1.4.1 面积问题与平均增长率问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级上册数学（苏科版2012）

数根. 2. (1) ∵ x2-(k+5)x+6+2k=0 是关于x的一元二次方程, ∴ a=1,b=-(k+5),c=6+2k. ∵ b2-4ac=[-(k+5)]2-4×1× (6+2k)=k2+10k+25-24-8k= k2+2k+1=(k+1)2≥0, ∴ 此方程总有两个实数根. (2) 由(1),知b2-4ac=(k+1)2. ∴ x=k+5± (k+1) 2 ,解得x1=2, x2=k+3. ∵ 此方程恰有一个根小于-2, ∴ k+3<-2,解得k<-5. 3. A [解析] ∵ 关于x的方程x2- (2k-2)x+k2-1=0有两个实数根, ∴ b2-4ac=[-(2k-2)]2-4×1× (k2-1)=-8k+8≥0.∴ k≤1. ∴ k - 1 ≤ 0,2 - k > 0. ∴ (k-1)2-(2-k)2=-(k- 1)-(2-k)=-1. 4. 3 [解析] ∵ 方程x2+3x+1=0 的两个根为α、β,∴ α+β=-3,αβ= 1.∴ (α+β)2=9,即α2+2αβ+β2= 9.∴ α2+2αβ+β2 αβ =9,即α β +2+ β α=9.∵ αβ>0,∴ α β >0,βα >0. ∴ αβ 2 +2 α β · β α + βα 2 =9.∴ αβ + βα 2 = 9.∴ α β + βα =3. 5. (1) ∵ 关于x 的一元二次方程 mx2+2(m+1)x+m-1=0有两个 不相等的实数根, ∴ b2-4ac=[2(m+1)]2-4m(m- 1)>0,解得m>-13. 又∵ m≠0, ∴ m 的 取 值 范 围 是 m>-13 且 m≠0. (2) ∵ 该方程的两个实数根分别为 x1、x2, ∴ x1+x2=- 2m+2 m ,x1x2= m-1 m . 又∵ x21+x22=8,即(x1+x2)2- 2x1x2=8, ∴ -2m+2m 2 -2×m-1m =8 ,解得 m1=2,m2=- 1 3. 经检验,m1=2,m2=- 1 3 是原分式 方程的解. 又∵ m>-13 且m≠0, ∴ m=2. 1.4　用一元二次方程 解决问题 第1课时 面积问题 与平均增长率问题 1. A 2. D 3. 13 [解析] 设参赛的队伍 有 x支.根据题意,得x (x-1) 2 =78 ,解 得x1=13,x2=-12(不合题意,舍 去).∴ 参赛的队伍有13支. 4. 2 [解析] 设道路的宽为x 米. ∵ 种植草坪的部分可合成长为(32- x)米、宽为(20-x)米的矩形,∴ 由 题意,得(32-x)(20-x)=540,解得 x1=2,x2=50(不合题意,舍去). ∴ 道路的宽为2米. 5. (1) ∵ 平行于墙的一边长为xm, ∴ 垂直于墙的一边长为60-x 2 m. ∴ x·60-x2 =250 ,解得x1=10, x2=50. ∵ x≤40, ∴ x=10. ∴ 60-x 2 =25. ∴ 当垂直于墙的一边长为25m,平行 于墙的一边长为10m时,饲养室的占 地面积为250m2. (2) 画出设计示意图如图所示(画法 不唯一). 方案一:AB 的长为30m,AC 的长为 11m;方案二:AB 的长为33m,AC 的长为10m(任选一种方案即可). 由题意,得AC的长为60- (x-2)+1 3 = 63-x 3 m. ∴ x·63-x3 =330 ,解得x1=30, x2=33. 当x=30时,即AB 的长为30m,AC 的长为11m; 当x=33时,即AB 的长为33m,AC 的长为10m. ∴ 两种方案均可行. (第5题) 6. B [解析] 设2月到4月该厂家自 行车产量的月增长率为x.由题意,得 200(1+x)2=288,解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). ∴ 3月自行车产量为200×(1+ 20%)=240(辆). 7. B [解析] 设这种植物每个支干 长出的小分支的个数是x.由题意,得 1+x+x2=57.整理,得x2+x- 56=0,解得x1=7,x2=-8(不合题 意,舍去).∴ 这种植物每个支干长出 的小分支的个数是7. 8. 342.95 [解析] 设该公司1月到 4月每个月生产成本的下降率为x. 根据题意,得400(1-x)2=361,解得 x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题 意,舍去).∴ 4月该公司的生产成本 为361×(1-5%)=342.95(万元). 9. 54 [解析] 由题意,得长减少 3m,矩形菜地变成正方形菜地.∴ 设 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 矩形菜地的宽为xm,则长为(x+ 3)m.