21.3.1 传播与握手等问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（人教版2012）

14 21.3　实际问题与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 ▶ “答案与解析”见P5 1. 某乒乓球比赛采用双循环制(每两支队伍之 间都进行两场比赛),比赛总场数为380.设 参赛队伍有x支,则可列方程为 ( ) A. 1 2x (x-1)=380 B. x(x-1)=380 C. 2x(x-1)=380 D. x2=380 2. 有一人患了流行性感冒,经过两轮传染后,共 有144人患了流行性感冒,则每轮传染中平 均一人传染的人数是 ( ) A. 14 B. 11 C. 10 D. 9 3. 若一个凸多边形有44条对角线,则这个多边 形的边数是 ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 某中学九年级学生毕业时,每名学生都给其 他学生写了一份毕业留言,某班共写了2550份 毕业留言,则该班共有 名学生. 5. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个 支干又长出同样数目的小分支.若主干、支 干、小分支的总个数是73,则每个支干长出 个小分支. 6. 某种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电 脑被感染,那么经过两轮感染后就会有81台 电脑被感染. (1) 每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑? (2) 若病毒得不到有效控制,则3轮感染后, 被感染的电脑会不会超过700台? 7. 如图所示为一个三角形点阵,从上向下数有 无数多行,其中第一行有1个点,第二行有 2个点,…,第n行有n个点.若该三角形点阵 前n行的点数之和为300,则n的值为( ) (第7题) A. 30 B. 26 C. 25 D. 24 8. 在学校举行的图书共享仪式上同学们互赠图 书,某组的每名同学都把自己的图书向本组 其他成员赠送一本,共互赠了156本图书,则 该组一共有 名同学. 9. 某校要组织一次乒乓球比赛,参赛的每两支 队伍之间都要比赛一场,根据场地和时间等 条件,赛程计划安排2天,每天安排5场比 赛,则该校应邀请 支队伍参赛. 10. 某种植物的根特别发达,它的主根长出若干 数目的支根,支根中的1 3 又长出同样多的小 支根,而其余支根长出一半数目的小支根, 主根、支根、小支根的总数是109个,则这种 植物的主根长出 个支根. 11. 解读改编诗词(通过列方程算出周瑜去世时 的年龄): 大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之 年督东吴,早逝英年两位数,十位恰小个位 三,个位平方与寿符,哪位学子算得快,多少 年华属周瑜? 诗词大意如下:周瑜三十岁当 东吴都督,去世时的年龄是两位数,十位上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级上 15 的数字比个位上的数字小三,个位上的数字 的平方等于他去世时的年龄. 答案讲解 12. 如图所示为某年5月的月历,在图 上可以用一个方框框出四个数. (1) 若框出的四个数中,最小的数 为n,则最大的数为 (用含n 的代 数式表示). (2) 若框出的四个数中,最小的数与最大的 数的乘积为153,求这个最小的数. (第12题) 13. (核心素养·模型建构)春节期间,九年级 (1)班全体同学通过打电话的方式互相拜 年,该班共有48名同学.若每两名同学之间 仅通一次电话,则全班同学共通多少次电话 呢? 我们可以用下面的方式来解决问题. 用点A1,A2,A3,…,A48分别表示第1名同 学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同 学,把该班级人数x 与通电话次数y 之间 的关系用如图所示的模型表示: x=2,y=1 x=3,y=3 x=4,y=6 x=5,y= x=6,y= … (第13题) (1) 第四幅图中y的值为 ,第五幅 图中y的值为 . (2) 通过探索发现,通电话次数y与该班级 人数x之间的关系式为 ,当x=48 时,对应的y= . (3) 若九年级(1)班全体女生相互之间共通 电话190次,则该班共有多少名女生? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十一章　一元二次方程 已知一元二次方程的一个根, 求另一个根的方法 方法一(利用根与系数的关 系):当方程的二次项系数、一次项 系数已知,常数项未知时,利用两 根的和求另一个根;当方程的二次 项系数、常数项已知,一次项系数 未知时,利用两根的积求另一个根. 方法二(利用方程根的定义): 先把方程的已知根代入方程求出 未知系数或常数项,再解方程求另 一个根. 5. A 6. A 7. D 8. 3 [解析] ∵ m,n是一元二次方 程x2+3x-1=0的两个实数根, ∴ m+n=-3,m2+3m-1=0. ∴ 3m-1=-m2.∴ m3+m2n 3m-1 = m2(m+n) 3m-1 = -3m2 -m2=3. 9. 设方程的两个根分别为t,t+2. 根据题意,得t+t+2=4m,t(t+ 2)=3m2. ∴ t=2m-1. 把t=2m-1代入t(t+2)=3m2,得 (2m-1)(2m+1)=3m2. 整理,得 m2-1=0,解得 m=1或 m=-1(不合题意,舍去). ∴ m 的值为1. 10. -2 11. (1) 由题意,知[2(m+1)]2-4× m·(m-1)>0,解得m>-13. ∵ m≠0, ∴ m 的取值范围是 m>- 13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1,x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . ∵ x21 +x22 =8,即 (x1+x2)2 - 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原方程 的解. ∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 12. (1) ∵ Δ=[-(2k+1)]2- 4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k= 1>0, ∴ 方程有两个不等的实数根. (2) ∵ △ABC 的两边AB,AC 的长 是这个方程的两个实数根, ∴ AB+AC=2k+1,AB·AC= k2+k. ∵ ∠BAC=90°,BC=5, ∴ AB2+AC2=52,即(AB+AC)2- 2AB·AC=25. ∴ (2k+1)2-2(k2+k)=25,解得 k1=-4,k2=3. 当k=-4时,AB+AC=2×(-4)+ 1=-7,不合题意,舍去;当k=3时, AB+AC=2×3+1=7. ∴ k的值为3. 13. (1) ∵ a,b为方程x2-kx+k+ 4=0的两个根, ∴ a+b=k>0,ab=k+4. ∵ a2+b2=40, ∴ (a+b)2-2ab=40,即k2-2(k+ 4)=40,解得k=8或k=-6(不合题 意,舍去). ∴ k=8. (2) 当k=8时,x2-8x+12=0,解得 x1=2,x2=6. ∵ a>b, ∴ a=6,b=2. ∵ 易知∠APB=90°, ∴ AP2+BP2=AB2. 设DP=m. ∴ 4+m2+4+(6-m)2=36,解得 m1=3+5,m2=3-5. ∴ DP=3±5. ∴ 当点P 与点D 相距3+ 5或3- 5时,△APB 为直角三角形. (3) 同(2),可列方程为b2+m2+ (a-m)2+b2=a2,即 m2-am+ b2=0. 当Δ=(-a)2-4b2=0时,点P 有且 只有一个,此时a2=4b2. ∵ a>b>0, ∴ a=2b. ∴ 当a=2b时,使△APB 为直角三 角形的点P 有且只有一个. 21.3　实际问题 与一元二次方程 第1课时 传播与握手等问题 1. B 2. B 3. C 4. 51 5. 8 6. (1) 设每轮感染中平均一台电脑 会感染x台电脑. 依题意,得1+x+(1+x)x=81. 整理,得(1+x)2=81,解得x1=8, x2=-10(不合题意,舍去). ∴ 每轮感染中平均一台电脑会感染 8台电脑. (2) ∵ (1+x)2+x(1+x)2=(1+ x)3=(1+8)3=729(台),729>700, ∴ 3轮感染后,被感染的电脑会超过 700台. 7. D 8. 13 9. 5 10. 12 11. 设周瑜去世时的年龄的个位上的 数字为x,则十位上的数字为x-3. 依题意,得10(x-3)+x=x2,解得 x1=5,x2=6. 当x=5时,25<30,不合题意,舍去; 当x=6时,36>30,符合题意. ∴ 周瑜去世时的年龄为36岁. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 12. (1) n+8. (2) 设这个最小的数为n,则最大的 数为n+8. 