第1章一元二次方程复习-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

∴ t=4÷2=2. ∴ 易得AP=2. ∴ BF=AB-AP-PF=2. (3) 当▱PEQF 为菱形时,PE=EQ. 分四种情况讨论:① 当0<t≤2时, 如图②,过点E 作EM⊥AB 于点M, EN⊥BC于点N. 易 知 EM = 12 BC =4 ,EN = 1 2AB=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(4-t)2+42=(4-2t)2+42, 解得t1=0(不合题意,舍去),t2= 8 3 (不合题意,舍去). ② 当2<t≤4时,同①,得(4-t)2+ 42=(2t-4)2+42,解得t1=0(不合 题意,舍去),t2= 8 3. ∴ t=83. ③ 当4<t≤6时,如图③,过点E 作 EM⊥AB 于点M,EN⊥CD 于点N. 易知EM=4,EN=12AD=4. ∵ PE2 =PM2 +EM2,EQ2 = QN2+EN2, ∴ 易得(t-4)2+42=(12-2t)2+ 42,解得t1= 16 3 ,t2=8(不合题意,舍去). ∴ t=163. ④ 当6<t<8时,同③,得(t-4)2+ 42=(2t-12)2+42,解得t1= 16 3 (不 合题意,舍去),t2=8(不合题意,舍去). 综上所述,在整个运动过程中,当 ▱PEQF 为菱形时,t的值为83 或16 3. (第5题) 第1章复习 ［知识体系构建］ -b± b2-4ac 2a (b2-4ac≥0) -ba c a ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] ∵ m、n 是方程 x2-3x-1=0的两个根,∴ 将x=m 和x=n分别代入,得m2-3m-1= 0,n2-3n-1=0.∴ m2-3m=1, n2-3n=1.∴ 2m2-6m=2,3n2- 9n=3.∵ (2m2-6m+a)(3n2- 9n-5)=10,∴ (2+a)(3-5)=10. ∴ a=-7. [跟踪训练] 1. -4046 [解析] ∵ m 为 方 程x2+3x- 2023=0的根,∴ m2+3m-2023= 0.∴ m2=-3m+2023.∴ m3= m(-3m + 2023)= -3m2 + 2023m = -3(-3m +2023)+ 2023m=2032m-6069.∴ m3+ 2m2-2026m-2023=2032m- 6069+2(-3m+2023)-2026m- 2023=2032m-6069-6m+4046- 2026m-2023=-4046. 典例2 (1) ∵ (2x-3)2=5(2x-3), ∴ (2x-3)2-5(2x-3)=0. ∴ (2x-3)(2x-8)=0. ∴ 2x-3=0或2x-8=0. ∴ x1= 3 2 ,x2=4. (2) ∵ (x+8)(x+1)=-12, ∴ x2+9x+20=0. ∴ (x+4)(x+5)=0. ∴ x+4=0或x+5=0. ∴ x1=-4,x2=-5. [跟踪训练] 2. (1) x1=2,x2= 8 3. (2) x1=2,x2=-1. (3) x1=0,x2=-5. 典例3 (1) ∵ a=1,b=-(2m+ 2),c=m2+2m, ∴ b2-4ac=[-(2m+2)]2-4×1× (m2+2m)=4>0. ∴ 无论m 取何值,方程总有两个不 相等的实数根. (2) ∵ 方程有一个根为1, ∴ 12-(2m+2)×1+m2+2m=0, 即m2-1=0. ∴ m1=1,m2=-1. [跟踪训练] 3. (1) ∵ a=1,b= m-6,c=-6m, ∴ b2 -4ac= (m -6)2 -4× (-6m)=m2+12m+36=(m+ 6)2≥0. ∴ 该方程总有两个实数根. (2) 解该方程,得x1=-m,x2=6. ∵ 方程有一个实数根小于2, ∴ -m<2. ∴ m>-2. 