专题特训(十一)线段与角计算中的数学思想-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

112 　 专题特训（十一）　线段与角计算中的数学思想 ▶ “答案与解析”见P44 类型一 整体思想 1. 如图,AD=12cm,BC=6cm,E,F 分别是 AB,CD 的中点,则EF 的长为 ( ) (第1题) A. 9cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 2. 将长方形纸片ABCD 按如图所示的方式折 叠,使得∠A'EB'=40°,其中EF,EG 为折 痕,则∠AEF+∠BEG 的度数为 ( ) (第2题) A. 40° B. 70° C. 80° D. 140° 类型二 方程思想 3. 如图,点C 把线段MN 分成两部分,且MC∶ CN=5∶4,P 是MN 的中点,PC=2cm,则 MN 的长为 ( ) (第3题) A. 30cm B. 36cm C. 40cm D. 48cm 答案讲解 4. 如图,在∠AOB 的内部有3条射线 OC,OD,OE,若∠AOC=51°,∠BOE= 1 3 ∠BOC ,∠BOD = 13∠AOB ,则 ∠DOE 的度数为 . (第4题) 5. 如图,线段AB 上有两点C,D,且AC∶CD∶ DB=2∶3∶4,E,F 分别为AC,DB 的中 点,EF=48cm,求AB 的长. (第5题) 6. 如图,点O 在直线AB 上,OD 平分∠AOC, 射线OE 在∠BOC 内. (1) 若∠DOE=90°,试说明:OE 是∠BOC 的平分线. (2) 若∠COE=13∠EOB ,∠DOE=48°,求 ∠EOB 的度数. (第6题) 类型三 分类讨论思想 答案讲解 7. 如图,C 为线段AD 上一点,B 为 CD 的中点,且AD=9,BD=2.如 果点E 在直线AD 上,且EA=1, 那么BE 的长为 . (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 113 8. 从 点 O 引 三 条 射 线 OA,OB,OC,且 ∠AOB=30°,在这三条射线中,当其中一条 射线是另外两条射线所组成的角的平分线 时,∠AOC 的度数为 . 9. 某操作车间有一段直线型向左移动的传输 带,两名操作工人分别站在传输带同侧且相 距16m的点A,B 处,操作组长站在该侧的 点F 处,且到点A,B 的距离相等,传输带上 有一个8m长的工具筐CE. (1) 如图,当CE 位于点A,B 之间时,操作 组长发现工具筐的C端离自己只有1m,则工 具筐C端到点A 的距离为 m,工具 筐E 端到点B 的距离为 m. (2) 工具筐C 端从点B 开始随传输带向左移 动直至工具筐E 端到达点A 为止,试探究这 期间工具筐E 端到点B 的距离BE 与工具 筐E 端到点F 的距离EF 之间存在怎样的数 量关系. (第9题) 10. ★在 同 一 平 面 内,已 知 ∠AOB =150°, ∠COD=90°,OE 平分∠BOD. (1) 当∠COD 的位置如图①所示时,若 ∠EOC=35°,求∠AOD 的度数. (2) 当∠COD 的位置如图②所示时,若OF 平分∠AOC,求∠EOF 的度数. (3) 当∠COD 的位置如图③所示时,若 ∠AOC与∠BOD 互补,请你过点O 作射线 OM,使得∠COM 是∠AOC 的余角,并求 ∠MOE 的度数. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的初步知识 ∠CON= 12 (∠AOC+∠BOC)= 1 2×180°=90°. 同理,可得∠COM+ ∠BON=90°,∠AOM +∠CON = 90°,∠AOM+∠BON=90°.所以互 余的角有∠COM 与∠CON,∠COM 与 ∠BON,∠AOM 与 ∠CON, ∠AOM 与∠BON,共4对. 10. 15°或115° [解析] 因为OD 平 分 ∠BOC,∠BOC = 50°,所 以 ∠COD=12∠BOC= 1 2×50°=25°. 