考向三列一元二次方程解决实际问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

103 考向三　列一元二次方程解决实际问题 ▶ “答案与解析”见P63 1. 某校进行足球比赛,每两个班级比一场,计划 安排15场比赛,则参加比赛的班级个数为 ( ) A. 5 B. 6 C. 5或6 D. 7 2. 聚会结束时,统计出在场人员一共握手 55次,如果参加聚会的每人都和其他人握手 1次,那么参加聚会的人数为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 某商店经销一批小家电,每个小家电的成本 为40元,市场调研发现,当每个的销售定价 为50元时,可销售200个,当每个的销售定 价每增加1元时,销售量将减少10个.若商 店将这批小家电全部售完后赚了2250元, 则这批小家电每个的销售定价是 . 4. 某商店销售的某品牌头盔4月销售150个, 6月销售216个,且从4月到6月销售量的月 增长率相同. (1) 求该品牌头盔4月到6月销售量的月增 长率. (2) 若该品牌头盔的进价为30元/个,测算 出在市场中,当售价为40元/个时,月销售量 为600个.若在此基础上售价每上涨0.5元/个, 则月销售量将减少5个.为使月销售利润达 到10000元,而且要尽可能让顾客得到实惠, 求该品牌头盔的实际售价. 答案讲解 5. 某校对活动中所需物品进行统一采 购,其中某活动需要A、B两种材料, 已知A种材料每套的价格为32元, B种材料每套的价格为24元,活动需要A、B 两种材料共50套,计划购买A、B两种材料 的总费用不超过1392元. (1) 若按计划采购,最多能购买A种材料多 少套? (2) 在实际采购过程中,受多方面因素的影 响,与(1)中最多购买A种材料的计划相比, 实际采购A种材料的数量增加了34a% ,B种 材料的数量减少了4 13a% (A、B两种材料的 数量均为整数),实际采购A种材料每套的 价格减少了3 8a% ,B种材料每套的价格增加 了1 12a% ,且实际总费用比按(1)中最多购买 A种材料的总费用多了16元,求a的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 期末压轴题特训 104 6. 如图,在矩形ABCD 中,BC=20cm,点P、 Q、M、N 分别从点A、B、C、D 出发,沿AD、 BC、CB、DA 方向在矩形的边上同时运动, 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点 时,所有点均停止运动.已知在相同时间内, 若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM= 3xcm,DN=x2cm. (1) 当x为何值时,点P、N 重合? (2) 当x为何值时,以P、Q、M、N 为顶点的 四边形是平行四边形? (第6题) 答案讲解 7. 某牧场准备利用一堵现成的“7”字 形的墙面(粗线A-B-C)建饲养场, 已知 AB⊥BC,AB=2米,BC= 16米,现计划用总长为38米的篱笆围建一 个“日”字形的饲养场BDEF,并在每个区域 开一个宽2米的门,如图(细线表示篱笆,饲 养场中间用篱笆GH 隔开),点F 可能在线 段BC 上,也可能在线段BC 的延长线上. (1) 如图①,当点F 在线段BC 上时,设EF 的长为x米. ① DE= 米(用含x 的代数式 表示). ② 若围成的饲养场BDEF 的面积为140平 方米,求EF 的长. (2) 如图②,当点F 在线段BC 的延长线上 时,所围成的饲养场BDEF 的面积能否达到 160平方米? 若能,求出EF 的长;若不能,请 说明理由. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 m2-n=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=(-2m)2-4(m2-n)= 4m2-4m2+4n=4n>0. ∴ n>0. (2) ∵ n为符合条件的最小整数,n>0, ∴ n=1. ∴ 原方程为x2-2mx+m2-1=0. ∵ 该方程的较大根是较小根的3倍, ∴ 设该方程的两个根是a、3a(a>0). ∴ a+3a=2m, a·3a=m2-1, 解 得 a=1 , m=2 或 a=-1, m=-2 (不合题意,舍去). ∴ m 的值为2. 