根据题意,得x(x+3)=180,解 得x1=12,x2=-15(不合题意,舍 去).∴ x+3=15.∴ 这块矩形菜地 的长为15m,宽为12m.∴ 李叔叔原 来的菜地的周长为2×(15+12)= 54(m). 10. (1) ∵ AB=x米, ∴ AD=(40-x)米. 由题意,得x(40-x)=300,解得 x1=10,x2=30,即 x 的 值 为10 或30. (2) 花园的面积不能为400平方米. 理由:由题意,得x(40-x)=400,解 得x1=x2=20. ∴ 当x=20时,40-x=40-20=20. ∵ 20<24, ∴ 这棵树没有被围在矩形花园内. ∴ 要将这棵树围在矩形花园内(含边 界,不考虑树的粗细),则花园的面积 不能为400平方米. 11. 2 [解析] 设剪去的正方形的边 长为xcm,则易得长方体铁盒底面的 长为(10-2x)cm,宽为12÷2-x= (6-x)cm.根据题意,得(10-2x)· (6-x)=24,解得x1=2,x2=9(不合 题意,舍去).∴ 剪去的正方形的边长 为2cm. 12. (1) 设A社区居民人口有x 万 人,则 B社区居民人口有(7.5- x)万人. 依题意,得7.5-x≤2x,解得x≥2.5, 即A社区居民人口至少有2.5万人. (2) 依题意,得1.2(1+m%)2+1× (1+m%)×(1+2m%)=7.5× 76%. 设 m%=a,方 程 可 化 为1.2(1+ a)2+(1+a)(1+2a)=5.7. 化简,得32a2+54a-35=0,解得a= 0.5或a=-3516 (不合题意,舍去). ∴ m=50. ∴ m 的值为50. 第2课时 市场营销问题 1. A 2. 40 3. 设每张书签应降价x元,则每张可 获利(0.5-x)元,平均每天可售出 500+x0.1×200= (2000x+500)张. 依 题 意,得(0.5-x)(2000x+ 500)=270. 整理,得100x2-25x+1=0,解得 x1=0.2,x2=0.05. ∴ 每 张 书 签 应 降 价 0.2 元 或 0.05元. 4. B [解析] 设每个的售价为x元, 则每个的销售利润为(x-40)元,销 售量为180-10(x-52)=(700- 10x)个.根据题意,得(x-40)(700- 10x)=2000.整理,得x2-110x+ 3000=0,解得x1=50,x2=60.当 x=50时,700-10x=700-10×50= 200>180,不合题意,舍去.当x=60 时,700-10x=700-10×60=100< 180,符合题意.∴ 每个的售价应为 60元. 5. A [解析] 设该天生产的产品是 第x 档次,则该天的产量为[95- 5(x-1)]件,每件利润为[6+2(x- 1)]元.根据题意,得[6+2(x-1)]· [95-5(x-1)]=1120.整理,得 x2-18x+72=0,解得x1=6,x2= 12(不合题意,舍去).∴ 该天生产的 产品是第6档次. 6. 10 7. 100 [解析] 设该头盔的售价为 x元/件.由题意,得(x-80)(30- 0.2x)=200,整理,得x2-230x+ 13000=0,解得x1=100,x2=130. ∵ 80×(1+30%)=104(元),∴ 当 x=100时,100<104,符合题意;当 x=130时,130>104,不合题意,舍 去.∴ x=100,即该头盔的售价应为 100元/件. 8. (1) 设该种商品每次降价的百分 率为x. 依题意,得200(1-x)2=162,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意, 舍去). ∴ 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为10%. (2) 设每件商品应降价y元. 根据题意,得(200-y-156)(20+ 5y)-150=1450,解 得 y1 =4, y2=36. ∵ 在每件的降价幅度不超过10元的 情况下, ∴ y=4. ∴ 每件商品应降价4元. 9. 10 [解析] 根据题意,得40(1- 4a%)× [250(1+a%)- (1+ 50%)×100]=40×(250-100)× 50%.整 理,得 (1-4a%)(100+ 2.5a)=75,即(a+25)(a-10)=0, 解得a1=-25(不合题意,舍去), a2=10.∴ a的值为10. 10. 根据题意,得200×(10-6)+ (10-x-6)(200+50x)+(4-6)· [600-200-(200+50x)]=1250. 整理,得x2-2x+1=0,解得x1= x2=1. ∵ 售价不得低于进价, ∴ 10-x≥6,即x≤4. ∴ x=1符合题意. ∴ 第二周每个旅游纪念品的售价为 10-1=9(元). 第3课时 几何图形相关问题 1. C 2. A 3. 