因为∠AOC 和∠COD 互 余,所 以 ∠AOC=90°-25°=65°.所以当射线 OA,OD 在 射 线 OC 的 两 侧 时, ∠AOB=∠AOC+∠BOC=65°+ 50°=115°;当射线OA,OD 在射线 OC 的同侧 时,∠AOB=∠AOC- ∠BOC=65°-50°=15°.综上所述, ∠AOB 的度数为15°或115°. 11. 设这个角的度数为x,则它的余 角的度数为90°-x,它的补角的度数 为180°-x. 由题意,得90°-x=23 (180°-x)- 50°,解得x=60°. 所以这个角的度数为60°. 12. (1) 因为∠AOB,∠COD 均为 平角, 所以 ∠AOC,∠BOD 均 与 ∠AOD 互补. 因为OF 平分∠AOE, 所以∠AOF=∠EOF. 因为∠COF=90°, 所以∠DOF=180°-∠COF=90°. 所以∠AOF+∠AOC=∠EOF+ ∠DOE=90°. 所以∠DOE=∠AOC. 所以∠DOE 与∠AOD 互补. 所以与∠AOD 互补的角有∠AOC, ∠BOD,∠DOE. (2) 因为∠AOE=120°, 所以∠BOE=180°-∠AOE=60°. 又 因 为 ∠DOE 与 ∠BOD 都 是 ∠AOD 的补角, 所以∠BOD=∠DOE=12∠BOE=30°. 13. (1) 因 为 OC 平 分 ∠AOB, ∠AOB=120°, 所 以 ∠AOC= 12 ∠AOB = 1 2 × 120°=60°. 因为∠COD=10°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD= 60°+10°=70°. 因为OE 平分∠AOD, 所 以 ∠DOE= 12 ∠AOD = 1 2 × 70°=35°. (2) 因为 OC 平分∠AOB,OE 平 分∠AOD, 所以∠AOC =12∠AOB ,∠AOE= 1 2∠AOD. 所以∠COE=∠AOC-∠AOE= 1 2∠AOB- 1 2∠AOD. 因为∠COE=x°, 所以1 2∠AOB- 1 2∠AOD=x°. 因为∠BOD=∠AOB-∠AOD, 所 以 1 2 ∠BOD = 1 2 (∠AOB - ∠AOD)=12∠AOB- 1 2∠AOD. 所以1 2∠BOD=x°. 所以∠BOD=2x°. (3) 因为∠COE 与∠BOD 互余, 所以∠COE+∠BOD=90°. 由(2),得∠BOD=2∠COE, 所以∠COE+2∠COE=90°,解得 ∠COE=30°. 所以∠BOD=2×30°=60°. 因为OC平分∠AOB, 所以∠BOC=12∠AOB. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD= 1 2∠AOB-∠BOD= 1 2∠AOB-60°. 因为∠AOB 与∠COD 互补, 所以∠AOB+∠COD=180°. 所以 ∠AOB + 12 ∠AOB -60°= 180°. 所以3 2∠AOB=240°. 所以∠AOB=160°. 专题特训（十一）　线段 与角计算中的数学思想 1. A [解析] 因为 AD=12cm, BC=6cm,所以AB+CD=AD- BC=6cm.因为E,F 分别是AB,CD 的中 点,所 以 BE= 12AB ,CF= 1 2CD. 所以EF=BE+BC+CF= BC + 12 AB + 1 2 CD =BC + 1 2 (AB+CD)=6+12×6=9 (cm). 2. B [解析] 由折叠,可得∠AEF= 1 2∠AEA' ,∠BEG=12∠BEB'. 因 为∠A'EB'=40°,所 以∠AEA'+ ∠BEB' = 140°.所 以 ∠AEF + ∠BEG=12 (∠AEA'+∠BEB')= 1 2×140°=70°. 3. B [解析] 因为MC∶CN=5∶4, 所以设MC=5xcm,则CN=4xcm. 所以 MN=MC+CN=5x+4x= 9x(cm).因为P 是MN 的中点,所以 PN=12MN= 9 2xcm. 因为PC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 PN-CN,所以92x-4x=2 ,解得 x=4.