专题特训(十)一元一次方程的设元技巧-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

92 　　　 专题特训（十）　一元一次方程的设元技巧 ▶ “答案与解析”见P35 类型一 直接设元法 1. 某校七年级一班的学生开展分小组学习竞赛 活动.原来每个小组有8人,后来重新分组, 每个小组有6人,这样比原来增加2个小组, 则七年级一班的学生共有 ( ) A. 24人 B. 30人 C. 48人 D. 50人 2. 从一个蓄水池中抽水,甲抽水机单独抽要 12小时抽完,乙抽水机单独抽要15小时抽 完,丙抽水机单独抽要20小时抽完.若甲、丙 先合抽3小时后乙再加入,则距离抽完水 还有 ( ) A. 3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 7小时 3. 在一次实践操作中,小丁把两根长为20cm 的竹签绑接成一根35cm长的竹签,则重叠 部分的长度为 cm. 4. 某班有40名学生,会骑车的人数是会游泳人 数的3.5倍,两种都会的有8人,两种都不会 的有3人,则只会游泳的有 人. 5. 在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾 客的讨价还价声:“10元一个的玩具打八 折!”“能不能再便宜2元?”如果小贩真的便 宜2元卖了,他还能获利20%,求这个玩具的 进价. 类型二 间接设元法 答案讲解 6. 如图,在一块展示牌上整齐地贴着 许多卡片,这些卡片的大小相同,卡 片之间露出了三块正方形空白(图 中阴影部分).小明想要配三张正方形图片来 填补空白,若卡片短边的长是12厘米,则要 配边长为多少厘米的正方形图片? (第6题) 7. 某政府准备修建一条公路,若由甲工程队单 独修建需3个月完成,每月耗资120万元;若 由乙工程队单独修建需6个月完成,每月耗 资50万元.现由甲工程队先做一段时间,剩 下的由乙工程队单独完成,一共用了4个月 完成修建任务,则这样安排共耗资多少万元 (时间按整月计算)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 93 类型三 直接设、间接设均可 8. 轮船在静水中的航行速度为25km/h,水流 速度为5km/h,从甲码头顺流航行到乙码 头,再返回甲码头,共用6h(不计停留时间), 求甲、乙两码头之间的距离. 类型四 比例的特殊设法 9. 甲、乙两车从相距250千米的两地同时出发, 相向而行,2小时后相遇,甲车的速度与乙车 的速度比是2∶3.求甲、乙两车的速度. 类型五 求部分,设整体 10. 元旦联欢会期间,王老师买了很多水果,其 中有苹果、梨、柚子.柚子的个数为水果总数 的1 4 ,梨的个数为水果总数的1 5 ,柚子的个 数比苹果的个数少12,则王老师三种水果 各买了多少个? 类型六 整体设元法 11. ★一个六位数,其最左边一位的数字是1,若 把这个数字移到最右边,则所得的六位数就 是原数的3倍,求原来的这个六位数. 类型七 巧设辅助元 答案讲解 12. 某中学举行数学竞赛选拔,淘汰所 有参赛者的四分之一.已知选拔赛 的最低分数线比所有参赛者的平 均分少2分,比被选中的参赛者的平均分少 11分,并且等于被淘汰参赛者的平均分的 2倍,则选拔赛的最低分数线是多少分? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程 优惠,则应付900元. 11. 设喜欢足球的人数为x,则喜欢 篮球的人数为x-5. 根据题意,得18+x+(x-5)-43= 120,解得x=75. 所以喜欢足球的人数为75. 12. (1) 设甲种文具每件的进价为 x元,则乙种文具每件的进价为(x+ 20)元. 由题意,得7x+2(x+20)=760,解得 x=80. 所以x+20=80+20=100. 所以甲种文具每件的进价为80元,乙 种文具每件的进价为100元. (2) 设该商场从厂家购进甲种文具 y件,则购进乙种文具(50-y)件. 由题 意,得80y+100(50-y)= 4400,解得y=30. 