24 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 16 1.4　用一元二次方程解决问题 第1课时 面积问题与平均增长率问题 ▶ “答案与解析”见P7 1. (2023·无锡)2020~2022年无锡居民人均 可支配收入由5.76万元增长至6.58万元, 设人均可支配收入的年平均增长率为x,则 下列方程正确的是 ( ) A. 5.76(1+x)2=6.58 B. 5.76(1+x2)=6.58 C. 5.76(1+2x)=6.58 D. 5.76x2=6.58 2. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行 绿化,原空地的一边减少了2m,另一边减少 了3m,剩余一块面积为20m2 的矩形空地, 则原正方形空地的边长是 ( ) A. 10m B. 9m C. 8m D. 7m (第2题) (第4题) 3. 在2022年世界女子冰壶锦标赛中,有若干支 队伍参加了单循环比赛(每两支队伍之间进 行一场比赛),共进行了78场,则参赛的队伍 有 支. 4. 如图,在宽为20米、长为32米的矩形地面 上,修筑同样宽的道路(图中涂色部分),余下 部分种植草坪.要使草坪的面积为540平方 米,则道路的宽为 米. 5. (易错题)如图,某农场拟建饲养室,饲养室的 一面靠现有墙(墙长40m),已知计划中的建 筑材料可建围墙的总长为60m,并且材料必 须全部用完.设平行于墙的一边长为xm. (1) 如果要围成一间矩形饲养室,那么应怎 样围建才能使饲养室的占地面积为250m2? (2) 如果需要两间相同的矩形饲养室,为方 便饲养,两间饲养室在墙的对面需各开1扇 门,两间饲养室之间也需开一扇门,门宽均为 1m,两间饲养室的占地面积之和为330m2. 请设计一种符合要求的方案,画出设计示意 图,并运用方程的知识解释方案的可行性. (第5题) 6. 某厂家2023年1~5月的自行车产量统计图 如图所示,3月自行车产量不小心被墨汁覆 盖.若2月到4月该厂家自行车产量的月增 长率都相同,则3月自行车产量为 ( ) (第6题) A. 218辆B. 240辆 C. 256辆 D. 272辆 答案讲解 7. 某校“研学”活动小组在一次野外实 践时,发现一种植物的主干长出若 干数目的支干,每个支干又长出同 样数目的小分支,主干、支干和小分支的总个 数是57,则这种植物每个支干长出的小分支 的个数是 ( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级上 17 8. 某公司某年1月的生产成本是400万元,由 于技术改进,生产成本逐月下降,3月的生产 成本是361万元.假设该公司1月到4月每 个月生产成本的下降率都相同,则4月该公 司的生产成本为 万元. 9. 李叔叔有一块矩形菜地(长大于宽),面积为 180m2,他以菜地的宽为一边,在菜地内修了 一个宽为3m的矩形蓄水池,修完后李叔叔 发现他的菜地刚好变成一块正方形菜地,则 李叔叔原来的菜地的周长为 m. 10. 某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动 中,计划利用如图所示的直角墙角(涂色部 分,两边足够长),用40米长的篱笆围成一 个矩形花园ABCD(篱笆只围AB、AD 两 边),设AB=x米. (1) 若花园的面积为300平方米,求x的值. (2) 若在直角墙角内点P 处有一棵桂花树, 且与墙BC、CD 的距离分别是10米、24米, 要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考 虑树 的 粗 细),则 花 园 的 面 积 能 否 为 400平方米? 若能,求出x 的值;若不能,请 说明理由. (第10题) 答案讲解 11. 如图所示为一块长12cm、宽10cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的 正方形和两个全等的矩形,剩余部 分(涂色部分)可制成底面积是24cm2的有 盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为 cm. (第11题) 12. (新情境)某街道居民积极参加“创文明社 区”活动,据了解,该街道居民人口共有 7.5万人,街道划分为A、B两个社区,B社 区居民的人口数量不超过A社区居民人口 数量的2倍. (1) A社区居民人口至少有多少万人? (2) 街道工作人员调查A、B两个社区居民 对“社会主义核心价值观”了解情况发现: A社区有1.2万人了解,B社区有1万人了 解.为了提高了解率,街道工作人员用了两 个月的时间加强宣传,A社区的了解人数平 均月增长率为m%,B社区的了解人数第一 个月增长了m%,第二个月增长了2m%,两 个月后,街道居民的了解率达到76%,求m 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　一元二次方程