2.2 轴对称的性质-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

28 2.2　轴对称的性质 ▶ “答案与解析”见P14 1. 如图,风筝的图案是以直线AF 为对称轴的 轴对称图形.下列结论不一定成立的是( ) A. AF 垂直平分线段EG B. BC∥EG C. 若连接BG、CE,则其交点在AF 上 D. AB∥DE,AC∥DG (第1题) (第2题) 2. 如图,∠AOB 内有一点P,P1、P2 分别是点 P 关于OA、OB 的对称点,P1P2交OA 于点 M,交 OB 于 点 N.若△PMN 的 周 长 是 6cm,则P1P2的长为 ( ) A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm 3. 如图,将长方形纸片的一角斜折,使顶点A 落在点A'处,EF 为折痕,再将另一角斜折, 使顶点B 落在EA'上的点B'处,折痕为EG, 则EG 与EF 的位置关系是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,在长方形ABCD 中,AD∥CB,将长方 形ABCD 沿EF 折叠,C、D 两点分别与C'、 D'两点对应.若∠1=2∠2,则∠AEF 的度数 为 . 5. 如图,方格纸上画有AB、CD 两条线段,请按 要求分别作图. (1) 在图①中画出线段AB 关于CD 所在直 线对称的线段A'B'. (2) 在图②中添一条线段,使图中的3条线 段组成一个轴对称图形,画出所有的情形. (第5题) 6. (易错题)如图①②③所示为三名同学的折纸 示意图,则AD 依次是△ABC 的 ( ) (第6题) A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 如图,△ABE、△ADC 分别是△ABC 关于边 AB、AC 所在的直线对称的图形.若∠1∶ ∠2∶∠3=7∶2∶1,则∠α的度数为 ( ) A. 90° B. 108° C. 110° D. 126° (第7题) (第8题) 8. 如图,在四边形ABCD 中,请在所给的图形 中进行操作:① 作点A 关于BD 的对称点 P;② 作射线PC 交BD 于点Q;③ 连接 AQ.试用所作图形进行判断,下列说法中,正 确的是 ( ) A. ∠PCB=∠AQB B. ∠PCB<∠AQB C. ∠PCB>∠AQB D. 以上三种情况都有可能 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 29 9. 如图,在△ABC 中,D、E 分别为边BC、AC 上的点,将△CDE 沿DE 翻折得到△C'DE, 且C'D∥AB,C'D 交AC 于点G.若∠A= 75°,∠C =45°,则 ∠C'EA 的 度 数 为 . (第9题) (第10题) 10. 如图,点P 在△ABC 的内部,且PB=3, M、N 分别为点P 关于直线AB、BC 的对 称点.若 MN =6,则∠ABC 的 度 数 为 . 11. 如图所示为由两个涂色的小正方形组成的 图形,若在空白网格中补画一个涂色的小正 方形,使补画后的三个涂色图形为轴对称图 形,则共有 种画法. (第11题) 12. 如图,直线AD 和CE 是△ABC 的两条对 称轴,AD 和CE 相交于点O,则OE 与OD 之间有何数量关系? 请说明理由. (第12题) 答案讲解 13. 如 图,在△ABC 中,∠B=40°, ∠C=30°,D 为边BC 上一点,将 △ADC 沿直线AD 折叠后,点C 落到点E 处.若DE∥AB,则∠DAE 的度 数为 . (第13题) 14. 如图,△ABC 与△A'B'C'关于直线MN 对 称,△A'B'C'与△A″B″C″关于直线EF 对称. (1) 画出△ABC 和直线EF. (2) 若直线 MN 和EF 相交于点O,连接 BO、B″O,直线MN、EF 所夹的锐角为∠α, 试猜想∠BOB″与∠α之间的数量关系,并 说明理由. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形 现所有的图形都是轴对称图形,而且 这些图形的右半边分别是数字1~7, 故画一个轴对称图形且右半边为数字 6即可. 没有找到图形的整体特征 解答这类寻找一组图形中所 蕴含的内在规律问题时,需要对图 形进行整体分析,先把握其特征是 轴对称图形,再横向分析各图形之 间变化的内在联系,最后运用它们 的特征补全空白处的图形即可. 12. 答案不唯一,如图①②③所示. (第12题) 13. 答案不唯一,如 (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (3) 如图③所示. (第13题) 14. 