8. (1) 由题意,得m-1≠0,且b2- 4ac>0. 由m-1≠0,解得m≠1. ∵ b2-4ac=(m-2)2-4(m-1)× (-1)=m2, ∴ m2>0. ∴ m≠0. ∴ m 的取值范围是m≠0且m≠1. (2) 由公式法,得x=- (m-2)±m 2(m-1) . ∴ x1=-1,x2= 1 m-1. ∵ m 是整数,且方程有两个不相等的 整数根,由(1),得m≠0且m≠1, ∴ m=2. 考向三　列一元二次方程 解决实际问题 1. B [解析] 设参加比赛的班级个 数为x.根据题意,得 1 2x (x-1)= 15,解得x1=6,x2=-5(不合题意, 舍去).∴ 参加比赛的班级个数为6. 2. B [解析] 设参加聚会的人数为 x,则总握手次数为12x (x-1).由题 意,得1 2x (x-1)=55,解得x1=11, x2=-10(不合题意,舍去).∴ 参加 聚会的人数为11. 3. 55元 [解析] 设这批小家电每个 的销售定价是x元,则每个的销售利 润为 (x-40)元,可 销 售 [200- 10(x-50)]个.根据题意,得(x- 40)[200-10(x-50)]=2250.整理, 得x2-110x+3025=0,解得x1= x2=55.∴ 这批小家电每个的销售定 价是55元. 4. (1) 设该品牌头盔4月到6月销售 量的月增长率为x. 由题意,得150(1+x)2=216,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题 意,舍去). ∴ 该品牌头盔4月到6月销售量的 月增长率为20%. (2) 设该品牌头盔的实际售价为 y元/个. 由题意,得(y-30) 600-y-400.5 × 5 =10000. 整理,得y2-130y+4000=0,解得 y1=80,y2=50. ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ 该 品 牌 头 盔 的 实 际 售 价 为 50元/个. 5. (1) 设购买A种材料x套,则购买 B种材料(50-x)套. 由题意,得32x+24(50-x)≤1392, 解得x≤24. ∴ 最多能购买A种材料24套. (2) 由(1),得按计划采购,最多购买 A种材料24套,则购买B种材料 26套. 由题意,得24 1+34a% ×32 1- 3 8a% +26 1-413a% ×24 1+ 1 12a% =1392+16. 化简,得58(a%)2-37a%+4=0,解 得a1%= 1 2 ,a2%= 4 29 (不合题意, 舍去). ∴ a=50. 6. (1) ∵ 点P、N 重合, ∴ 2x+x2=20,解得x1= 21-1, x2=- 21-1(不合题意,舍去). ∴ 当x= 21-1时,点P、N 重合. (2) 易得点P、Q、M、N 中的点N 最 先到达运动边的另一个端点. 当点N 到达点A 时,x=25,此时点 M 和点Q 还未相遇, ∴ 点Q 只能在点M 的左侧. ① 当点P 在点N 的左侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=20- (2x+x2),解得x1=0(不合题意,舍 去),x2=2. ② 当点P 在点N 的右侧时, 由题意,易得20-(x+3x)=(2x+ x2)-20,解得x1=-10(不合题意, 舍去),x2=4. 综上所述,当x=2或x=4时,以P、 Q、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形. 7. (1) ① (44-3x). ② 由题意,得x(44-3x)=140,解得 x1=10,x2= 14 3. ∵ 点F 在线段BC上, ∴ 44-3x≤16,解得x≥283. ∴ x=10. ∴ EF 的长为10米. (2) 所围成的饲养场BDEF 的面积 不能达到160平方米. 