专题04 期中真题百练通关 压轴题（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题04 期中真题百练通关（42题12大压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 一元二次方程中的字母关系问题 题型7 一元二次方程的解决应用 题型2 圆的阴影部分面积问题 题型8 一元二次方程的换元法与配方法应用 题型3 多结论问题 题型9 一元二次方程的新定义 题型4 最值问题 题型10 圆的无刻度尺作图 题型5 圆的折叠问题 题型11 圆的新定义 题型6 圆的切线问题 题型12 圆的类比迁移问题 题型一 一元二次方程中的字母关系问题 1．（2025·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级·全国·竞赛）若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（22-23九年级上·浙江绍兴·自主招生）若实数互不相等，且满足，则的值为 ． 题型二 圆的阴影部分面积问题 4．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 题型三 多结论问题 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正六边形的边长为1，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点.当点从点运动至的过程中，有如下结论： 结论Ⅰ：点沿直线从运动到. 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是. 下列判断正确的是（    ） A．只有结论I正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论I、结论Ⅱ都正确 D．结论I、结论Ⅱ都不正确 9．（23-24九年级上·福建·期中）如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．    题型四 最值问题 10．（21-22九年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 题型五 圆的折叠问题 13．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4，将扇形纸片折叠，使点B落在点处，折痕与，分别交于点M，N．若弧与半径相切于点C，且C是的中点，则的长为 ． 题型六 圆的切线问题 16．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的直径，点C、E均在上，连接、，过点C作的切线交的延长线于D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·全国·期中）如图，正方形的边长为4，以为直径向正方形内作半圆，与是半圆的切线，M，N为切点，，交于点P．则 ，的面积是 ． 题型七 一元二次方程的解决应用 19．（24-25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 20．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）“双”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为元时，日销售量为件；当销售价定为元时，日销售量为件． (1)试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式； (2)若该网上微店为尽快减少库存积压利用“双”促销这批服装，打算日获利达到元，问这种服装每件售价是多少元？ 21．（24-25九年级上·河南郑州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 题型八 一元二次方程的换元法与配方法应用 22．（2016九年级上·山东临沂·竞赛）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 23．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 24．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 题型九 一元二次方程的新定义 25．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 26．（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 27．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 题型十 圆的无刻度尺作图 28．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【问题情境】在一次数学实践课上，数学兴趣小组研究“在圆中只用无刻度的直尺作出满足某条件的圆周角”的方法问题，请仔细阅读相关内容，与小组成员一起完成相应任务．     问题一：如图1，是的圆周角，我们可以在中只用无刻度的直尺作一个圆周角等于． 作法：如图2所示，在上取一点D，连接和，则（依据*）． 问题二：如图1，要在中只用无刻度的直尺作一个圆周角与互余，应该如何完成呢？ 作法：如图3所示，连接并延长，交于点D，连接，则即为所要求作的角． 问题三：在图1的基础上，要在中只用无刻度的直尺以B为顶点作与相等的圆周角，应该如何完成呢？ 阅读完成之后，请完成以下具体任务： (1)【阅读理解】“问题一”中的“依据*”是指 　 　； (2)【深入学习】①请说明“问题二”中的作法是否正确，并说明理由； ②对于问题二，你还能找到其他完成任务的作法吗？如果能，请在备用图1中画出图形，保留作图痕迹，不写作法； (3)【尝试应用】完成“问题三”：请在备用图2中只用无刻度的直尺作出满足条件的圆周角，并仿照“问题二”写出具体作法． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) (1)在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． (2)在图2中，作中边上的中线． (3)在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 30．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 题型十一 圆的新定义 31．（2012·江苏泰州·一模）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） (3)如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由．若此时，，求的长． 32．（2023·陕西咸阳·三模）【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”． (1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）； (2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围； (3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长． 题型十二 圆的类比迁移问题 34．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 35．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 36．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 1．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，直径交弦于点，点在上，且．点在直径上，垂直平分于点．小明通过独立思考，得到以下两个结论：①；②． 则下列判断正确的是（    ） A．①，②都正确 B．①，②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3．方程的根为 4．如图，等边的边长为3，分别以顶点为圆心，长为半径，作，我们把这三条弧所组成的图形称作“莱洛三角形”．设点为图形的中心点．如图2，将这个图形的顶点A与线段作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点重合，则线段的长为 ． 5．【综合与探究】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则______； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得______； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出a的值． 6．如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 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【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 5．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质及扇形的面积公式，能将阴影部分的面积转化为求扇形面积和等边三角形面积是解本题的关键． 设、、分别是各边中点，因为，所以，，，又，求解即可． 【详解】解：如图，设、、分别是各边中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型三 多结论问题 7．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 【详解】解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 8．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，正六边形的边长为1，点从点出发沿运动至点，点是点关于直线对称的点.当点从点运动至的过程中，有如下结论： 结论Ⅰ：点沿直线从运动到. 结论Ⅱ：点到的距离的最小值是. 下列判断正确的是（    ） A．只有结论I正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论I、结论Ⅱ都正确 D．结论I、结论Ⅱ都不正确 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、轴对称的性质、勾股定理.解直角三角形等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用两点之间线段最短，解决最短问题． （1）如图，设是正六边形的中心，连接交于，解直角三角形求出，的运动轨迹是图中红色的弧线，由此即可判断结论Ⅰ； （2）连接与弧交于点，此时最短，计算即可判断结论Ⅱ． 【详解】Ⅰ 如图， 设是正六边形的中心，连接交于， 在中， ， ， ， ∵点从点运动至过程中，， ∴点的运动轨迹是图中红色的弧线， ∴结论Ⅰ不正确； Ⅱ连接与弧交于点，此时最短， ， 结论Ⅱ正确； 故选B． 9．（23-24九年级上·福建·期中）如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．本题先证明，可判断①，由圆周角定理可判断②，④，由弧，弦之间的关系可判断③，由圆的内接四边形的性质可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵圆周角和圆心角都对着， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵圆周角和都对着， ∴，故④正确； 延长交于M，连接，    ∵D、C、A、M四点共圆， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 题型四 最值问题 10．（21-22九年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，半径为的与交于点，且与相切，过点作交于点，点是边上动点．则周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及轴对称的最短路线问题，延长交于点，连接，交于点，则．此时的值最小，即的周长最小，求此时的周长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，交于点，则． 此时的值最小，即的周长最小 设与相切于，连接， 则， ， ， ； ，为的半径， 是的切线， 连接，则 ， ， ， ， 解得：， ， 周长最小值为， 故选：A． 11．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图，在边长为4的等边中，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、切线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，连接，作于点F，由等边三角形的性质得，则，所以，由切线的性质得，则，可知当的值最小时则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点Q，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， 故选：B． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、圆、勾股定理，全等三角形的判定和性质，等知识．先证明和，推出，点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 题型五 圆的折叠问题 13．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，连接， ， ∴为的中点， ，为的中点， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得：，即 ， 解得， 故选： B． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，扇形纸片所在圆的圆心角，半径为4，将扇形纸片折叠，使点B落在点处，折痕与，分别交于点M，N．若弧与半径相切于点C，且C是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，作点关于的对称点，连接，设与交于点，与交于点，设，则，根据折叠，垂径定理可得，可证，得到四边形是菱形，结合折叠的性质可得四边形是矩形，，，在中运用勾股定理得到，，由此列式求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，设与交于点，与交于点， ∴，，则， 设，则， ∵弧与半径相切于点C， ∴， ∴，， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴，即四边形是菱形， ∵点关于的对称点，与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了圆的基础知识，垂径定理，，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形、矩形的判定，勾股定理的综合运用，掌握折叠的性质，矩形的证明方法，勾股定理的运用是解题的关键． 题型六 圆的切线问题 16．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的直径，点C、E均在上，连接、，过点C作的切线交的延长线于D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，先根据圆周角定理求得，根据切线的性质得到，再利用互余计算即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 17．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 18．（22-23九年级上·全国·期中）如图，正方形的边长为4，以为直径向正方形内作半圆，与是半圆的切线，M，N为切点，，交于点P．则 ，的面积是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的应用；掌握综合运用几何定理构造辅助线，将线段关系与面积计算结合是解题的关键． （1）利用切线长定理得线段等量关系，设未知数后结合勾股定理列方程求出的长度； （2）通过全等三角形和相似三角形的判定与性质，结合三角函数及辅助线构造，计算出的面积． 【详解】解：（1）由切线长定理知：，； ∵， ∴． 设，则，； 在中，由勾股定理得： ，解得； 故． （2）同（1）可求得，则，； 则可证得； ∴，即， ∴； 故，且； 设所在直线与、的交点为R、T， ∴，； 在中， ∵， ∴，； 过P作于G， ∴，； ， ∴， ∴； ∵， ∴， 故． 