第四章等可能条件下的概率 期末复习 提优卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第四章等可能条件下的概率 期末复习 提优卷 2025-2026学年苏科版九年级上 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 2．一个不透明袋子中装有3个黄球，4个红球，2个绿球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黄球 3．如图将一个飞镖随机投掷到3×5的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 4．在盒子里放有三张分别写有整式2，x+3，5的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图是两个可以自由转动的转盘，转盘一被等分成了三个扇形，转盘二被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字．如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 二．填空题（共7小题，每题3分，共21分） 7．有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 　 　 ． 8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　 　 ． 9．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 　 　 ． 10．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有两个面涂有红色的概率为　 　 ． 11．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字﹣1，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，﹣2．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点（x，y）落在平面直角坐标系第二象限的概率是 　 　 ． 12．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为　 　 ． 13．定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个4×4表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字（抽后放回），连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为　 　 ． 三．解答题（共5小题，共61分） 14．某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通A，B，C三个入口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场． （1）小明领取入场券后，从A入口进场的概率是多少？ （2）某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会．小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖．商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理． 15．某学习小组在延时课上制作了五张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．菠萝榨汁，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是　 　 ； （2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率． 16．在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上． （1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 　 　 ． （2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）． 17．两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式…纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502．在“〇”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，求取到奇数的概率是多少？ 18．张聪：如图是一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张聪得到门票，否则李明得到门票． 李明：将三个完全相同的小球分别标上数字1，2，3后，放入一个不透明袋子中， 从中随机取出一个小球，然后放回袋子混合均匀后，再随机取出一个小球，若两次取出的小球上数字之和为偶数，李明得到门票，否则张聪得到门票． 请你运用所学概率的知识，分析张聪和李明的设计方案对双方是否公平？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B A C B 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 2．一个不透明袋子中装有3个黄球，4个红球，2个绿球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（　　） A．摸出白球 B．摸出红球 C．摸出绿球 D．摸出黄球 【解答】解：∵一个不透明袋子中装有3个黄球，4个红球，2个绿球，1个白球，共有10个球， ∴从中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为， 摸出红球的概率为＝， 摸出绿球的概率为＝， 摸出白球的概率为． 故选：D． 3．如图将一个飞镖随机投掷到3×5的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：共有方块3×5＝15块，阴影方块有7块， 所以飞镖落在阴影部分的概率为， 故选：B． 4．在盒子里放有三张分别写有整式2，x+3，5的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式2，x+3，中，抽到x+3做分母时组成的都是分式， 共有3×2＝6种情况， 其中x+3分母的情况有2种， 所以能组成分式的概率＝＝． 故选：A． 5．如图是两个可以自由转动的转盘，转盘一被等分成了三个扇形，转盘二被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字．如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为偶数的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 6 7 8 9 6 7 8 9 7 8 9 10 所有等可能的情况有9种，其中数字之和为偶数的情况有4种， 则P＝． 故选：C． 6．如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有（　　） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【解答】解：如图，将各格点分别记为1、2、3、4、5、6、7， 画树状图如下： 由树状图可知点P由A点运动到B点的不同路径共有5种， 故选：B． 二．填空题（共7小题） 7．有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 　　 ． 【解答】解：从中随机抽取1张有8种等可能结果，其中卡片上的数是2的整数倍的有4种结果， 所以该卡片上的数是2的整数倍的概率是＝． 故答案为：． 8．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是 　　 ． 【解答】解：设事件A表示能找到食物的路径，S为样本， ∵从图中可以看出共有6条路径，其中有2条路径树枝上有食物， ∴， 故答案为：． 9．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 　　 ． 【解答】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c， 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能， 所以它们取自同一套的概率为＝， 故答案为：． 