所以50-y=50-30=20. 所以该商场从厂家购进甲种文具 30件,购进乙种文具20件. 设每件乙种文具的售价为m 元. 由题意,得30×(100-80)+20(m- 100)=4400×30%,解得m=136. 所以每件乙种文具的售价为136元. 13. (1) 设会下围棋的学生有x 人, 则会下象棋的学生有(x+7)人. 根据题意,得x+x+7-30=50-1, 解得x=36. 所以会下围棋的学生有36人. (2) 由(1)可知,x+7-30=36+7- 30=13, 所以只会下象棋不会下围棋的学生有 13人. 专题特训（九）　一元一次 方程的实际应用 1. B [解析] 设最开始来的客人人 数为x.根据题意,得 x- 12x- 1 3 x- 1 2x =6,解得x=18.所以 最开始来的客人人数为18. 2. 设甲车间原计划每月生产x 个零 件,则 乙 车 间 原 计 划 每 月 生 产 (3600-x)个零件. 根据题意,得(1+12%)x+(1+ 10%)(3600-x)=4000,解得x= 2000. 所以(1+12%)x=(1+12%)× 2000=2240. 所以甲车间上个月实际生产2240个 零件. 3. 48 [解析] 设这个两位数十位上 的数字为x,则个位上的数字为x+ 4.由题意,得10x+(x+4)=4[x+ (x+4)],解得x=4.所以10x+(x+ 4)=10×4+(4+4)=48.所以这个两 位数为48. 4. 10 [解析] 设最小的数是x.根据 题意,得x+x+2+x+7+x+9+ x+15=53,解得x=4.所以x+x+ 2=10,即它们中最小的两个数的和 是10. 5. (1) 设中间一天的日期为该月的 x号. 由题意,得(x-1)+x+(x+1)=39, 解得x=13. 所以这三天分别是该月的12号, 13号,14号. (2) 设中间一个周六的日期为y号, 则其前一周周六的日期为(y-7)号, 后一周周六的日期为(y+7)号, 由题意,得(y-7)+y+(y+7)=39, 解得y=13. 所以 这 三 天 分 别 为 该 月 的6号, 13号,20号. 6. 18 [解析] 设哥哥现在的年龄是 x岁,则3年前哥哥的年龄是(x- 3)岁,2年后哥哥的年龄是(x+2)岁. 由题意,得x+2 2 = x-3 3 +5 ,解得x= 18.所以哥哥现在的年龄是18岁. 7. 设妹妹现在的年龄为x岁,则哥哥 现在的年龄为(18-x)岁. 根据题意,得3(x+2)+(18-x+ 2)=36+2,解得x=6. 所以18-x=18-6=12. 所以哥哥现在的年龄为12岁,妹妹现 在的年龄为6岁. 8. (1) 1. [解析] 由题表可知,钢铁 队的负场场次为14,共积14分,故负 一场积1分. (2) 设胜一场积x分. 根据题意,得10x+4×1=24, 解得x=2. 所以胜一场积2分. (3) 设该队胜了y 场,则负了(14- y)场. 根据题意,得2y=3(14-y)+3, 解得y=9. 所以该队胜了9场. 9. (1) 因为500<950<1000, 所以此人报销所得金额是(950- 500)×60%=270(元). (2) 设此人住院的医疗费是y元. 若住院的医疗费是1000元,则报销 所得金额是(1000-500)×60%= 300(元), 若住院的医疗费是3000元,则报销 所得金额是(1000-500)×60%+ (3000-1000)×80%=1900(元). 因为300<1580<1900, 所以1000<y<3000. 所以(1000-500)×60%+(y- 1000)×80%=1580, 解得y=2600. 所以此人住院的医疗费是2600元. 专题特训（十）　一元一次 方程的设元技巧 1. C [解析] 设七年级一班的学生 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 共有x 人.根据题意,得x8+2= x 6 , 解得x=48.所以七年级一班的学生 共有48人. 2. A [解析] 设距离抽完水还有 x小 时.