第1章全等三角形复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

22 第1章复习 ▶ “答案与解析”见P12 考点一 全等三角形的性质 典例1 如图,△ABC≌△ADE,点D 在BC 上,连接CE.有下列结论:① DA 平分∠BDE; ② ∠CDE= ∠BAD;③ ∠DAC= ∠DEC; ④ AD=DC.其中,一定正确的有 ( ) (典例1图) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 跟踪训练 1. 如图,△ABF≌△ACF≌△DBF,∠FAB∶ ∠ABF∶∠AFB=4∶7∶25,则∠AED 的 度数为 . (第1题) 考点二 全等三角形的判定方法 典例2 如图,∠ACB=90°,AD⊥CE,BE⊥ CE,垂足分别为D、E.若只添加一个条件,就使 △ACD≌△CBE,则添加的条件是 (写出一个即可). (典例2图) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 23 跟踪训练 2. 如图,AB⊥DB,AC⊥EC,垂足分别为B、C. 已知AD=AE,AC=AB,BD 与CE 交于点 F,连接AF、CD、BE. (1) 求证:∠ADB=∠AEC. (2) 求证:CD=BE. (3) 图中共有 对全等三角形. (第2题) 考点三 分类讨论思想在全等三角形中的应用 典例3 如图,在△ABC 中,AB=AC=10cm, BC=8cm,D 为AB 的中点,点P 在线段BC 上 以3cm/s的速度由点B 向点C 运动,同时,点 Q 在线段CA 上以acm/s的速度由点C 向点A 运动.设运动时间为ts.若以C、P、Q 为顶点的 三角形和以B、D、P 为顶点的三角形全等,且 ∠B 和∠C 是对应角,求a的值. (典例3图) 跟踪训练 3. 如图,AC⊥BC,垂足为C,AC=3cm,BC= 9cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P 从点 C 出发,以1cm/s的速度沿射线CQ 运动,N 为射线BM 上一动点,满足PN=AB.当 △BCA 与以P、N、B 为顶点的三角形全等 时,点P 的运动时间为 s. (第3题) 考点四 全等三角形的判定与性质 典例4 如图,点E、F 在BD 上,且AB=CD, BF=DE,AE=CF,AC 与BD 交于点O.求证: AC 与BD 互相平分. (典例4图) 先证△ABE≌△CDF,得∠B=∠D,再 证 △ABO≌△CDO,根据全等三角形的性质可证明 AO=CO,BO=DO,则AC 与BD 互相平分. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 24 跟踪训练 4. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝 形”.如图,四边形ABCD 是一个“筝形”,其 中AD=CD,AB=CB. (1) 求证:∠ABD=∠CBD. (2) 设对角线AC、BD 相交于点O,OE⊥ AB,OF⊥CB,垂足分别是E、F.请直接写出 图中所有的全等三角形. (第4题) 考点五 全等三角形的实际应用 典例5 如图,小强在河的一边,要测河上的船 B 与对岸码头A 的距离,他的做法如下: ① 在岸边确定一点C,使点A、B、C 在同一条直 线上; ② 在AC 的垂直方向画线段CD,取其中点O; ③ 画DF⊥CD,使点F、O、A 在同一条直线上; ④ 在线段DF 上找一点E,使点E、O、B 在同一 条直线上. 他说:“测出线段EF 的长就是船B 与码头A 的 距离.”他这样做有道理吗? 为什么? (典例5图) 首先证明△ACO≌△FDO,根据全等三角形的 性质,可得AO=FO,∠A=∠F,再证明△ABO≌ △FEO,进而可得EF=BA. 跟踪训练 5. 如图所示为小朋友荡秋千的侧面示意图,静 止时秋千位于铅垂线BD 上,转轴B 到地面 的距离BD=2.5m.乐乐在荡秋千的过程中, 当秋千摆动到最高点A 时,过点A 作AC⊥ BD 于点C,点A 到地面的距离AE=1.5m (AE=CD),当他从点A 摆动到点A'时, A'B=AB,若A'B⊥AB,过点A'作A'F⊥ BD 于点F.求点A'到BD 的距离A'F. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 25 1. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB 交BC 于点E.若∠B=28°,则 ∠AEC 的度数为 ( ) A. 28° B. 59° C. 60° D. 62° (第1题) (第2题) 2. 如图,AB=AC,AD=AE,BD=CE,BD 与 CE 相交于点O,与∠CAB(不包括∠CAB) 一定相等的角有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图,在△ABC 中,CD 为边AB 上的中线, 过点A 作CD 的垂线,交CD 的延长线于点 E,过点B 作BF⊥CD 于点F.若△ACE 的 面积为12,△ADE 的面积为3,则△BCF 的 面积为 . (第3题) 4. 如图,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB, OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°, 连接AC、BD 交于点M,连接OM.有下列结 论:① AC=BD;② ∠AMB=40°;③ OM 平 分∠BOC;④ MO 平分∠BMC.其中,正确的 有 (填序号). (第4题) (第5题) 答案讲解 5. 如图,点C 在线段BD 上,AB⊥BD 于点B,ED⊥BD 于点D,∠ACE= 90°,且AC=5cm,CE=6cm,点P 以2cm/s的速度沿A→C→E 向终点E 运 动,同时点Q 以3cm/s的速度从点E 开始, 在线段EC 上往返运动(即沿E→C→E→ C→…运动),当点P 到达终点时,P、Q 两点 同时停止运动.过点P、Q 分别作BD 的垂 线,垂足分别为M、N.设运动时间为ts,当 以P、C、M 为顶点的三角形与△QCN 全等 时,t的值为 . 6. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=10cm, BC=8cm,CD=12cm,∠B=∠C,E 为AB 的中点.点P 在线段BC 上以3cm/s的速度 由点B 向点C 运动,同时,点Q 在线段CD 上由点C 向点D 运动. (1) 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度 相等,则经过1s,△BPE 与△CQP 是否全 等? 请说明理由. (2) 当点Q 的运动速度为多少时,能够使 △BPE与△CQP全等(其中B、C为对应点)? (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 ∠MBD=180°, ∴ ∠MBD=∠C. 在△BDM 和△CDF 中, BD=CD, ∠MBD=∠C, BM=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDM≌△CDF. ∴ DM=DF,∠BDM=∠CDF. ∵ ∠EDB + ∠CDF = ∠CDB - ∠EDF=120°-60°=60°, ∴ ∠EDM = ∠EDB+ ∠BDM = 60°=∠EDF. 在△DEM 和△DEF 中, DE=DE, ∠EDM=∠EDF, DM=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DEM≌△DEF. ∴ EM=EF. ∵ EM=BE+BM=BE+CF, ∴ EF=BE+CF. (第7题) 8. C [解析] 如图,延长AP 交BC 于 点 D.∵ BP 平 分 ∠ABD, ∴ ∠ABP=∠DBP.∵ BP⊥AP, ∴ ∠BPA=∠BPD=90°.又∵ BP= BP,∴ △BAP≌ △BDP.∴ AP= DP.∴ △BAP 的面积=△BDP 的 面积,△APC 的面积=△DPC 的面 积.∵ △ABC 的 面 积 为 12cm2, ∴ △PBC 的 面 积=△BDP 的 面 积+△DPC的面积=12△ABC 的面 积=12×12=6 (cm2). (第8题) 9. B [解析] 如图,过点E 作EF⊥ AD 于点F.∴ ∠AFE=∠DFE= 90°.∵ AB∥CD,∠C=90°,∴ ∠B+ ∠C=180°.∴ ∠B=90°.∵ AE、DE 分别平分∠BAD、∠CDA,∴ ∠BAE= ∠FAE,∠CDE=∠FDE.在△ABE 和△AFE 中,∵ ∠B=∠AFE=90°, ∠BAE = ∠FAE,AE = AE, ∴ △ABE≌△AFE.∴ AB=AF= 12.在△CDE 和△FDE 中,∵ ∠C= ∠DFE =90°,∠CDE = ∠FDE, ED =ED,∴ △CDE ≌ △FDE. ∴ CD=FD=4.∴ AD=AF+ FD=12+4=16. (第9题) 第1章复习 ［知识体系构建］ 完全重合 相等 相等 夹角 夹边 ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. 130° [解析] 设 ∠FAB、∠ABF、∠AFB 的度数分别 为4x、7x、25x,则4x+7x+25x= 180°,解 得 x =5°.∴ ∠FAB、 ∠ABF、∠AFB 的度数分别为20°、 35°、125°.∵ △ABF ≌ △ACF ≌ △DBF,∴ ∠CAF=∠BAF=20°, ∠DFB = ∠AFB = 125°. ∴ ∠AFE = 110°.∴ ∠AED = ∠CAF+∠AFE=130°. 典例2 答案不唯一,如BE=CD [跟踪训练] 2. (1) ∵ AB⊥DB, AC⊥EC, ∴ ∠ABD=∠ACE=90°. 在Rt△ADB 和Rt△AEC中, AD=AE, AB=AC, ∴ Rt△ADB≌Rt△AEC. ∴ ∠ADB=∠AEC. (2) ∵ Rt△ADB≌Rt△AEC, ∴ BD=CE. 在Rt△AFC和Rt△AFB 中, AF=AF, AC=AB, ∴ Rt△AFC≌Rt△AFB. ∴ CF=BF. ∴ CE-CF=BD-BF,即EF=DF. 在△DCF 和△EBF 中, CF=BF, ∠CFD=∠BFE, DF=EF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCF≌△EBF. ∴ CD=BE. (3) 5. 典例3 由题意,得 BP=3tcm, BC=8cm,CQ=atcm. ∴ CP=BC-BP=(8-3t)cm. ∵ AB=10cm,D 为AB 的中点, ∴ BD=12AB=5cm. 分两种情况讨论: ① 当BD=CP 时,△BDP≌△CPQ. 由BD=CP,得5=8-3t,解得t=1. 又∵ △BDP≌△CPQ, ∴ BP=CQ,即3×1=a×1,解得 a=3. ② 当BP=CP 时,△BDP≌△CQP. 由BP=CP,得3t=8-3t,解得 t=43. 又∵ △BDP≌△CQP, ∴ BD=CQ,即5=43a ,解得a=154. 综上所述,a的值为3或154. [跟踪训练] 3. 0或6或12或18 [解析] ① 当点 P 在线段BC 上, AC =BP 时,△ACB ≌ △PBN, ∵ AC=3cm,∴ BP=3cm.∴ CP= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 9-3=6(cm).∴ 点P 的运动时间为 6÷1=6(s).② 当点P 在线段BC 上,AC=BN 时,△ACB≌△NBP, ∴ BC=PB=9cm,即点P 在点C 处,此时点P 的运动时间为0s.③ 当 点P 在射线BQ 上,AC=BP 时, △ACB≌ △PBN,∵ AC =3cm, ∴ BP=3cm.∴ CP =3+9= 12(cm).∴ 点P 的运动时间为12÷ 1=12(s).④ 当点P 在射线BQ 上, AC =NB 时,△ACB ≌ △NBP, ∴ BC=PB=9cm.∴ CP=9+9= 18(cm).∴ 点P 的运动时间为18÷ 1=18(s).综上所述,点P 的运动时 间为0s或6s或12s或18s. 典例4 ∵ BF=DE, ∴ BF-EF=DE-EF,即BE=DF. 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, BE=DF, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠B=∠D. 在△ABO 和△CDO 中, ∠AOB=∠COD, ∠B=∠D, AB=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△CDO. ∴ AO=CO,BO=DO,即AC 与BD 互相平分. [跟踪训练] 4. (1) 在△ABD 和 △CBD 中, AD=CD, AB=CB, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△CBD. ∴ ∠ABD=∠CBD. (2) 题图中所有的全等三角形有 △ABO≌△CBO、△OAD≌△OCD、 △BOE≌△BOF、△OAE≌△OCF、 △ABD≌△CBD. 典例5 有道理. ∵ AC⊥CD,DF⊥CD, ∴ ∠C=∠D=90°. ∵ O 为CD 的中点, ∴ CO=DO. 在△ACO 和△FDO 中, ∠C=∠D, CO=DO, ∠AOC=∠FOD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACO≌△FDO. ∴ AO=FO,∠A=∠F. 在△ABO 和△FEO 中, ∠A=∠F, AO=FO, ∠AOB=∠FEO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△FEO. ∴ EF=BA. [跟踪训练] 5. ∵ AC⊥BD,A'B⊥ AB,A'F⊥BD, ∴ ∠ACB=∠ABA'=∠A'FB=90°. ∴ ∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°. ∴ ∠2=∠3. 在△ACB 和△BFA'中, ∠ACB=∠BFA', ∠2=∠3, AB=BA', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△BFA'. ∴ BC=A'F. ∵ BC=BD-CD=2.5-1.5=1(m), ∴ A'F=1m. ［综合素能提升］ 1. B 2. C 3. 6 4. ①②④ 5. 1或 11 5 或23 5 6. (1) △BPE 与△CQP 全等. 理由:当运动1s时,BP=CQ=3cm. ∴ PC=BC-BP=8-3=5(cm). ∵ E 为AB 的中点,AB=10cm, ∴ BE=5cm. ∴ BE=PC. 在△BPE 和△CQP 中, BE=CP, ∠B=∠C, BP=CQ, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BPE≌△CQP. (2) ∵ △BPE 与△CQP 全等, ∴ △BPE ≌ △CPQ 或 △BPE ≌ △CQP. 当△BPE≌△CPQ 时,BP=CP, BE=CQ=5cm. 设点P 运动的时间为ts,则3t=8- 3t,解得t=43. ∴ 点 Q 的运动速 度 为5÷ 43 = 15 4 (cm/s). 当△BPE≌△CQP 时,由(1),可知点 P 的运动时间为1s,点Q 的运动速 度为3cm/s. 综上所述,当点 Q 的运动速度为 15 4cm /s或3cm/s时,能够使△BPE 与△CQP 全等. 第2章　轴对称图形 2.1　轴对称与轴对称图形 1. D 2. B 3. 2 4. 4 5. ∵ PQ∥RS,BN⊥PQ,CM⊥RS, ∴ CM∥BN. ∴ ∠MCB=∠NBC. ∵ BN 平 分 ∠ABC,CM 平 分 ∠BCD, ∴ ∠ABC =2∠NBC,∠BCD = 2∠MCB. ∴ ∠ABC=∠BCD. ∴ AB∥CD. 6. B [解析] 第一个图形不是轴对 称图形,第二个图形是轴对称图形,第 三个图形是轴对称图形,第四个图形 不是轴对称图形.综上所述,轴对称图 形的个数是2. 7. D 8. 9:25 9. 苏N·2020N 10. 4 11. [解析] 从题图中可以发 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31