根据题意,得n(n+8)=153. 整理,得n2+8n-153=0,解得n1= 9,n2=-17(不合题意,舍去). ∴ 这个最小的数为9. 13. (1) 10;15. (2) y= 1 2x (x-1);1128. (3) 依题意,得x(x-1) 2 =190. 化简,得x2-x-380=0,解得x1= 20,x2=-19(不合题意,舍去). ∴ 该班共有20名女生. 第2课时 平均增长率 与市场营销问题 1. B 增长率(或降低率)问题的规律 (1) 增长率问题:设某数为a, 平均增长率为x,则一次增长后的 值为a(1+x),两次增长后的值为 a(1+x)2,以此类推,n 次增长后 的值为a(1+x)n. (2) 降低率问题:设某数为a, 平均降低率为x,则一次降低后的 值为a(1-x),两次降低后的值为 a(1-x)2,以此类推,n 次降低后 的值为a(1-x)n. 2. A 3. D 4. 20% 5. (1) 设2,3月参观人数的月平均增 长率为x. 根据题意,得10(1+x)2=12.1,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意,舍去). ∴ 2,3月参观人数的月平均增长率为 10%. (2) 根据题意,得12.1×(1+10%)= 13.31(万人). ∴ 估计4月该文史馆接待参观人员 的人数为13.31万. 6. C 7. 600+600(1+x)+600(1+ x)2=2850 8. 设这种水果每千克降价x元. 由题意,得(38-x-22) 160+x3× 120 =3640. 整理,得x2-12x+27=0,解得x=3 或x=9. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ x=9. ∴ 38-9=29(元/千克). ∴ 这 种 水 果 的 销 售 价 为 每 千 克 29元. 9. (1) 设y 与x 之间的函数解析式 为y=kx+b(k≠0). 将(7,500),(12,250)代入y=kx+b, 得 7k+b=500, 12k+b=250, 解得 k=-50 , b=850. ∴ y 与x 之间的函数解析式为y= -50x+850. (2) 根据题意,得(x-5-1)(-50x+ 850)=900. 整理,得x2-23x+120=0,解得 x1=8,x2=15. ∵ 销售价格不高于14元/千克, ∴ x=8. ∴ 当销售价格定为每千克8元时,销 售这 种 猕 猴 桃 的 日 利 润 恰 好 为 900元. 10. (1) 设购进 A款钥匙扣x 件, B款钥匙扣y件. 依 题 意,得 x+y=30, 30x+25y=850, 解 得 x=20, y=10. ∴ 购进A款钥匙扣20件,B款钥匙 扣10件. (2) 设购进m 件A款钥匙扣,则购进 (80-m)件B款钥匙扣. 依题意,得30m+25(80-m)≤2200, 解得m≤40. 设再次购进A,B两款“冰墩墩”钥匙 扣全部售出后获得的总利润为w 元, 则w=(45-30)m+(37-25)× (80-m)=3m+960. ∵ 3>0, ∴ w 随m 的增大而增大. ∴ 当m=40时,w 取得最大值,最大 值为3×40+960=1080,此时80- m=80-40=40. ∴ 当购进40件 A款钥匙扣、40件 B款钥匙扣时,才能获得最大销售利 润,最大销售利润是1080元. (3) 设B款钥匙扣的销售价定为每件 a元,则 每 件 的 销 售 利 润 为(a- 25)元,平均每天可售出4+2(37- a)=(78-2a)件. 依题意,得(a-25)(78-2a)=90. 整理,得a2-64a+1020=0,解得 a1=30,a2=34. ∴ 将销售价定为每件30元或34元 时,才能使B款钥匙扣平均每天的销 售利润为90元. 第3课时 几何图形面积类问题 1. D 2. A 3. 4 [解析] 设AB=xm,则AD= (20-3x+2)m.依题意,得x(20- 3x+2)=40.整理,得3x2-22x+ 40=0,解得x1= 10 3 ,x2=4.当x= 10 3 时,20-3x+2=12>11,不合题 意,舍去;当x=4时,20-3x+2= 10<11,符合题意.∴ 此时AB 的长 为4m. 4. 设所铺设的石子路的宽度为xm, 则其余部分可合成长为(18-x)m、宽 为(6-x)m的矩形. 根据题意,得(18-x)(6-x)=85. 整理,得x2-24x+23=0,解得x1= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6