由 题 意,得x+312 + x 15+ x+3 20 =1 ,解得x=3.所以距离抽完 水还有3小时. 3. 5 [解析] 设重叠部分的长度为 xcm.由题意,得20×2-x=35,解得 x=5.所以重叠部分的长度为5cm. 4. 10 [解析] 设只会游泳的 有 x人.由题意,得x+3.5x-8+3= 40,解得x=10.所以只会游泳的有 10人. 5. 设这个玩具的进价是x元. 根据题意,得x×20%=10×0.8- 2-x,解得x=5. 所以这个玩具的进价为5元. 6. 设卡片长边的长是 x厘米. 由题意,得5x=3(x+12),解得 x=18. 所以要配边长为18-12=6(厘米)的 正方形图片. 7. 设甲工程队做了x个月,则乙工程 队做了(4-x)个月. 根据题意,得x 3+ 4-x 6 =1 , 解得x=2. 所以4-x=2. 所以这样安排共耗资120×2+50× 2=340(万元). 8. 方法一(直接设):设甲、乙两码头 之间的距离为xkm. 根据题意,得 x 25+5+ x 25-5=6 , 解得x=72. 所以 甲、乙 两 码 头 之 间 的 距 离 为 72km. 方法二(间接设):设顺流时间为yh, 则逆流时间为(6-y)h. 根据题意,得(25+5)y=(25-5)× (6-y),解得y=2.4. 所以(25+5)y=(25+5)×2.4=72. 所以 甲、乙 两 码 头 之 间 的 距 离 为 72km. 9. 设甲车的速度为2x千米/时, 则乙车的速度为3x千米/时. 根据题意,得2×2x+2×3x=250, 解得x=25. 所以2x=2×25=50,3x=3× 25=75. 所以甲车的速度为50千米/时,乙车 的速度为75千米/时. 10. 设王老师共买水果x个. 由题意,得1 4x+ 1 5x+ 1 4x+12= x,解得x=40. 所以1 4x=10 ,1 5x=8 ,1 4x+12=22. 所以王老师柚子买了10个,梨买了 8个,苹果买了22个. 11. 设后五位是x,则这个六位数为 100000+x,新的六位数可表示为 10x+1. 根据题意,得3(100000+x)=10x+ 1,解得x=42857. 所以原来的这个六位数是142857. 整体设元构造方程 有些应用题未知量太多而已 知关系又太少,无法直接设元求 解,可考虑整体设元,这样就减少 了所设元的个数,便于求解. 12. 设选拔赛的最低分数线为x 分, 则所有参赛者的平均分为(x+2)分, 被选中的参赛者的平均分为(x+ 11)分,被淘汰参赛者的平均分为 1 2x 分. 设被淘汰的参赛者人数为m,则所有 参赛者人数为4m,被选中的参赛者人 数为4m-m=3m. 根据题意,得3m(x+11)+m· 1 2x=4m (x+2). 因为m≠0, 所以根据等式的性质2,两边都除以 m,得3(x+11)+12x=4 (x+2),解 得x=50. 所以选拔赛的最低分数线为50分. 第5章复习 ［知识体系构建］ b±c bc bc 一次 ［高频考点突破］ 典例1 B [解析] 对于A,当c≠ 0时,等式两边加上不同的数后等式 不成立,故A不符合题意;对于B,等 式两边都乘c,等式仍成立,故B符合 题意;对于C,当c=0时,等式两边都 除以c无意义,故C不符合题意;对于 D,等式两边都乘6c,可得3x=2y,故 D不符合题意. [跟踪训练] 1. ①③④ [解析] 若-2a=-3,则a=32 ,故 ②错误.易知①③④正确. 典例2 C [解析] 因为x=2是关 于x 的一元一次方程mx-n=3的 解,所以2m-n=3.所以1+4m- 2n=1+2(2m-n)=1+2×3=7. [跟踪训练] 2. 3 [解析] 因为关于 x的一元一次方程3x+2a=2(x- b)的解是x=-6,所以3×(-6)+ 2a=2(-6-b),即2a+2b=6.所以 a+b=3. 典例3 (1) 去分母,得4(2x-1)- (10x+1)=3(2x+1)-12. 去括号,得8x-4-10x-1=6x+ 3-12. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63