典例4 (1) ∵ a=1,b=-(2m+ 1),c=m2+m, ∴ b2 -4ac= [- (2m +1)]2 - 4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2- 4m=1>0. ∴ 无论m 取何值,方程总有两个不 相等的实数根. (2) ∵ 该方程的两个实数根为a、b, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∴ a+b=-- (2m+1) 1 =2m+1 , ab=m 2+m 1 =m 2+m. ∵ (2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab= 2(a+b)2+ab, ∴ 2(a+b)2+ab=20. ∴ 2(2m+1)2+m2+m=20. 整理,得m2+m-2=0,解得m1= -2,m2=1. ∴ m 的值为-2或1. [跟踪训练] 4. (1) b2-4ac=22- 4×1×(3-k)=-8+4k. ∵ 方程有两个不相等的实数根, ∴ -8+4k>0,解得k>2. (2) ∵ 方程的两个根为α、β, ∴ αβ= c a=3-k. ∴ k2=3-k+3k,解 得k1=3, k2=-1(不合题意,舍去). ∴ k的值为3. 典例5 设矩形ABCD 的边AB= xm,则边AD=70-2x+2=(72- 2x)m. (1) 根据题意,得x(72-2x)=640, 化简,得 x2-36x+320=0,解得 x1=16,x2=20. 当x=16时,72-2x=72-32=40. 当x=20时,72-2x=72-40=32. ∴ 当羊圈的长为40m,宽为16m或 长为32m,宽为20m时,能围成一个 面积为640m2 的羊圈. (2) 不能. 理由:假设羊圈的面积能达到650m2. 由题意,得x(72-2x)=650. 化简,得 x2-36x+325=0. ∵ b2-4ac=(-36)2-4×325= -4<0, ∴ 该一元二次方程没有实数根. ∴ 羊圈的面积不能达到 650m2. [跟踪训练] 5. C [解析] 设乙店 二、三月份的销售额的月平均增长率 为x,则 甲 店 三 月 份 的 销 售 额 为 10(1+2x)2万元,乙店三月份的销售 额为15(1+x)2 万元.由 题 意,得 10(1+2x)2-15(1+x)2=10,解得 x1=0.6=60%,x2=-1(不合题意, 舍去).∴ 乙店二、三月份的销售额的 月平均增长率为60%. 典例6 (1) ∵ b2-4ac=(2k+ 1)2-4(k2+k)=1>0, ∴ 方程有两个不相等的实数根. (2) 一元二次方程x2-(2k+1)x+ k2+k=0的解为x=2k+1±12 ,即 x1=k,x2=k+1. ∵ k<k+1, ∴ AB≠AC. 当AB=k,AC=k+1,且AB=BC 时,△ABC是等腰三角形,则k=5. 此时△ABC的三边长为5、5、6. ∵ 5+5=10>6, ∴ k=5符合题意. 当AB=k,AC=k+1,且AC=BC 时,△ABC是等腰三角形,则k+1= 5,解得k=4. 此时△ABC的三边长为4、5、5. ∵ 4+5=9>5, ∴ k=4符合题意. 综上所述,k的值为5或4. [跟踪训练] 6. (1) ∵ b2-4ac= [-(k+1)]2-4k=k2+2k+1- 4k=(k-1)2≥0, ∴ 无论k取什么实数值,这个方程总 有实根. (2) ∵ 等腰三角形 ABC 的一腰长 a=4, ∴ 另两边长b、c中必有一个数为4. 把x=4代入关于x的方程x2-(k+ 1)x+k=0中,得16-4(k+1)+k= 0,解得k=4. ∴ b+c=k+1=5. ∴ △ABC的周长为4+5=9. ［综合素能提升］ 1. C [解析] ∵ x2-2mx+m2- 4=0,∴ (x-m+2)(x-m-2)=0. ∴ x-m+2=0或x-m-2=0. ∵ x1>x2,∴ x1=m+2,x2=m- 2.∵ x1=2x2+3,∴ m+2=2(m- 2)+3,解得m=3. 2. A [解析] ∵ 关于x 的一元二 次方程(k-1)x2+2x-2=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根, ∴ k-1≠0, 22-4×(k-1)×(-2)>0, 解得 k>12 且k≠1. 3. C [解析] 设该菱形的两条对角 线的 长 分 别 为 a、b.由 题 意,得 a+b=10, 1 2ab=11. ∴ 菱 形 的 边 长 = a 2 2 + b2 2 = 12 a 2+b2 = 1 2 (a+b)2-2ab=12 100-44= 1 2 56= 14. 4. 3 2 [解析] ∵ a、b分别满足a2- 3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b, ∴ a、b 可以看作是一元二次方程 x2-3x+2=0的两个实数根.