第4章等可能条件下的概率复习-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

97 第4章复习 ▶ “答案与解析”见P60 考点一 等可能性的意义 典例1 盒子里有10个球,它们只有颜色不同, 其中红球有6个,黄球有3个,黑球有1个.小军 从中任意摸一个球,下列说法中,正确的是 ( ) A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小 跟踪训练 1. 桌子上有一个不透明的盒子,其中装有6个 红球、4个白球,这些球除颜色外都相同,搅 匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回, 搅匀再摸,重复30次,则摸出 球的 可能性更大. 考点二 等可能条件下的概率公式 典例2 在一个不透明的布袋中装有30个白球 和若干个黑球,这些球除颜色外都相同.若摸出 一个球为黑球的概率是3 5 ,则布袋中黑球的个数 为 . 设布袋中黑球的个数为x,根据概率公式列出 方程,求出x 的值即可得出答案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　等可能条件下的概率 98 跟踪训练 2. 某校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的 “种植”“烹饪”“陶艺”“木工”四门课程中随机 选择一门学习,每门课程被选中的可能性相 等.小明恰好选中“烹饪”的概率为 ( ) A. 1 8 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 考点三 用画树状图或列表的方法求概率 典例3 一张方桌设有四个座位,丙先坐在如图 所示的座位上,甲、乙、丁3人等可能坐到①②③ 三个座位上. (1) 甲坐①号座位的概率是 . (2) 请用画树状图或列表的方法,求甲、乙坐同 侧共排的概率. (典例3图) (1) 直接由概率公式求解即可.(2) 画出树状图 或列出表格,确定所有等可能的结果数,以及其中甲、 乙坐同侧共排的结果数,再由概率公式求解即可. 跟踪训练 3. 假定鸡蛋孵化后,小鸡为母鸡或公鸡的概率 相同.若3枚鸡蛋全部成功孵化,则这3只小 鸡中恰有1只为母鸡的概率是 . 考点四 几何概型的概率 典例4 在某次数学活动中,有两个如图所示的 转盘A、B,转盘A被分成四个相同的扇形,分别 标有数字1、2、3、4,转盘B被分成三个相同的扇 形,分别标有数字5、6、7,转动转盘(如果指针指 在分界线上,那么重新转动,直至指针指在某个 扇形区域内为止). (1) 若单独自由转动转盘A,当它停止时,指针 指向奇数的概率是 . (2) 小滨自由转动转盘A,小河自由转动转盘 B,当两个转盘停止转动后,记下各自转盘指针 所指区域对应的数字.请用画树状图或列表的方 法求所得两数字之和为3的倍数的概率. (典例4图) 跟踪训练 (第4题) 4. 如图,转动圆形转盘,当转盘停 止转动时,指针恰好指在涂色部 分的概率为1 4 ,则涂色部分的圆 心角的度数是 . 考点五 学科内综合题 典例5 将背面完全相同且正面分别写有-2、 -1、0、1、2的五张卡片背面向上,充分洗匀并任 意抽取一张,将卡片上的数记为a,使关于x 的 分式方程 2a x-2-1= x x-2 有正整数解的概率为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 99 先解分式方程得出x=a+1,再根据分式方程 有正整数解得出a 的取值范围和a 的值,最后利用 概率公式可得答案. 跟踪训练 5. 如果m 是从1、3、5三个数中任取的一个数, n是从-1、0、1三个数中任取的一个数,那么 直线y=(m-2)x+n经过第一、三、四象限 的概率为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. (2023·永州)某班准备从《在希望的田野上》 《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择 两首进行排练,参加即将举办的“唱响新时 代,筑梦新征程”合唱选拔赛,那么该班恰好 选中前面两首歌曲的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 2. (2023·邵阳)有标着数字4、5、6的三张卡 片,将这三张卡片任意摆成一个三位数,摆出 的三位数为5的倍数的概率是 ( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的 绝对值不超过1,那么称该三位数为“平稳 数”.