第6章 专题特训十三 角的常用模型-【拔尖特训】2025-2026学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

拔尖特训·数学（浙教版）七年级上 专题特训十三 类型一单角平分线模型 1.如图，点A,O,B在同一条直线上，OM平分 ∠AOC,∠BON:∠CON=1：4.当 ∠AOM=20时，∠BON的度数为() M A (第1题) A.112°B.70°C.28°D.209 2.如图，∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB, 且∠AOC=40°，求∠COD的度数. B D C 0 A (第2题) 3已知∠AOB和∠AOC是同-个平姆 面内的两个角，OD是∠BOC的平 尚 分线. 答案讲解 (1)如图①②，若∠AOB=50°，∠AOC= 70°，分别求出图①、图②中∠AOD的度数. (2)若∠AOB=m°，∠AOC=n°，其中0< m<90,0<n<90,m+n<180且m<n,直 116 角的常用模型 接写出∠AOD的度数（结果用含m,n的代 数式表示). 0 /B ① ② (第3题) 类型二双角平分线模型 4.如图，∠AOB=90°，∠AO℃=60°. (1)∠BOC的度数为 (2)若OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,则 ∠DOE的度数为 (3)在(2)的条件下，若将题目中的“∠AO℃= 60”改成“∠AOC=2a(a<45)”,其他条件 不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请 写出解题过程；若不能，请说明理由， A D 0 (第4题) 类型三三等分角 5.(2024·绍兴越城期末)定义：从角的顶点引 出的两条射线将角分成三个相等的角，则称 这两条射线为角的三等分线.如图，∠AOB 120°，∠B0C=30°.若OM为∠AOB的一条 三等分线，则∠MOC的度数为 —B (第5题) 类型四半角模型 6.如图，以O为端点按顺时针方向依次作射线 OA,OB,OC,OD,OE,且OB是∠AOC的平 分线，OD是∠COE的平分线： (1)若∠AOB=50°，∠DOE=30°，求∠BOD 的度数 (2)若∠AOD=110°，∠BOE=100°，求 ∠AOE的度数. (3)若∠AOD=n°，∠BOE=(150-n)°，求 ∠BOD的度数. (第6题) 第6章图形的初步知识 类型五夹角模型 7.已知OB,OC分别为锐角∠AOD内 部的两条动射线，当OB,O℃运动到 如图①所示的位置时，∠AC+ ∠BOD=100°，∠AOB+∠COD=40°. (1)求∠BOC的度数， (2)如图②，射线OM,ON分别为∠AOB, ∠COD的平分线，求∠MON的度数， (3)如图③，若OE,OF是∠AOD外部的两 条射线，且∠EOB=∠COF=90°，OP平分 ∠EOD,OQ平分∠AOF,当∠BOC绕着点 O旋转时，∠POQ的大小是否发生变化？若 不变，求出其度数；若变化，请说明理由 1 ② ③ (第7题) 117∠DOF)=2∠EOF ②因为∠COF与∠DOE互为补角， 所以∠COF+∠DOE=180°. 所以∠COD+∠DOF+∠DOE 180°，则∠COD+∠EOF=180°. 所以2∠EOF+∠EOF=180°，则 3∠EOF=180. 所以∠EOF=60°. 所以∠COD=2∠EOF=120. 专题特训十三角的 常用模型 1.C解析：因为OM平分∠AOC, ∠AOM=20°，所以∠AOC=2× 20°=40°.所以∠C0B=180°-40°= 140°.因为∠BON:∠CON=1:4, 所以∠B0N=140X号=28 2.因为∠AOC=40°，∠B0C=2∠AOC, 所以∠BOC=80° 所以∠AOB=∠BOC+∠AOC=120°， 因为OD平分∠AOB, 所以∠A0D=∠AOB=60 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20. 