∴ a+ b=3,ab=2.∴ 1 a+ 1 b= a+b ab = 3 2. 5. 20 6. 8或9 [解析] 当4为腰长时,将 x=4代入x2-6x+n=0,得42- 6×4+n=0,解得n=8.当n=8时, 原方程为x2-6x+8=0,解得x1= 2,x2=4.∴ 等腰三角形的三边长为 4、4、2.∵ 2+4=6>4,∴ n=8符合 题意.当4为底边长时,关于x 的方 程x2-6x+n=0有两个相等的实数 根,∴ (-6)2-4×1×n=0,解得 n=9.当n=9时,原方程为x2- 6x+9=0,解得x1=x2=3.∴ 等腰 三角形的三边长为3、3、4.∵ 3+3= 6>4,∴ n=9符合题意.综上所述,n 的值为8或9. 7. 6或12或10 [解析] 根据题意, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 得k≥0且(3k)2-4×8≥0,解得 k≥329.∵ 整数k<5,∴ k=4.∴ 方 程变形为x2-6x+8=0,解得x1= 2,x2=4.∵ △ABC 的三边长均满足 关于x 的 方 程x2-6x+8=0, ∴ △ABC的三边长为2、2、2或4、4、 4或4、4、2.∴ △ABC 的周长为6或 12或10. 8. (1) ∵ (x-2)(x-3)-k2=0, ∴ x2-5x+6-k2=0. ∴ b2-4ac=(-5)2-4×1×(6- k2)=25-24+4k2=1+4k2. ∵ 无论k取何值时,总有4k2≥0, ∴ 1+4k2>0. ∴ 无论k取何值,方程总有两个不相 等的实数根. (2) 由(1),得x2-5x+6-k2=0, ∴ x1+x2=5. ∴ x1+2x2=x1+x2+x2=5+x2. ∵ x1>x2, ∴ x2= 5- 4k2+1 2 . ∵ 4k2+1≥1, ∴ 4k2+1≥1. ∴ 5- 4k2+1 2 ≤2 ,即x2≤2. ∴ 5+x2≤7,即x1+2x2≤7. 9. (1) ∵ 关于x的方程x2-2mx+ m2-n=0有两个不相等的实数根, ∴ b2-4ac=(-2m)2-4(m2-n)= 4m2-4m2+4n>0. ∴ n>0. (2) ∵ n为符合条件的最小整数,且 n>0, ∴ n=1. ∴ 原方程为x2-2mx+m2-1=0. 设该方程的根是a、2a. ∴ a+2a=2m,a·2a=m2-1,解得 a=2,m=3或a=-2,m=-3(不合 题意,舍去). ∴ m 的值为3. 10. (1) 设y与x之间的函数表达式 为y=kx+b(k≠0),代入表中数据, 得 30k+b=60, 40k+b=40, 解得 k=-2 , b=120. ∴ y 与x 之间的函数表达式为y= -2x+120. (2) 由题意,得(-2x+120)(x- 20)=600. 化简,得x2-80x+1500=0,解得 x1=30,x2=50. ∴ 当售价为30元/件或50元/件时, 可使得日销售利润为600元. 第2章　对称图形——圆 2.1　圆 第1课时 圆的概念、点 和圆的位置关系 1. A 2. B 3. 2或3 4. 点P'在 ☉O 上 5. 如图,∵ AB=10km,AC=3km, ∴ BC=7km. 由7÷10=0.7(h),知在0h到0.7h 之间,渔船是安全的,0.7h后渔船进 入危险区. (第5题) 6. D 7. B [解析] 在 Rt△ABD 中, ∠B=90°,AB=4,BD=3,∴ AD= 5.∵ BC=7,BD=3,∴ CD=BC- BD=7-3=4.∵ 以点D 为圆心、r 为半径画圆,且点A、B、C中只有1个 点在圆内,∴ r的取值范围是3<r≤ 4.∴ 在四个选项中,r的值可能为4. 8. B [解 析] 如 图,连 接 PB. ∵ AB=AC,AD ⊥BC,BC =6, ∴ CD=BD=12BC=3.∵ E 是PC 的中点,∴ DE 是△PBC 的中位线. ∴ DE=12PB.∴ 当PB 的长取最 大值时,DE 长有最大值.∵ P 是半 径为2的☉A 上一动点,∴ 当线段 PB 过圆心A 时,PB 的长取最大值. 在Rt△ABD 中,∵ BD=3,AD=4, ∴ 由勾股定理,得AB= 32+42= 5.∵ ☉A 的半径为2,∴ PB 长的最 大值为5+2=7.∴ DE 长的最大值 为1 2×7=3.5. (第8题) 9. 