用2、3、4这三个数字随机组成一个无重 复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为 . 4. 如图,电路图上有3个开关A、B、C和1个小 灯泡,闭合开关C或同时闭合开关A、B都可 以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关, 小灯泡发亮的概率是 . (第4题) (第5题) 答案讲解 5. 如图,在体育课上,六名同学分别站 在正六边形ABCDEF 的6个顶点 处(面向正六边形内)做传球游戏, 规定:球不得传给自己,也不得传给左手或右 手边的第一个人.若游戏中传球和接球都没 有失误,现在球在站在点A 处的同学手上, 则经过两次传球后球又回到站在点A 处的 同学手上的概率为 . 答案讲解 6. 甲、乙两人做游戏,他们在一个不透 明的袋子中装了五个小球,分别标 有数字1、1、2、2、3,这些小球除编号 外都相同. (1) 搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,这个 小球的编号是偶数的概率为 . (2) 搅匀后,甲从中任意摸出一个小球,记录 小球的编号后放回、搅匀,乙再从中任意摸出 一个小球.若摸出的两个小球的编号之和为 偶数,则甲获胜;否则乙获胜.请用画树状图 或列表的方法说明谁获胜的概率大. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第4章　等可能条件下的概率 解得ac<1,且a≠0.画树状图如图所 示.由树状图,可知共有12种等可能 的结果,其中满足ac<1,且a≠0的 结果有6种.∴ 方程ax2+2x+c=0 有两个不相等的实数根的概率为 6 12= 1 2. (第1题) 2. 2 5 [解析] 若关于x的方程(a- 1)x2-2x+1=0有两个不相等的实 数根,则 a-1≠0, (-2)2-4(a-1)×1>0, 解 得a<2,且a≠1.记 x-12a>0① , -3+2x≤1②, 解 不等式①,得x>12a ;解不等式②, 得x≤2.∴ 不等式组的解集为1 2a< x≤2.若 关 于 x 的 不 等 式 组 x-12a>0 , -3+2x≤1 只 有 三 个 整 数 解,则 -1≤12a<0 ,解得-2≤a<0.∴ 使 得关于x的方程(a-1)x2-2x+1= 0有两个不相等的实数根,且满足关 于x 的不等式组 x-12a>0 , -3+2x≤1 只有 三个整数解的a的取值范围是-2≤ a<0.∵ 从-2、-1、0、1、2这五个数 中随机抽取一个有5种等可能的结 果,其中满足-2≤a<0的结果有2种, ∴ 使得关于x 的方程(a-1)x2- 2x+1=0有两个不相等的实数根,且 满 足 关 于 x 的 不 等 式 组 x-12a>0 , -3+2x≤1 只有三个整数解的概率 是2 5. 3. A 4. (1) 1 2. (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知共有12种等可能的结 果,其中该一次函数的图像经过第一、 二、四象限(k<0,b>0)的结果有 4种. ∴ 该一次函数的图像经过第一、二、 四象限的概率为4 12= 1 3. (第4题) 5. D [解析] 解一元二次方程y2- 5y+4=0,得y1=1,y2=4;解一元二 次方程y2-5y+6=0,得y3=2, y4=3.∴ 四张卡片上分别写有1、2、 3、4四个根.画树状图如图所示.由树 状图,可知共有16种等可能的结果, 其中点N 在以原点为圆心、5为半径 的圆上的结果有2种.∴ 点N 在以 原点为圆心、5为半径的圆上的概率 是2 16= 1 8. (第5题) 6. (1) ∵ Rt△ABC 的两条直角边长 的比为2∶3,a>b, ∴ 设b=2k,a=3k(k>0). 由勾股定理,得a2+b2=c2. ∴ c= 13k. ∴ 针尖落在四个直角三角形区域的 概率是 4×12×2k×3k (13k)2 =1213. (2) ∵ 正方形EFMN 的边长为8,即 c=8, ∴ c2=64=a2+b2. ∵ Rt△ABC的周长为18, ∴ a+b+c=18. ∴ a+b=10. ∴ Rt△ABC 的 面 积 = 12ab= 1 4 [(a+b)2-(a2+b2)]=9. 第4章复习 ［知识体系构建］ m n SA S总 m n ［高频考点突破］ 典例1 B [跟踪训练] 1. 红 典例2 45 [解析] 设布袋中黑球的 个数为x.根据题意,得 x30+x= 3 5 , 解得x=45.