所以9x=36,即MN=36cm. 4. 17° [解析] 设∠BOE=x.因为 ∠BOE=13∠BOC ,所以∠BOC= 3∠BOE = 3x.所 以 ∠AOB = ∠AOC+∠BOC=51°+3x.因 为 ∠BOD=13∠AOB ,所以∠BOD= 1 3 (51°+3x)=17°+x.所 以 ∠DOE=∠BOD-∠BOE=17°+ x-x=17°. 5. 因为AC∶CD∶DB=2∶3∶4, 所以设 AC=2xcm,CD=3xcm, DB=4xcm,则AB=9xcm. 因为E,F 分别为AC,DB 的中点, 所以 EC= 12AC=xcm ,DF= 1 2DB=2xcm. 因为EF=EC+CD+DF, 所以x+3x+2x=48. 所以x=8. 所以9x=72,即AB=72cm. 6. (1) 因为∠DOE=90°, 所以∠DOC+∠COE=90°. 因为∠AOB=180°, 所 以 ∠DOA + ∠BOE =180°- ∠DOE=90°. 因为OD 平分∠AOC, 所以∠DOA=∠DOC. 所以∠COE=∠BOE. 所以OE 是∠BOC的平分线. (2) 因为∠COE=13∠EOB , 所以设∠COE=x,则∠EOB=3x. 因为∠DOE=48°, 所以∠DOC=∠DOE-∠COE= 48°-x. 因为OD 平分∠AOC, 所以∠AOC=2∠DOC=2(48°-x). 因为∠AOC+∠COE+∠EOB= 180°, 所以2(48°-x)+x+3x=180°, 解得x=42°. 所以3x=126°,即∠EOB=126°. 7. 6或8 [解析] 因为B 为CD 的中 点,且AD=9,BD=2,所以AB= AD-BD=7.当点E 在点A 的左侧 时,BE=BA+AE=7+1=8;当点E 在点A 的右侧时,BE=BA-AE= 7-1=6.综上所述,BE 的长为6 或8. 8. 15°或30°或60° [解析] 如图①, 当 OC 平 分 ∠AOB 时,∠AOC= 1 2∠AOB=15° ;如图②,当OA 平分 ∠BOC时,∠AOC=∠AOB=30°;如 图 ③,当 OB 平 分 ∠AOC 时, ∠AOC=2∠AOB=60°.综上所述, ∠AOC的度数为15°或30°或60°. (第8题) 9. (1) 7;1. [解析] 因为点F 到 点A,B 的距离相等,AB=16m, 所以AF=BF= 12×16=8 (m). 因为CF=1m,所以AC =AF - CF=8-1=7(m).因为CE=8m,所 以BE=AB-AC-CE=16-7-8= 1(m). (2) 分三种情况讨论: ① 当点C 在线段BF 上时,如图①. 所以EF=BF+BE. 所以EF-BE=BF=8m. ② 当点C在线段AF 上时,如图②. 所以EF=BF-BE. 所以EF+BE=BF=8m. ③ 当点C在线段BA 的延长线上时, 如图③. 所以EF=BE-BF. 所以BE-EF=BF=8m. 综上所述,BE 与EF 之间的数量关系 为EF-BE=8m或EF+BE=8m 或BE-EF=8m. (第9题) 10. (1) 因为∠COD=90°, ∠EOC=35°, 所以∠EOD=90°-35°=55°. 因为OE 平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠EOD=110°. 所以∠AOD=∠AOB-∠BOD= 150°-110°=40°. (2) 因为∠AOB=150°,∠COD=90°, 所以∠AOC+∠BOD=360°-150°- 90°=120°. 因 为 OF 平 分 ∠AOC,OE 平 分 ∠BOD, 所以∠COF=12∠AOC ,∠DOE= 1 2∠BOD. 所以∠COF+∠DOE=12 (∠AOC+ ∠BOD)=12×120°=60°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 所以∠EOF=∠COF+∠DOE+ ∠COD=60°+90°=150°. (3) 设∠AOC=α. 因为∠AOB=150°,∠COD=90°, 所以 ∠AOD =90°-α,∠BOC = 150°-α. 