3<r<5 [解析] 如 图,在 Rt△BCD 中,CD=AB=3,BC=4, 则BD=5.由图,可知3<r<5. (第9题) 10. (-3,0) [解析] 如图,连接 OP、OM,OM 交☉M 于点P'.∵ 点 M 的坐标为(3,4),∴ 易得OM= 32+42 = 5.∵ PA ⊥ PB, ∴ ∠APB=90°.∵ 点A、B 关于原 点对称,∴ AO=BO,即O 为AB 的 中点.∴ OA=OB=OP=12AB. 当 线段AB 最短时,线段OP 最短,此时 点P 位于点P'的位置,△ABP 位于 △A'B'P'的位置.∵ OM=5,MP'= 2,∴ OP'=3.∴ OA'=3.∵ 点A'在 点B'的左侧,∴ 点A'的坐标为(-3, 0),即当线段AB 最短时,点A 的坐 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 24 第1章复习 ▶ “答案与解析”见P11 考点一 一元二次方程根的概念 典例1 已知m、n是方程x2-3x-1=0的两 个根,且(2m2-6m+a)(3n2-9n-5)=10,则 a的值为 ( ) A. 7 B. -7 C. 3 D. -3 由于m、n 是方程x2-3x-1=0的两个根,代 入方程可以分别得到m2-3m-1=0,n2-3n-1= 0,然后把2m2-6m+a和3n2-9n-5变形,利用前 面的等式整体代入即可解决问题. 跟踪训练 1. 已知m 为方程x2+3x-2023=0的根,则 m3+2m2-2026m-2023的值为 . 考点二 一元二次方程的解法 典例2 用恰当的方法解方程: (1) (2x-3)2=5(2x-3). (2) (x+8)(x+1)=-12. (1) 方程移项,然后利用因式分解法求出解即 可.(2) 方程整理后,利用因式分解法求出解即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 25 跟踪训练 2. 解下列方程: (1) x2-6x+9=(5-2x)2. (2) (x-2)2=6-3x. (3) (x+2)(x+3)=6. 考点三 一元二次方程根的判别式 典例3 (2024·南京秦淮期末)已知关于x 的 方程x2-(2m+2)x+m2+2m=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程总有两个不相等 的实数根. (2) 若方程有一个根为1,求m 的值. (1) 先求出b2-4ac的值,再判断出其与0的大 小即可.(2) 把x=1代入方程,求出m 的值即可. 跟踪训练 3. 已知关于x 的一元二次方程x2+(m- 6)x-6m=0. (1) 求证:该方程总有两个实数根. (2) 若该方程有一个实数根小于2,求m 的 取值范围. 考点四 一元二次方程根与系数的关系 典例4 (2023·仙桃)已知关于x 的一元二次 方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程总有两个不相等 的实数根. (2) 设该方程的两个实数根为a、b,若(2a+ b)(a+2b)=20,求m 的值. (1) 要证明方程总有两个不相等的实数根,即 证明b2-4ac>0.(2) 利用根与系数的关系,得a+ b=2m+1,ab=m2+m,再将(2a+b)(a+2b)=20 变形可得2(a+b)2+ab=20,将a+b=2m+1,ab= m2+m 代入可得关于m 的一元二次方程,求解即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程 26 跟踪训练 4. (2023·襄阳)已知关于x 的一元二次方程 x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根. (1) 求k的取值范围. (2) 若方程的两个根为α、β,且k2=αβ+3k, 求k的值. 考点五 一元二次方程的实际应用 典例5 (2023·东营)如图,李叔叔想用长为 70m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长) 围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC 上留一个 2m宽的门(建在EF 处,另用其他材料). (1) 当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一 个面积为640m2的羊圈? (2) 羊圈的面积能达到650m2 吗? 