经检验,x=45是原分式 方程的解,且符合题意.∴ 布袋中黑 球的个数为45. [跟踪训练] 2. C 典例3 (1) 1 3. (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知共有6种等可能的结 果,其中甲、乙坐同侧共排的结果有 2种. ∴ 甲、乙 坐 同 侧 共 排 的 概 率 为 2 6= 1 3. (典例3图) [跟踪训练] 3. 3 8 [解析] 画树状 图如图所示.由树状图,可知共有8种 等可能的结果,其中这3只小鸡中恰 有1只为母鸡的结果有3种.∴ 这 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 06 3只小鸡中恰有1只为母鸡的概率 是3 8. (第3题) 典例4 (1) 1 2. (2) 画树状图如图所示. 由树状图,可知共有12种等可能的结 果,其中两数字之和为3的倍数的结 果有4种. ∴ P(两数字之和为3的倍数)= 4 12= 1 3. (典例4图) [跟踪训练] 4. 90° 典例5 25 [解析] ∵ 2a x-2-1= x x-2 ,∴ 2a-(x-2)=x.∴ x=a+ 1.∵ 分式方程有正整数解,∴ a+ 1>0,且a+1≠2.∴ a>-1,且a≠ 1.∴ a=0或2.∴ 使关于x 的分式 方程有正整数解的a 的值有两个. ∴ 使关于x 的分式方程 2ax-2-1= x x-2 有正整数解的概率为2 5. [跟踪训练] 5. 2 9 ［综合素能提升］ 1. B 2. C 3. 1 3 4. 1 3 5. 1 3 [解析] 画树状图如图所示. 由树状图,可知共有9种等可能的结 果,其中经过两次传球后球又回到站 在点A 处的同学手上的结果有3种. ∴ 经过两次传球后球又回到站在点 A 处的同学手上的概率为39= 1 3. (第5题) 6. (1) 2 5. (2) 列表如下: 甲和 乙 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 2 3 3 4 4 5 2 3 3 4 4 5 3 4 4 5 5 6 由表,可知共有25种等可能的结果, 其中摸出的两个小球的编号之和为偶 数的结果有13种,摸出的两个小球的 编号之和为奇数的结果有12种. ∴ 甲获胜的概率为13 25 ,乙获胜的概率 为12 25. ∵ 13 25> 12 25 , ∴ 甲获胜的概率大. 期末压轴题特训 考向一　与一元二次方程 有关的代数式求值问题 1. B [解析] ∵ m、n是一元二次方 程x2-x-3=0的两个不相等的实 数根,∴ m+n=1,mn=-3,n2- n-3=0.∴ n2=n+3.∴ 2n2- mn+2m+2021=2n+6+3+2m+ 2021=2(m+n)+2030=2032. 2. B [解析] ∵ α、β是一元二次方 程x2-x-2018=0的两个实数根, ∴ α+β=1,α2-α=2018.∴ α2- 3α-2β+3=α2-α-2(α+β)+3= 2018-2+3=2019. 3. 1 [解析] ∵ α、β是一元二次方 程x2-2024x+1=0的两个实数根, ∴ α+β=2024,αβ=1.∴ (α-2024)· (β-2024)=αβ-2024α-2024β+ 20242=αβ-2024(α+β)+20242= 1-20242+20242=1. 4. 5 [解析] ∵ a、b是一元二次方 程x2-5x-2=0的两个实数根, ∴ a+b=5,a2-5a-2=0.∴ a2= 5a+2.∴ a3+a2b 5a+2 = a2(a+b) 5a+2 =a+ b=5. 5. 2025 [解析] 由题意,得m2- 2024m+1=0.∴ m2+1=2024m, m2-2024m=-1.∴ m2-2023m= m2-2024m+m=-1+m,2024m2+1= 2024 2024m = 1 m.∴ m2 -2023m + 2024 m2+1+2=-1+m+ 1 m+2=1+ m2+1 m =1+ 2024m m =2025. 6. ∵ m 是方程x2-3x+1=0的一 个根, ∴ m2-3m+1=0,即m2-3m=-1. ∴ (m-3)2+(m+2)(m-2)=m2- 6m+9+m2-4=2(m2-3m)+ 5=3. 7. ∵ m 是方程x2+3x-2022=0的 一个根, ∴ m2+3m-2022=0. ∴ m2+3m=2022. ∴ m3+2m2-2025m +2022= m(m2+3m-2025)-m2+2022= m(2022-2025)-m2 +2022= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16