依题意,得(1+m)(1500-50m)= 6500,解得m1=4,m2=25. 又∵ 既要增加产能,又要节省投入, ∴ m=4. ∴ 应增加4条生产线. ② 不能. 理由:设增加a条生产线,则每条生产 线的最大产能为(1500-50a)万 个/天. 依题意,得(1+a)(1500-50a)= 15000. 化简,得a2-29a+270=0. ∵ Δ=(-29)2-4×1×270= -239<0, ∴ 方程无实数根. ∴ 不能增加生产线,使得每天生产口 罩15000万个. ［综合素能提升］ 1. D 2. D 3. C 4. D 5. 4 6. 25 [解析] 根据题意,得α+β= 2,α2=2α+4.∴ α3+8β+1=α· α2+8β+1=α(2α+4)+8β+1= 2α2+4α+8β+1=4α+8+4α+8β+ 1=8(α+β)+9=16+9=25. 7. (1) ∵ 道路的宽为xm, ∴ (52-2x)(28-2x)=640. 整理,得x2-40x+204=0,解得 x1=34(不合题意,舍去),x2=6. ∴ 道路的宽为6m. (2) 设每个车位的月租金上涨a元, 停车场的月租金收入为10125元. 根据题意,得(200+a)50-a5 = 10125. 整理,得a2-50a+625=0,解得a1= a2=25. ∴ 当每个车位的月租金上涨25元 时,停车场的月租金收入为10125元. 8. (1) 设八月份,甲种花篮的单价是 x元,乙种花篮的单价是y元. 根 据 题 意,得 x-y=20, x+2y=260, 解 得 x=100, y=80. ∴ 八月份,甲种花篮的单价是100元, 乙种花篮的单价是80元. (2) 设甲种花篮的单价降低y 元,则 甲种花篮的单价是(100-y)元,九月 份甲种花篮的销量是(40+3y)个,乙 种花篮的销量是 50+13×3y 个. 根据题意,得(100-y)(40+3y)+ 8050+13×3y =11100. 整理,得3y2-340y+3100=0,解得 y1=10,y2= 310 3 (不合题意,舍去). ∴ 甲种花篮的单价应降低10元. 第二十二章　二次函数 22.1　二次函数的图象 和性质 第1课时 二次函数 1. D 2. C 3. A 4. 2 5. y= -2πx2+36πx 6. (1) 依题意,得 m2-m=0, m-1≠0, 解得 m=0. ∴ 当m=0时,这个函数是关于x的 一次函数. (2) 依题意,得m2-m≠0,解得m≠ 0且m≠1. ∴ 当m≠0且m≠1时,这个函数是 关于x的二次函数. 7. D 利用二次函数的定义求字母的 值时,易忽略二次项系数不 为0的情况 根据二次函数自变量的最高 次数是2,二次项系数不为0,列出 关于所求字母的方程(组)或不等 式(组).解方程(组)或不等式(组), 即可求出二次函数中待定字母的值. 8. B 9. S=-3x2+24x 143≤x<6 [解析] 由题意,得S=(21-3x+3)· 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9