如果能,请 给出设计方案;如果不能,请说明理由. (典例5图) (1) 根据AD=栅栏总长-2AB+EF,再利用 矩形面积公式即可求出.(2) 仿照(1)中的思路列出 方程,根据方程解的情况得出结论. 跟踪训练 5. 甲、乙两家商店一月份的销售额分别为10万 元和15万元,三月份甲店的销售额比乙店多 10万元.已知甲店二、三月份的销售额的月 平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率 的2倍,则乙店二、三月份的销售额的月平均 增长率是 ( ) A. 40% B. 50% C. 60% D. 70% 考点六 学科内综合题 典例6 已知关于x 的一元二次方程x2- (2k+1)x+k2+k=0. (1) 求证:方程有两个不相等的实数根. (2) 若△ABC 的两边AB、AC 的长是这个方程 的两个实数根,第三边BC 的长是5,当△ABC 是等腰三角形时,求k的值. 跟踪训练 6. 已知关于x的方程x2-(k+1)x+k=0. (1) 求证:无论k取什么实数值,这个方程总 有实根. (2) 若等腰三角形ABC 的一腰长a=4,另两 边长b、c恰好是这个方程的两根,求△ABC 的周长. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 27 1. 关于x的方程x2-2mx+m2-4=0的两个 根x1、x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m 的值为 ( ) A. -3 B. 1 C. 3 D. 9 2. 若关于x 的一元二次方程(k-1)x2+2x- 2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范 围是 ( ) A. k>12 且k≠1 B. k>12 C. k≥12 且k≠1 D. k≥12 3. (2023·泸州)若一个菱形的两条对角线的长 分别是关于x 的一元二次方程x2-10x+ m=0的两个实数根,且该菱形的面积为11, 则该菱形的边长为 ( ) A. 3 B. 23 C. 14 D. 214 4. (2023·鄂州)若实数a、b分别满足a2-3a+ 2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则1a+ 1 b= . 5. 商场某种商品平均每天可销售30件,每件可 盈利50元.为了尽快减少库存,商场决定采 取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每 降价1元,商场平均每天可多售出2件.据此 规律计算:每件商品降价 元时,商场 日盈利可达到2100元. 6. 若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关 于x的方程x2-6x+n=0的两个根,则n 的值为 . 答案讲解 7. 已知整数k<5,△ABC 的三边长均 满足关于x的方程x2-3kx+8= 0,则△ABC 的周长是 . 8. 已知关于x的方程(x-2)(x-3)-k2=0. (1) 求证:无论k取何值,方程总有两个不相 等的实数根. (2) 设方程的两个根分别为x1、x2,且x1> x2,求证:x1+2x2≤7. 答案讲解 9. 已知关于x 的方程x2-2mx+ m2-n=0有两个不相等的实数根. (1) 求n的取值范围. (2) 若n为符合条件的最小整数,且该方程 的较大根是较小根的2倍,求m 的值. 10. 成都第31届世界大学生夏季运动会(以下 简称“成都大运会”)已在2023年7月28日 到8月8日在成都举行.某商家购进一批成 都大运会吉祥物“蓉宝”小挂件,进价为 20元/件,调查发现,日销售量y(件)与售价 x(元/件)之间满足一次函数关系(20≤x≤ 60),其部分数据如下表: x/(元/件) … 30 35 40 … y/件 … 60 50 40 … (1) 求y与x之间的函数表达式. (2) 试问当售价为多少时,可使得日销售利 润为600元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程