因为∠AOC与∠BOD 互补, 所以∠AOC+∠BOD=180°. 所 以 ∠AOD + ∠BOC =360°- 180°=180°. 所以90°-α+150°-α=180°. 所以α=30°,即∠AOC=30°. 所以∠BOD=180°-30°=150°. 因为OE 平分∠BOD, 所以∠DOE=∠BOE=12∠BOD=75°. 分两种情况讨论: ① 如图①,当OM,OC 位于OA 的两 侧时. 因为∠COM 是∠AOC的余角, 所以∠COM=90°-30°=60°. 所以∠DOM=∠COD-∠COM= 90°-60°=30°. 所以∠MOE=∠DOM+∠DOE= 30°+75°=105°. ② 如图②,当OM,OC 位于OA 的同 侧时. 因为∠COM 是∠AOC的余角, 所以∠AOM=∠AOC+∠COM=90°. 所以∠BOM=∠AOB-∠AOM= 150°-90°=60°. 所以∠MOE=∠BOM +∠BOE= 60°+75°=135°. 综上 所 述,∠MOE 的 度 数 为105° 或135°. (第10题) 分类讨论思想的主要应用 本章中,需要用到分类讨论思 想的题目一般题干中没有给出图 形,解题时需要根据题意画出示意 图,或题中有动点,需要分多种情 况讨论.主要体现在:① 线段的计 算问题,注意点是位于已知线段上 还是其延长线上;② 角度的计算问 题,注意两个角有无公共部分,若 有公共边,则需考虑另外一组边是 位于公共边的同侧还是异侧. 第6章复习 ［知识体系构建］ 确定 线段 相等 相等 相等 ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] 根据棱锥的特 点,可得九棱锥侧面有9条棱,底面是 九边形,也有9条棱,共有9+9= 18(条)棱.因为n(n≥3且n 为整 数)棱柱有3n条棱,所以3n=18,解 得n=6.所以与九棱锥的棱数相等的 是六棱柱. [跟踪训练] 1. 7 12 7 [解析] 原正方体有6个面,12条棱, 8个顶点.按题图中的方式切去一块 所得的几何体比原来多了一个面,即 这个几何体由7个面围成;棱数没变, 即面与面相交形成12条棱;顶点数少 1个,即棱与棱相交形成7个点. 典例2 两点确定一条直线 [解析] 甲、乙两尺仅有两端重合,已 知甲尺是直的,根据“两点确定一条直 线”可知,乙尺肯定不是直的. [跟踪训练] 2. A→C 两点之间线 段最短 [解析] 根据线段的基本事 实可得答案. 典例3 因为 AE=14AB ,AB= 8cm, 所以AE=14×8=2 (cm). 所以EB=AB-AE=8-2=6(cm). 因为BC=12AB= 1 2×8=4 (cm),D 是BC的中点, 所以BD=12BC= 1 2×4=2 (cm). 所以DE=EB+BD=6+2=8(cm). 借助转化求线段的长 求某条线段的长时,如果这条 线段的长不易直接求,那么我们可 以根据图形的特征,将这条线段转 化为另外几条易求长的线段的和 或差来解决. [跟踪训练] 3. 3 [解析] 因为B, C两点把线段AD 分成2∶4∶3的三 部分,所以CD=13AD. 因为CD= 6cm,所以AD=18cm.因为 M 是 AD 的中点,所以MD=12AD= 1 2× 18=9(cm).所以 MC=MD-CD= 9-6=3(cm). 典例4 30° [解析] 由∠AOD∶ ∠BOC =5∶1,设 ∠BOC =x, ∠AOD = 5x.因 为 ∠AOB = ∠COD =90°,∠AOD + ∠BOC= 360°-∠AOB-∠COD,所以5x+ x=360°-90°-90°,解得x=30°.所 以 ∠BOC =30°.所 以 ∠BOD = ∠BOC+∠COD=30°+90°=120°. 因为OE 平分∠BOD,所以∠BOE= 1 2∠BOD =60°. 所 以 ∠COE = ∠BOE-∠BOC=60°-30°=30°. [跟踪训练] 4. 北偏东70° [解析] 由题 意,得∠APB=180°-30°- 70°=80°.因为PC 平分∠APB,所以 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64