3.(1)题图①中，∠B0C=∠AOC ∠AOB=70°-50°=20 因为OD是∠BOC的平分线， 1 所以∠COD=2∠B0C=10. 所以∠AOD=∠AOC-∠COD=60°. 题图②中，∠BOC=∠AOC+ ∠AOB=70°+50°=120°. 因为OD是∠BOC的平分线， 所以∠BOD=2∠B0C=60 所以∠AOD=∠BOD-∠AOB=10°. (2)当OB在∠AOC的内部时， ∠A0D-(): 当OB在∠AOC的外部时，∠AOD 2） 4.(1)150°.解析：因为∠AOB= 90°，∠AOC=60°，所以∠BOC ∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°. (2)45.解析：因为OD平分 ∠BOC,OE平分∠AOC,所以 1 ∠COD=2∠B0C=75,∠COE= ∠A0C=30.所以∠D0E= 1 ∠COD-∠COE=45. (3)能. 因为∠AOB=90°，∠AOC=2a, 所以∠BOC=90°+2a. 因为OD平分∠BOC,OE平分 ∠AOC, 1 所以∠COD=2∠B0C=45°+a, 1 ∠C0E=2∠A0C=a. 所以∠DOE=∠COD-∠COE=45°. 5.50°或10°解析：分两种情况讨 论：如图①，当∠AOM=3∠AOB 时，∠BOM= 2 ∠AOB.因为 ∠A0B=120,所以∠B0M=号× 120°=80°.因为∠BO℃=30°，所以 ∠MOC=∠BOM-∠BOC=50°.如 图②，当∠OM=子∠A0B时，因为 ∠AOB=120°，所以∠BOM= 日∠A0B=日×12m=40,因为 ∠BOC=30°，所以∠MOC= ∠BOM-∠BOC=10°.综上所述， ∠MOC的度数为50或10°. ① 0 -B ② (第5题) 6.(1)因为OB是∠AOC的平分线， 所以∠BOC=∠AOB=50°. 因为OD是∠COE的平分线， 42 所以∠COD=∠DOE=30°. 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=80°， (2)因为OB平分∠AOC,OD平 分∠COE, 所以∠AOB=∠BOC,∠DOE= ∠COD. 设∠DOE=∠COD=x. 因为∠BOE=100°， 所以∠AOB=∠BOC=(100-2x)°. 因为∠COD+∠BOC+∠AOB= ∠AOD=110°， 所以x+100-2x+100-2.x=110, 解得x=30,即∠DOE=∠COD=30°. 所以∠AOE=∠AOD+∠DOE= 110°+30°=140. (3)设∠EOD=∠DOC=x°， ∠AOB=∠BOC=y°. 依题意可知，x°十y°十y°=n°，x°十 x°+y°=(150-n)°，则3x°+ 3y°=150°， 所以x°+y°=50°. 所以∠BOD=50. 7.(1)因为∠AOC+∠BOD=100°， 所以∠AOC+∠COD+∠BOC= 100°，即∠AOD+∠BOC=100①. 因为∠AOB+∠COD=40°， 所以∠AOD-∠BOC=40②. ①+②，得2∠AOD=140°， 所以∠AOD=70. 所以∠B0C=∠AOD-40°=30°. (2)因为射线OM,ON分别为 ∠AOB,∠COD的平分线， 1 所以∠CON=2∠COD,∠BOM= 2∠AOB. 所以∠MON=∠CON+∠BOM+ ∠0C=2(∠cOD+∠A0B)+ ∠0c-7×4+30=50 (3)∠POQ的大小不变. 因为OP平分∠EOD,OQ平分∠AOF, 所以∠POD=7∠BOD,∠A00 7∠A0. 因为OE,OF是∠AOD外部的两条 射线，∠EOB=∠COF=90°， 所以∠POQ=∠AOD+∠POD+ ∠ACQ=∠AOD+(∠ROD+ ∠AOF)=∠AOD+2(∠EBOB ∠BOD+∠COF-∠AOC)= 1 ∠AOD+ ,[(90°+90) (∠B0D+∠AOC]=70°+2× (180°-100°)=110°. 