题型七 一元二次方程的解决应用 19．（24-25九年级下·广东中山·期中）综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解； （1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解； （2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． （2）解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 20．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）“双”即将到来，某网上微店准备销售一种服装，每件成本为元．市场调查发现其日销售量y（件）是销售价x（元）的一次函数，经试销后发现，当销售价定为元时，日销售量为件；当销售价定为元时，日销售量为件． (1)试求出日销售量y（件）与销售价x（元）之间的函数关系式； (2)若该网上微店为尽快减少库存积压利用“双”促销这批服装，打算日获利达到元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据时及时，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式； （2）根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将、代入， ， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 减少库存积压， ． 答：这种服装每件售价是70元． 21．（24-25九年级上·河南郑州·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 题型八 一元二次方程的换元法与配方法应用 22．（2016九年级上·山东临沂·竞赛）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． (1)解方程：． (2)已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． （2）设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 23．（24-25九年级上·广西河池·期中）阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 24．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 题型九 一元二次方程的新定义 25．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，判断一元二次方程是不是“倍根方程”？并说明理由； (2)若点在双曲线上，请说明关于的方程是“倍根方程”． 【答案】(1)是“倍根方程”．理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）解一元二次方程后，根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）通过转化一元二次方程，求解，再根据“倍根方程”的定义判断即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”． 理由：解方程，得，． 根据“倍根方程”的定义知，一元二次方程是“倍根方程”． （2）解：点在双曲线上， ，，且， 方程化为方程， 分解因式，得， 解得，， 方程是“倍根方程”． 26．（23-24九年级上·广东河源·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 27．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 题型十 圆的无刻度尺作图 28．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【问题情境】在一次数学实践课上，数学兴趣小组研究“在圆中只用无刻度的直尺作出满足某条件的圆周角”的方法问题，请仔细阅读相关内容，与小组成员一起完成相应任务．     问题一：如图1，是的圆周角，我们可以在中只用无刻度的直尺作一个圆周角等于． 作法：如图2所示，在上取一点D，连接和，则（依据*）． 问题二：如图1，要在中只用无刻度的直尺作一个圆周角与互余，应该如何完成呢？ 作法：如图3所示，连接并延长，交于点D，连接，则即为所要求作的角． 问题三：在图1的基础上，要在中只用无刻度的直尺以B为顶点作与相等的圆周角，应该如何完成呢？ 阅读完成之后，请完成以下具体任务： (1)【阅读理解】“问题一”中的“依据*”是指 　 　； (2)【深入学习】①请说明“问题二”中的作法是否正确，并说明理由； ②对于问题二，你还能找到其他完成任务的作法吗？如果能，请在备用图1中画出图形，保留作图痕迹，不写作法； (3)【尝试应用】完成“问题三”：请在备用图2中只用无刻度的直尺作出满足条件的圆周角，并仿照“问题二”写出具体作法． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等； (2)①正确，见解析；②能，见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，涉及到了圆周角定理的推论等知识，解题关键是理解题意，掌握相关定理的推论． （1）根据圆周角定理的推论即同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①根据直径所对的圆周角是直角即可求解；②根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （3）根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等，所以， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． （2）解：①正确． 理由：由作法可知，是的直径， ∴，即， ∴与互余，即为所要求作的角． ②能，所作图如图所示，即为所要求作的角． （3）解：作法：如图所示，连接并延长，交于点D， 连接并延长，交于点E，连接，则即为所要求作的角． 29．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，一组等距的平行线上有一个圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C是圆与平行线的交点，只用无刻度的直尺，根据要求作图．(保留作图痕迹) (1)在图1中，过点O作，垂足为点D，并计算． (2)在图2中，作中边上的中线． (3)在图3中，作的角平分线，与圆交于点F． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的性质，三角形的中线，角平分线，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握网格特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂径定理可知点是的中点，与中间的横线交点为，连接可得，再运用垂径定理和三角形中位线定理即可得出答案； （2）与、之间最中间的横线的交点即的中点，连接，线段为中边上的中线； （3）连接并延长交于，连接，则射线为的平分线． 【详解】（1）解：如图1中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． （2）解：如图2中，根据等距平行线可得的中点，线段即为所求； （3）解：如图3中， 延长交弧于点，射线即为所求． 30．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③中每个小正方形的顶点称为格点，图中点A、B、C、D、E、F、G分别是圆上的格点，仅用无刻度直尺，分别确定图①、图②、图③中的圆心O（保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，根据圆周角定理确定两条直径，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 题型十一 圆的新定义 31．（2012·江苏泰州·一模）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． (1)如图①，在损矩形中，，则该损矩形的直径是线段______． (2)在图①中线段上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） (3)如图②，在中，，以为一边向三角形外作菱形，D为菱形的中心，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形（除菱形外）？