理由:假设所围成的饲养场BDEF 的 面积能达到160平方米. 设 EF 的 长 为 y 米,则 DE = 38-2y-(y-2)+2+2+16 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 60-3y 2 米. 由题意,得y· 60-3y 2 =160. 整理,得3y2-60y+320=0. ∵ b2-4ac=(-60)2-4×3× 320=-240<0, ∴ 该方程没有实数根,即当点F 在线 段BC的延长线上时,所围成的饲养 场BDEF 的面积不能达到160平 方米. 考向四　圆中的最值问题 1. C [解析] 如 图,过 点 M 作 MH⊥CD,交CD 的延长线于点H. ∵ 菱形ABCD 的边长为4,M 为AD 的中点,∴ AM=MD=2.由折叠的 性质,得A'M=AM=2,即A'M 的长 为定值.∴ 点A'在以点M 为圆心、 2为半径的半圆上(不含端点A).易 得当M、A'、C三点共线时,A'C 的长 取最小值.∵ 在菱形ABCD 中,AB∥ CD,∴ ∠HDM = ∠DAB =60°. ∴ ∠HMD=30°.∵ MD=2,∴ 易 得HD=1.∴ HM= 3.∴ HC= HD+DC=5.在 Rt△HMC 中, MC= HC2+HM2=27,∴ A'C= MC-MA'=27-2. (第1题) 2. 25-2 [解析] ∵ CF⊥BE, ∴ ∠CFB=90°.∵ 点E 从点A 出发 按顺时针方向运动到点D,∴ 点F 的 运动轨迹是以BC为直径的☉O'上的 BO︵(如图).连接AO'交BO︵ 于点M. 易得当点F 与点M 重合时,AF 的长 取最小值.在Rt△ABO'中,易得AO'= 42+22=25,∴ AM=25-2. ∴ AF 长的最小值为25-2. (第2题) 3. 连接AO、AP、EP、DP,设☉O 分 别与边AC、AB 相切于点G、H,连接 OG、OH,则OG⊥AC,OH⊥AD. ∵ DE︵=DE︵, ∴ ∠DPE=2∠BAC=120°. ∵ PE=PD, ∴ ∠PED=∠PDE=30°. 易得DE=3PD=3AP. ∴ 当AP 长取最大值时,DE 长也取 最大值. 在Rt△AGO 和Rt△AHO 中, AO=AO, OG=OH, ∴ Rt△AGO≌Rt△AHO. ∴ ∠GAO=∠HAO=30°. ∵ ∠AGO=90°,OG=1, ∴ 易得AO=2. 当点P 在AO 的延长线上时,AP 长 有最大值,为3. 此时DE 长取最大值,为33. 4. (1) 如 图,连 接 OA、OB,设 ∠PAC=α. ∵ PA 是☉O 的切线, ∴ ∠PAO=90°. ∴ ∠OAC=90°-α. ∵ OA=OC, ∴ ∠OAC=∠OCA=90°-α. ∵ PA=PB,OA=OB, ∴ PO 垂直平分线段AB. ∴ ∠CAB=90°-∠OCA=90°- (90°-α)=α. ∴ ∠PAC=∠CAB. ∴ AC平分∠PAB. (2) 如图,设AB 交PD 于点M. 在△PAO 和△PBO 中, PA=PB, PO=PO, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PAO≌△PBO. ∴ ∠APO=∠BPO. ∴ PO 平分∠APB. ∵ AC平分∠PAB, ∴ 点C是△PAB 的内心. ∴ ☉C是△PAB 的内切圆. 设△PAB 的内切圆☉C 交PC 于 点H. ∵ ☉O 的直径为6, ∴ OA=OC=3. ∵ PO 垂直平分线段AB,AB=25, ∴ AM=BM=5. ∴ 在Rt△AMO 中,OM= OA2-AM2=2. ∵ OC=3, ∴ CH=CM=3-2=1. ∵ 点D 到☉C 上各点的最大距离为 线段DH 的长,DH=CD+CH=6+ 1=7, ∴ 点D 与△PAB 的内切圆上各点之 间的距离的最大值为7. (第4题) 5. (1) 25;3. [解析] 如图①,设 ☉O 与x轴交于A、B 两点,过点 M 作CD⊥AB,交☉O 于点C、D,连接 OC.易得弦CD 为过点M 的☉O 的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46