专题特训十四线段与角 计算中的数学思想 1.A解析：因为AD=12cm,BC 6cm,所以AB+CD=AD-BC= 6cm.因为E,F分别是AB,CD的中 点，所以BE=7AB,CP=CD.所以 EF-BE+BC+CF-BC+AB+ 2CD=BC+(AB+CD)=6+ 号x6=9m 2.C解析：因为边OD平分∠AOB, 边OE平分∠BOC,所以∠BOD= ∠AOB,∠BOE=7∠B0C.所以 1 ∠BOD=Z∠A0B+7∠BOC- 2∠A0C.因为∠B0D=60,所以 ∠A0℃=2×60°=120°. 3.B解析：因为MC:CN=5:4, 所以设MC=5.xcm,则CN=4xcm. 所以MN=MC+CN=9.xcm.因为 P是MN的中点，所以PN=合MN= xcm.因为PC=PV-CN,所以 9 2x-4红=2，解得x=4.所以9x= 36,即MN=36cm. 4.120°解析：设∠AOB=x.因为 ∠AOB=2 ∠BOC,∠COD= ∠AOD=3∠AOB,所以∠BOC=2x, ∠COD=∠AOD=3.x.因为∠AOB+ ∠BO0C+∠COD+∠AOD=360°，所 以x十2x十3.x十3x=360°.所以x= 40°.所以∠COD=3.x=120°. 5.因为AC:CD:DB=2:3:4, 所以设AC=2.xcm,CD=3xcm, DB=4xcm,则AB=9xcm. 因为E,F分别为AC,DB的中点， 所以EBC=专AC=xcm,DF= 1 2DB=2x cm. 因为EF=EC+CD+DF, 所以x+3.x+2.x=48. 所以x=8. 所以9x=72,即AB=72cm. 6.(1)10. (2)因为∠AOC：∠BOD=3:2, 所以设∠AOC=3.x,则∠BOD=2x. 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠BOC=∠AOC=3.x. 所以∠COD=∠BOC一∠BOD= 3x-2.x=20° 所以x=20°」 所以∠AOC=60°. (3)∠AOD=2∠COE. 理由：因为OE是∠BOD的平分线， 所以∠DOE=?∠BOD. 所以∠COE=∠COD+∠DOE= ∠00D+2∠0D. 因为OC是∠AOB的平分线， 所以∠BOC=∠AOC. 所以∠AOD=∠AOC+∠COD= ∠BOC+∠COD=∠BOD+ 2∠COD=2∠DOE+2∠COD. 所以∠AOD=2∠COE. 7.6或8解析：因为B为CD的中 点，且AD=9,BD=2,所以AB= AD-BD=7.当点E在点A的左侧 43 时，BE=BA+AE=7+1=8:当点E 在点A的右侧时，BE=BA一AE= 7一1=6.综上所述，BE的长为6 或8. 8.20°或90°解析：当OA在∠BOC 的内部时，如图①.因为∠AOB=70°， ∠BOC与∠AOB互补，所以∠BOC= 110°.因为OF平分∠AOB,OE平分 ∠B0C,所以∠BOF=合∠AOB= 35,∠B0E=2∠B0C=55.所以 ∠EOF=∠BOE-∠BOF=20°.当 OA在∠BOC的外部时，如图②.因 为∠AOB=70°，∠BOC与∠AOB互 补，所以∠BOC=110.因为OF平分 ∠AOB,OE平分∠BOC,所以 ∠BOF=2∠A0B=35,∠B0E= 2∠B0C=55.所以∠EOF= ∠BOE+∠BOF=90°.综上所述， ∠EOF的度数为20或90°. E 0 ① C 0 A ② (第8题) 9.(1)7:1.解析：因为点F到 点A,B的距离相等，AB=16m, 1 所以AF=BF=2X16=8(m), 因为CF=1m,所以AC=AF CF=8-1=7(m).因为CE=8m,所 BE=AB-AC-CE=16-7-8= 1(m). (2)分三种情况讨论： ①当点C在线段BF上时，如图①. 所以EF=BF+BE. 所以EF-BE=BF=8m.