专题特训(八)阴影(涂色)部分面积的计算-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

66 　　专题特训（八）　阴影（涂色）部分面积的计算 ▶ “答案与解析”见P44 类型一 直接公式法 1. 如图,在▱ABCD 中,E 为BC 的中点,以点 E 为圆心、BE 长为半径画弧,交对角线AC 于 点 F.如 果 ∠BAC =60°,∠ABC = 100°,BC=4,那么图中涂色部分的面积为 . (第1题) 类型二 整体和差法 2. 如图,△ABC 是等边三角形,AD 是边BC 上 的中线,以点A 为圆心、AD 长为半径画弧, 分别交AB、AC 于点E、F,过点E 作EG⊥ AC于点G,交AD 于点H,连接FH、EF.若 AB=6,则图中阴影部分的面积为 ( ) (第2题) A. 9π 2- 93 2 B. 9π 4- 93 4 C. 9π-932 D. 9π 2- 93 4 3. 如图,矩形ABCD 内接于☉O,分别以AB、 BC、CD、AD 长为直径向外作半圆.若AB= 4,BC=5,则涂色部分的面积是 ( ) (第3题) A. 41 4π-20 B. 41 2π-20 C. 20π D. 20 4. 如图,在▱ABCD 中,DF⊥AB,AD=4, AB=6,DF=23,∠A=60°,以点A 为圆 心、AD 长为半径画弧,交AB 于点E,连接 CE,则涂色部分的面积为 . (第4题) 类型三 构造和差法 5. 如图,AB 是☉O 的直径,半径OD⊥BC 于点 E,BD ︵ 的度数为60°. (1) 求证:OE=DE. (2) 若OE=1,求图中涂色部分的面积. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 67 6. (2023·十堰)如图,在Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC=BC,点O 在AB 上,以点O 为圆 心、OA 长为半径的半圆分别交AC、BC、AB 于点D、E、F,且E 是DF ︵ 的中点. (1) 求证:BC 是半圆O 的切线. (2) 若CE=2,求图中涂色部分的面积. (第6题) 答案讲解 类型四 等积转换法 7. (2023·滨州)如图,某玩具品牌的 标志由半径为1cm的三个等圆构 成,且三个等圆☉O1、☉O2、☉O3 相互经过彼此的圆心,则图中涂色部分的面 积为 ( ) A. 1 4πcm 2 B. 1 3πcm 2 C. 1 2πcm 2 D. πcm2 (第7题) (第8题) 8. 将半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折 叠.若AB ︵ 和BC ︵ 都经过圆心O,则图中涂色 部分的面积是 . 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AD 平分 ∠BAC 交BC 于点D,点E 在AC 上,以AE 长为直径的☉O 经过点D,交边AB 于点F. (1) 求证:BC 是☉O 的切线. (2) 若F 是AD ︵ 的中点,且CE=4,求涂色部 分的面积. (第9题) 类型五 利用容斥原理 把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出 来,然后把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计 算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容 斥原理. 答案讲解 10. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6, BC=4,以点A 为圆心、AD 长为 半径画弧,交AB 于点E,以点C 为圆心、CD 长为半径画弧,交CB 的延长线 于 点 F,则 图 中 涂 色 部 分 的 面 积 是 . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　对称图形——圆 ∴ 圆锥的母线长为3202-128 23 cm , 底面圆的半径为802-32 23 cm. (第12题) 专题特训（八）　阴影（涂色） 部分面积的计算 1. 4π 9 2. A [解析] ∵ △ABC为等边三角 形,∴ ∠BAC=60°,AB =AC= BC=6.∵ AD 是边BC 上的中线, ∴ AD⊥BC,BD=CD=3.∴ 在 Rt△ABD 中,AD= AB2-BD2= 33.∵ AE =AF =AD =3 3, ∠BAC=60°,∴ △AEF 是等边三角 形.∵ EG⊥AC 于点G,∴ ∠EGA= 90°.又∵ ∠BAC=60°,∴ ∠AEG= 30°.∴ 易 得 AG = 12AE= 33 2 . ∴ 由 勾 股 定 理,得 EG = AE2-AG2 = 92. ∴ S△AEF= 1 2AF ·EG=12×33× 9 2= 273 4 . ∵ 易得S△AHE+S△AHF= 2 3S△AEF , ∴ 阴 影 部 分 的 面 积 = 60π×(33)2 360 - 2 3 × 273 4 = 9π 2 - 93 2 . 3. D [解析] 如图,连接AC.∵ 矩 形ABCD 内接于☉O,AB=4,BC= 5,∴ AC2=AB2+BC2.∴ 涂色部分 的面积=S矩形ABCD+π× AB 2 2 +π× BC 2 2 -π× AC2 2 =S矩形ABCD+π× 1 4 (AB2+BC2-AC2)=S矩形ABCD= 4×5=20. (第3题) 4. 103-83π [解析] 由题意,得 AE=AD=4,则BE=AB-AE=2. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD.∵ DF⊥AB,∠A=60°, DF=2 3,∴ S涂色部分 =S▱ABCD - S扇形ADE -S△CBE =AB · DF - 60π·AD2 360 - 1 2BE ·DF=6×23- 60π×42 360 - 1 2×2×23=103- 8 3π. 5. (1) 如图,连接BD. ∵ BD︵ 的度数为60°, ∴ ∠BOD=60°. ∵ OB=OD, ∴ △OBD 是等边三角形. ∵ OD⊥BC, ∴ OE=DE. (2) 如图,连接OC. ∵ OD⊥BC,OC=OB, ∴ ∠COE=∠BOE=60°. ∴ ∠AOC=60°,∠OCE=30°. ∴ 易得OC=2OE=2. ∴ 在Rt△OCE 中,由勾股定理,得 CE= OC2-OE2= 22-12=3. ∴ S涂色部分 =S扇形OAC +S△COE = 60π×22 360 + 1 2×3×1= 2π 3+ 3 2. (第5题) 6. (1) 如图,连接OE、OD. ∵ ∠C=90°,AC=BC, ∴ ∠OAD=∠B=45°. ∵ OA=OD, ∴ ∠OAD=∠ADO=45°. ∴ ∠AOD=90°. ∵ E 是DF︵ 的中点, ∴ ∠DOE=∠EOF=12∠DOF= 1 2 (180°-∠AOD)=45°. ∴ ∠OEB = 180° - ∠EOF - ∠B=90°. ∴ OE⊥BC. ∵ OE 是半圆O 的半径, ∴ BC是半圆O 的切线. (2) ∵ OE⊥BC,∠B=45°, ∴ 易得△OEB 是等腰直角三角形. 设BE=OE=x,则BC=CE+BE= 2+x,OB=2x. ∴ AB=x+2x. ∵ 易得AB=2BC, ∴ x+ 2x= 2(2+x),解 得 x=2. ∴ S涂色部分=S△OEB-S扇形OEF= 1 2× 2×2-45×π×2 2 360 =2- π 2. (第6题) 7. C [解析] 如图,连接O1A、O2A、 O1B、O3B、O2C、O3C、O1O2、 O1O3、O2O3,则 易 得 △O1AO2、 △O1BO3、△O2CO3、△O1O2O3 均 是边 长 为 1cm 的 等 边 三 角 形. ∴ S涂色部分= 3S扇形O1O2A = 3 × 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 60π×12 360 = π 2 (cm2). (第7题) 8. 4π 3 [解析] 如图,过点O 作OD⊥ AB 于点D,连接AO、BO、CO.由题 意,易知OD=12×2=1 ,OA=2, ∴ OD=12AO.∴ 易得∠OAD= 30°.∴ ∠AOD = 60°.∴ 易 得 ∠AOB=2∠AOD=120°.同理,可得 ∠BOC=120°.∴ ∠AOC=120°. ∴ 易 得 S涂色部分 = S扇形OAC = 120π×22 360 = 4π 3. (第8题) 9. (1) 如图,连接DO. ∵ AD 平分∠BAC, ∴ ∠BAD=∠EAD. ∵ AO=DO, ∴ ∠EAD=∠ADO. ∴ ∠BAD=∠ADO. ∴ BA∥DO. ∵ ∠B=90°, ∴ ∠CDO=90°. ∴ OD⊥BC. 又∵ OD 是☉O 的半径, ∴ BC是☉O 的切线. (2) 如图,连接FO、DF、DE. ∵ F 是AD︵ 的中点, ∴ DF︵=AF︵. ∴ ∠DOF = ∠AOF,∠BAD = ∠ADF. ∵ ∠BAD=∠EAD, ∴ ∠EAD=∠ADF. ∴ DF∥AC. ∴ ∠AOF=∠DFO. ∴ ∠DOF=∠DFO. 又∵ OF=OD, ∴ ∠DFO=∠FDO. ∴ ∠DFO = ∠FDO = ∠DOF = ∠AOF=60°. ∴ ∠DOE=60°. 又∵ OD=OE, ∴ △DEO 是等边三角形. ∴ DE=DO,∠EDO=∠DEO=60°. 又∵ ∠ODC=90°, ∴ ∠CDE=30°=∠C. ∴ CE=DE=DO=4. 又∵ DF∥AC, ∴ S△DFA=S△DFO. ∴ S涂色部分=S扇形ODF= 1 6π×4 2=83π. (第9题) 10. 13π-24 [解析] ∵ 在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4,∠A= ∠C=90°,∴ CD=AB=6,AD= BC=4.∴ 涂 色 部 分 的 面 积 = S扇形CFD - (S矩形ABCD -S扇形ADE)= 90π×62 360 - 6×4-90π×4 2 360 = 13π-24. 专题特训（九）　圆的综合 应用 1. C [解析] 如图,在AB 上截取 AD=BC,连接AM、CM、DM、BM. ∵ M 是AC︵ 的中点,∴ AM︵=CM︵. ∴ AM = CM.又 ∵ ∠MAD = ∠MCB,∴ △MAD ≌ △MCB. ∴ MD=MB.∵ MF⊥AB,∴ DF= FB.∴ AF=DF+AD=FB+BC. ∴ 选项C一定成立. (第1题) 2. (1) ∵ D 是BC︵ 的中点, ∴ CD︵=BD︵. ∴ CD=BD. 在△CED 和△BFD 中, ∵ CD =BD,∠CDE = ∠BDF, DE=DF, ∴ △CED≌△BFD. ∴ ∠E=∠F. ∵ CF=CD+DF,BE=BD+DE, ∴ CF=BE. 在△CAF 和△BAE 中, ∵ ∠A=∠A,∠F=∠E,CF=BE, ∴ △CAF≌△BAE. ∴ AC=AB. (2) 如图,连接AD. ∵ 四边形ABDC是圆内接四边形, ∴ 易得∠DBF=∠ACD. ∵ 由(1),知△CED≌△BFD, ∴ ∠DCE=∠DBF. ∴ ∠ACD=∠DCE=90°. ∴ AD 是☉O 的直径. ∵ CD=BD=3,CE=4, ∴ 在Rt△CDE 中,由勾股定理,得 DE= CD2+CE2=5. ∴ BE=5+3=8. 设AB=AC=x,则AE=x+4. ∵ 在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2, ∴ x2+82=(x+4)2,解得x=6. ∴ AB=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54