3 [解析] 如图,按图中白棋子的 位置跳行步数最少,∴ 跳行的最少步 数为3. (第14题) 15. (1) ∵ ∠PAD=32°,∠PAD= ∠BAE, ∠PAD + ∠PAB + ∠BAE=180°, ∴ ∠PAB=180°-32°-32°=116°. (2) BC∥PA. 理由:∵ ∠PAD=∠BAE,∠PAB= 180°-∠PAD-∠BAE, ∴ ∠PAB=180°-2∠BAE. 同理,可得∠ABC=180°-2∠ABE. ∵ ∠BAE+∠ABE=90°, ∴ ∠PAB + ∠ABC = 360° - 2(∠BAE+∠ABE)=180°. ∴ BC∥PA. 2.2　轴对称的性质 1. D 2. A 3. EG⊥EF 4. 108° 5. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (第5题) 6. C 7. B [解析] 由题意,可设∠1=7x, ∠2=2x,∠3=x.由∠1+∠2+ ∠3=180°,得7x+2x+x=180°,解 得x=18°.∴ ∠1=7×18°=126°, ∠2=2×18°=36°,∠3=1×18°= 18°.由轴对称的性质,知∠DCA= ∠E=∠3=18°,∠CDA=∠EBA= ∠2=36°.∴ ∠EBC=72°,∠DCB= 36°.∴ ∠α= ∠EBC+ ∠DCB = 108°. 8. C [解析] 如图,∵ 点A、P 关于 BD 对 称,∴ ∠AQB = ∠PQB. ∵ ∠PCB> ∠PQB,∴ ∠PCB > ∠AQB. (第8题) 9. 30° [解 析] ∵ C'D ∥AB, ∴ ∠DGE=∠A=75°.由折叠的性 质,可 知 ∠C' = ∠C = 45°, ∴ ∠C'EA=∠DGE-∠C'=75°- 45°=30°. 10. 90° [解析] 如图,连接BM、BN. ∵ 点P、M 关于AB 对称,点P、N 关 于BC对称,∴ ∠PBA=12∠PBM , ∠PBC= 12 ∠PBN ,PB=BM = BN=3.∵ MN=6,∴ M、B、N 三点 共线.∴ ∠MBN=180°.∴ ∠ABC= 1 2∠PBM+ 1 2∠PBN= 1 2 (∠PBM+ ∠PBN)=90°. (第10题) 11. 5 12. OE=OD. 理由:∵ 直线AD 和CE 是△ABC的 两条对称轴, ∴ AB=AC,AC=BC,CD=BD= 1 2BC ,AE=BE=12AB ,AD⊥BC, CE⊥AB. ∴ AB=BC,∠AEO=∠CDO=90°. ∴ AE=CD. 在△AOE 和△COD 中, ∠AOE=∠COD, ∠AEO=∠CDO, AE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌△COD. ∴ OE=OD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 13. 40° [解析] ∵ △ADC 沿直线 AD 折叠后,点C 落到点E 处,∠C= 30°,∴ ∠DAE=∠DAC=12∠EAC , ∠E = ∠C =30°.∵ DE ∥AB, ∴ ∠BAE=∠E=30°.∵ ∠B=40°, ∠C + ∠B + ∠BAE + ∠EAC = 180°,∴ ∠EAC=180°-30°-30°- 40°=80°.∴ ∠DAE=12∠EAC=40°. 14. (1) 如图所示. (2) ∠BOB″=2∠α. 理由:如图,连接B'O. ∵ △ABC与△A'B'C'关于直线MN 对称, ∴ ∠BOM=∠B'OM. 又∵ △A'B'C'与△A″B″C″关于直线 EF 对称, ∴ ∠B'OE=∠B″OE. ∴ ∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+ ∠B'OE+ ∠B″OE=2(∠B'OM + ∠B'OE)=2∠MOE=2∠α, 即∠BOB″=2∠α. (第14题) 2.3　设计轴对称图案 1. C 2. C 3. 4 4. 3 5. 答案不唯一,如图所示. 一副吊环. (第5题) 6. C 7. B [解析] 如图,符合题意的画法 有4种. (第7题) 8. 4 [解析] 如图,分别以田字格的 两条对角线 AB、EF 所在直线及 MN、CH 所在直线为对称轴,作轴对 称图形,则△ANB、△ABM、△EHF、 △EFC都是符合题意的三角形,共有 4个. (第8题) 9. 3 [解析] 如图,n的最小值为3. (第9题) 10. (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (3) 如图③所示. (第10题) 11. 答案不唯一,如 (1) 如图①所示. (2) 如图②所示. (第11题) 12. (1) 4 [解析] 如图①~④所示, 这样的添法共有4种. (2) 13 [解析] 如图⑤~􀃊􀁉􀁙所示,这 样的移法一共有13种. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51