10．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有两个面涂有红色的概率为　　 ． 【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个）， 在每条棱上只有1个两面涂有红色的小立方体，由于正方体有12条棱，因此，有12个两面涂有红色的小立方体， 所以，从中27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂有红色的概率为＝， 故答案为：． 11．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字﹣1，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，﹣2．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点（x，y）落在平面直角坐标系第二象限的概率是 　　 ． 【解答】解：列表如下： ﹣1 　2 　3 ﹣1，3 　2，3 　0 ﹣1，0 　2，0 ﹣2 ﹣1，﹣2 　2，﹣2 由表可知，共有6种等可能结果，其中点（x，y）落在直角坐标系第二象限的有1种， 所以点（x，y）落在直角坐标系第二象限的概率是， 故答案为：． 12．小红随机地在如图所示的边长为6的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为　π　 ． 【解答】解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵正方形的边长为6， ∴AB＝×6＝3， ∵⊙O是内切圆， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴BO＝ABtan30°＝3×＝， 则正三角形的面积是×62＝9，而圆的半径是，面积是π•（）2＝3π， 因此概率是＝π， 故答案为：π． 13．定义：如果一列数，从第二个数开始，每一个数与它前一个数的差都等于同一个常数，则称这列数为等差数列．如图是一个4×4表格，其每一横行、每一竖列都成等差数列，李同学补全右侧表格后，从中任意抽取一个数字（抽后放回），连续抽取两次，则两次均为奇数的概率为　　 ． 【解答】解：补全表格如下 先从中抽出1个数，有16种结果，放回再抽一次有16种结果， ∴一共有16×16＝256种结果， 而两次均为奇数的结果有4×4＝16种结果， ∴两次均为奇数的概率为＝， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 14．某商场举办“乐享国庆”购物活动时，为了疫情防控，只开通A，B，C三个入口，参加人员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场． （1）小明领取入场券后，从A入口进场的概率是多少？ （2）某品牌手机商家开展了“头手机砸金蛋”活动，购买该品牌手机的顾客都有一次砸金蛋机会．小明和小亮同时购买了该品牌手机，商家提供了4个金蛋，只有1个是一等奖，其余都是二等奖．商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得一等奖概率的角度说明小亮的质疑是否合理． 【解答】解：（1）小明领取入场券后，从A号入口进场的概率是； （2）小亮的质疑不合理，理由如下： 解法一： 设一等奖为1，二等奖为2，可画树状图如下： 对于小亮共有12种等可能的结果，小亮获得一等奖的结果有3种， ∴P（小明获得一等奖）＝，P（小亮明获得一等奖）＝， ∴P（小明获得一等奖）＝P（小亮获得一等奖）， ∴小亮的质疑不合理． 解法二： 设一等奖为1，二等奖为2，可列表如下： 小亮 小明 1 2 2 2 1 （1，2） （1，2） （1，2） 2 （2，1） （2，2） （2，2） 2 （2，1） （2，2） （2，2） 2 （2，1） （2，2） （2，2） 共有12种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有3种，小亮获得一等奖的结果有3种， ∴P（小明获得一等奖）＝，P（小亮获得一等奖）＝， ∴P（小明获得一等奖）＝P（小亮获得一等奖）， ∴小亮的质疑不合理． 15．某学习小组在延时课上制作了五张卡片：A．铁钉生锈、B．滴水成冰、C．矿石粉碎、D．牛奶变质、E．菠萝榨汁，卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀． （1）小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是　　 ； （2）小安从五张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率． 【解答】解：（1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中的卡片属于物理变化的结果有：B，C，E，共3种， ∴小茜从五张卡片中随机抽取一张，抽中的卡片属于物理变化的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D E A （A，B） （A，C） （A，D） （A，E） B （B，A） （B，C） （B，D） （B，E） C （C，A） （C，B） （C，D） （C，E） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，E） E （E，A） （E，B） （E，C） （E，D） 共有20种等可能的结果，其中小安抽取两张卡片均属于化学变化的结果有：（A，D），（D，A），共2种， ∴小安抽取两张卡片均属于化学变化的概率为． 16．在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上． （1）从C，D，E，F四点中任意取一点，以所取的这一点及A，B为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 　　 ． （2）从C，D，E，F四点中任意取两个不同的点，以所取的这两点及A，B为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）． 【解答】解：（1）根据从C，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取C，D，E点时，所画三角形是等腰三角形， 所画三角形是等腰三角形的概率； 故答案为：； （2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果： ∵以点A、B、E、C为顶点及以A、B、E、F为顶点所画的四边形是平行四边形， ∴所画的四边形是平行四边形的概率． 17．两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，0～9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式…纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502．在“〇”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的三位数中任取一个，求取到奇数的概率是多少？ 【解答】解：“〇”、“”、“”、“”、“”表示的数字分别为0，2（横式），3（纵式），6（纵式），9（横式）， 按照一定顺序排成的三位数中，百位数字只可在3或6中任选一个， ①若百位数字为3，则三位数有：306，320，326，390，396； ②若百位数字为6，则三位数有：603，620，623，690，693； 共有10种等可能性结果，其中满足条件的三位数为奇数有：603、623、693，共3个， ∴所求概率为． 18．张聪：如图是一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张聪得到门票，否则李明得到门票． 李明：将三个完全相同的小球分别标上数字1，2，3后，放入一个不透明袋子中， 从中随机取出一个小球，然后放回袋子混合均匀后，再随机取出一个小球，若两次取出的小球上数字之和为偶数，李明得到门票，否则张聪得到门票． 请你运用所学概率的知识，分析张聪和李明的设计方案对双方是否公平？ 【解答】解：（1）张聪的方案：指向阴影区域的概率为＝，指向空白部分的概率为，张聪得到门票的概率大，不公平． （2）李明的方案：两次取出的小球上的数字之和有以下几种情况1+1＝2；2+1＝3；3+1＝4；1+2＝3；2+2＝4；3+2＝5；1+3＝4；2+3＝5；3+3＝6共9种情况，其中5个偶数，4个奇数．即出现偶数的概率为，而出现奇数的概率为，∴＞，李明得到门票的概率大，此规则不公平． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $