第1章全等三角形典型例题与易错题精练2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形典型例题与易错题精练-数学八年级上册苏科版 【典型例题】+【跟踪训练】 目录导航 第一部分：典型例题 第二部分：跟踪训练 【第一部分】 典型例题 1．如图，已知AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE． 【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE． 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴BC＝DE． 2．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，请直接写出EF，AE，BF之间的数量关系 　EF＝BF﹣AE　； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∵EF＝EC+CF， ∴EF＝AE+BF； （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF 又∵AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； 故答案为：EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝3AE， ∴CE＝3AE， ∵CF＝AE， ∴EF＝2AE＝4， ∴AE＝CF＝2，BF＝6， ∴△BFC的面积＝． 【第二部分】 跟踪训练 一、单选题 1．如图是两个全等的三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点是上一点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 4．如图，在的正方形网格中，等于（    ）      A． B． C． D． 5．如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；与是对应角；④与是对应角，其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④ 6．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，点、分别在边、上，与交于点，，，若，，则的长为（    ） A．5 B．2 C．3 D．7 8．如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 二、填空题 9．若，且，，则的度数为 ． 10．如图，一个等腰直角三角形物件斜靠在墙角处，若，，则点C离墙的水平距离是 ． 11．如图，，，要使，则可添加的一个条件是 （写出一个即可）．    12．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ． 13．如图在中 ，平分，，的面积为78，M、N分别是、上的点，则的最小值是 ． 14．如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 ． 15．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，存在某一时刻，与全等． 16．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 三、解答题 17．如图，在四边形中，，，点E在上，且满足，求证：． 18．如图，点，，，在直线上（，之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 19．如图，，交于点F，，点C在线段上，且，，连接、．求证：． 20．如图，、相交于点，，且，，，． (1)求的度数； (2)求的长度． 21．如图，已知，点，在射线上，请按要求完成下列作图保留作图痕迹及证明． (1)在射线上分别截取，． (2)连接，，两边相交于点． (3)作射线． (4)求证：平分． 22．如图，，，，，直线与交于点F，交于点G，连接．求证：． 23．在中，，，是经过点A的直线，于点D，于点E． (1)如图1，可得______（填“＞”或“＜”或“＝”）； (2)若将绕点A旋转，使与相交于点G，如图2，其他条件不变，探究与的大小关系； (3)在（2）的情况下，若的延长线过的中点F，如图3，连接，过点B作，交于点P． ①求证：； ②求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B A C D 1．C 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理；三角形内角和定理求出的度数，全等三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：如图，    由三角形的内角和定理，得：， ∵两个三角形全等，由图可知，为对应角， ∴， 故选：C． 2．C 【分析】根据三角形全等的判定定理之一判断即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】A. ，添加，满足，能确定，不符合题意； B. ，添加，满足，能确定，不符合题意； C. ，添加，满足，不能确定，符合题意；     D. ，添加，满足，能确定，不符合题意； 故选C． 3．C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，根据的周长为即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ； 故选：C ． 4．C 【分析】本题主要考查了正方形网格的特点，以及全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应角相等．证明，则，根据，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：，， 故选：C 5．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【详解】解：由得， ①与是对应边．故①不符合题意； ②与是对应边．故②符合题意； ③与是对应角．故③不符合题意； ④与是对应角，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是②④， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得，， ∴， ∴， 故选∶A． 7．C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 9．/50度 【分析】本题考查了三角形内角和定理及全等的性质．由三角形内角和定理可以求得，求得． 【详解】解： 在中， ， ． ． 故答案为：． 10．70 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 过点作于点，通过证明，得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ∴， （同角的余角相等）． ∵为等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴． ． ∴， 故答案为：70． 11．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 13．12 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使得，连接，证明，可得，则，进而可得当点B，M，E共线且时，取最小值即，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，使得，连接，过点作于点F. ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴当点B，M，E共线且时，取最小值即， ∵，的面积为78， ∴， ∴， 即的最小值是12． 故答案为：12． 14． 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质， 过点作于，易证，可得，即可求出面积． 【详解】解：过点作于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15．1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 16．①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据得，利用证明，即可得；掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴． 19．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据，得到，由“”可证，可得． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ， ． 20．(1) (2)10 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到； （2）由全等三角形的性质得到，，又，即可证明，得到，于是． 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由推出，，由证明，得到． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ∴， ， ． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查尺规作线段，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据作一条线段等于已知线段作图即可； （2）根据题意连接即可； （3）作射线即可； （4）根据作图方法及全等三角形的判定得出，，，再由其性质即可证明． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求； （3）解：如图所示：射线即为所求； （4）证明：∵，，， ，， ，， ∵，， ∴，且， ， ∴， ∴， ， ∴平分． 22．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据垂直的定义得到，由角的和差得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 23．(1) (2) (3)①见解析；②见解析 【分析】(1)首先证明，再证明，然后根据全等三角形的性质可得 ； (2)首先证明，再证明，根据全等三角形对应边相等可得； (3) ①由，得到，由（2）得，得，从而证明，推出； ②首先证明，然后证明，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵于点D，于点E． ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：∵，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴； （3）证明：①∵， ∴， 由（2）得， ∴ ∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，其中涉及到了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质定理当知识点，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质 证明线段和角相等的重要工具． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$