请说明理由．若此时，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)四边形为正方形，理由见解析， 【分析】（1）根据损矩形的直径的定义进行求解即可； （2）尺规作图线段的垂直平分线，得到线段的中点P，则点P为线段的中点．根据直角三角形性质证明，即可证明点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上； （3）先由角平分线的定义得到，由（2）可知A、B、C、D四点共圆，则，根据菱形对角线平分一组对角得到，即可证明菱形为正方形；过点D作交延长线于M，于N，证明四边形是正方形，求出，则，，，，根据建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此是该损矩形的直径， 故答案为：； （2）解：如图①，点P即为求作的点； 作线段的垂直平分线，与线段交于点P，则点P为线段的中点． 证明：由作图得点P为中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点A、B、C、D在以P为圆心，为半径的同一个圆上； （3）解：四边形为正方形，理由如下： ∵，平分， ∴， ∵四边形为损矩形， ∴由（2）可知A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形为正方形； 过点D作交延长线于M，于N， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， 解得，（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，关键在于熟练掌握基础知识，合理利用辅助线得出条件计算． 32．（2023·陕西咸阳·三模）【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义画图即可； （2）如图所示，过点D作于E，连接，可证是等边三角形，得到，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，，即可利用勾股定理得到； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T，可以得到当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，即此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，即可得到当点E运动到点Q时，最大；如图3-2所示，当时，当点E在过点E且与平行的直线上时，最大；如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上，可以得到当点E运动到上时，此时最大；据此求出这三种情况下的的最大值即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示，四边形即为所求； ∵， ∴四边形是“等邻边四边形”； （2）如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T， ∴点E在以C为圆心，4为半径的圆上运动， 设交于F，交于Q， 当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变， ∴此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大， ∵是的中点， ， ∴， ∴ ， ∵逐渐变大，逐渐变大， ∴逐渐变大， ∴当点E运动到点Q时，最大， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∴点E在以D为圆心，3为半径的圆上运动， ∵，为定值， ∴当最大时，最大， ∴当点E到的距离最大时，最大， ∴此时点E在过点E且与平行的直线上，且该直线与相切， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上， ∴当点E运动到上时，此时最大， 过点D作于M，则四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则， ∴； ∵， ∴存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，切线的性质，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，坐标与图形，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 33．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”． (1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）； (2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围； (3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，， 【分析】(1)根据A（1，2），B（2，1），C（4，1），计算AB=， 确定圆O长为的弦，再确定其对称轴即可． (2)根据A（2，3），B（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是． (3) 如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，计算OC的最小值；OC=，此时AC=4． 【详解】（1）如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°， ∴∠EFB=90°， ∴四边形ABFE是正方形， ∴边AE，BF的中点所在直线就是与的一条“关联轴”； ∵的半径为1， ∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵∠EFG+∠EFB=180°， ∴B、F、G三点共线， ∴直线EF是与的一条“关联轴”． （2）如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部； 过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形， 此时； 作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是． （3）如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小， 根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2， 故OC的最小值为； 当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得 OC=，此时AC=4. 【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理解新定义是解题的关键． 题型十二 圆的类比迁移问题 34．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【特例感知】      （1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为　　　　，点D到直线的距离为　　　　； 【类比迁移】 （2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长． 【答案】（1）；；（2），详见解析；（3）． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解； （2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到； （3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E，则，， 则有， ∴，即点D到直线的距离为，    故答案为：；； （2），理由如下： 如图②，连接，作交的延长线于点N，    ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，      ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 35．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 【答案】初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸： 【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则； （2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16； 类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为． 【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）是的弦，且的半径为8， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值是16， 故答案为：16； 类比迁移：如图，，，   是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值为， 的最大值为， 周长的最大值是． 拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，   ∴，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 36．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）【特例感知】 （1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点D，，若，则 ， ． 【类比迁移】 （2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，过点D作，垂足为F，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点D，若，，，则的内心与外心之间的距离为______． 【答案】（1）3，；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）作于点F，求得，，利用勾股定理和面积法即可求解； （2）结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题； （3）过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题； 【详解】解；（1）作于点F， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：3，； （2）如图，结论：． 理由：作于，连接，． 平分，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴， ， ． （3）如图，过点D作，交的延长线于点F，，交于点E，连接，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接．由（1）（2）可知，四边形是正方形，是对角线． ， 正方形的边长为， 由（2）可知：， ， 由切线长定理可知：， ， 设内切圆的半径为， 则 解得， 即， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 1．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 2．如图，在中，直径交弦于点，点在上，且．点在直径上，垂直平分于点．小明通过独立思考，得到以下两个结论：①；②． 则下列判断正确的是（    ） A．①，②都正确 B．①，②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的应用，如图，连接，证明，，，可得，结合，可得；则①正确；连接，证明，可得，则②正确；从而可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∵为直径， ∴，，， ∴， ∵， ∴；故①正确； 连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分于点， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 故选：A 3．方程的根为 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，直接利用换元法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴当时， ， ∴无实数根， 当时， 解得：，， 故答案为：，． 4．如图，等边的边长为3，分别以顶点为圆心，长为半径，作，我们把这三条弧所组成的图形称作“莱洛三角形”．设点为图形的中心点．如图2，将这个图形的顶点A与线段作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点重合，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式、莱洛三角形的周长、等边三角形的性质、弧与弦的关系等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 先求出的长，继而得出“莱洛三角形”的周长即可解答； 【详解】解：∵等边的边长为3， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长为． 故答案为：． 5．【综合与探究】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则______； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得______； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为a（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出a的值． 【答案】（1）；（2）；（3），2 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）， ， （如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴． 6．如图1，已知正方形内有一图形，它是由的优弧和弦组成的封闭图形，我们称它为圆缺，其中正方形的边长为10，圆缺的半径为4，． (1)发现：①_____； ②当圆缺与正方形的两条边相切时，两切点之间的弧长是定值，则这个定值是_____； (2)当圆缺在正方形内部自由运动到如图2所示的位置时，求阴影部分的面积； (3)思考：①当圆缺与相切于点时，求点和点之间的最小距离； ②当点在上，点在上（，均不与点重合）时，设弦的中点为，直接写出线段的最小值_____． 【答案】(1)①；② (2) (3)①4；② 【分析】（1）①，，求出的长度及高线的长度，则面积可求； ②根据圆O与正方形相切，可推导出圆心角的度数，再利用弧长公式，求出弧长即可． （2）利用割补法，连接切点和圆心，过点O作的垂线，分别求出各部分的面积． （3）①垂直于，当点N落在上时，最小，根据勾股定理求出线段的长度，再用就是的最小值； ②点G在以B为圆心，长为半径的圆上，当D、B、G三点共线时，最短，进而求解即可． 【详解】（1）①∵，， 如图1所示，过点O作垂直于点H， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； ②如图2所示， ∵P、Q为圆O的切线，连接、， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； （2）如图3所示，连接，过点O作垂直于点P， ∵Q为圆O的切点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）①如图4所示， 当垂直时， ∵，，， ∴， 当点N落在边上时，最小， ∵，， ∴， ∴； ②如图5所示， ∵， ∴， ∴点G在以B为圆心，长为半径的圆上运动， 当B、G、D三点共线时，最短， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了圆的相关性质及与圆有关的计算，勾股定理，矩形的性质和判定，求阴影面积和弧长，切线的性质等知识，利用特殊角度和相切求线段长度为解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 62 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $