专题特训(三)有理数的新定义专题应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

2.7　近 似 数 1. A 2. C 3. (1) 百分 (2) 万分 (3) 百 4. (1) -28.11. (2) 22.68. (3) -5×104. (4) 81.54. 5. D [解析] 105 表示十万,则在 1.36×105 中,1在十万位上,3在万 位上,6在千位上,故这个近似数精确 到千位. 难以根据近似数确定 精确度位数 用科学记数法表示的近似数 a×10n,精确度由a的末位数字还 原后所在的数位决定;当近似数带 有计数单位时,精确度也由近似数 的末 位 数 字 还 原 后 所 在 的 数 位 决定. 6. D [解析] 近似数3.6精确到十 分位,近似数3.60精确到百分位,则 两数的精确度不同,故选项A错误; 数2.9954精确到百分位为3.00,故 选项B错误;近似数1.3×104精确到 千位,近似数13400精确到个位,则 两数精确到的数位不相同,故选项 C错误;近似数3.61亿精确到百万 位,故选项D正确. 7. 千分 [解析] 将近似数15.6%化 为小数,得0.156,即精确到千分位. 8. 千分 [解析] 易知9.83s都是精 确到0.01s的结果,此时无法评判两 人的成绩,故需至少将两人的成绩精 确到0.001s,即精确到千分位,才可 能分出名次. 9. 300000000×365×24×60×60÷ 1000=9460800000000≈9.46× 1012(千米), 所以1光年约为9.46×1012千米. 专题特训（三）　有理数的 新定义专题应用 1. C [解析] 由题意,得100!= 100×99×…×3×2×1,98!=98× 97×…×3×2×1,所 以100 ! 98! = 100×99×…×3×2×1 98×97×…×3×2×1=100×99= 9900. 2. -32 [解析] 因为a△b=1a÷ -2b ,所以(-3△4)△2= -13÷ -24 △2 = 23△2 = 32 ÷ -22 =-32. 3. 120 [解析] 根据题意,得Cnm= m×(m-1)×…×(m-n+1) 1×2×…×n (n≤ m,m,n 为 正 整 数),所 以 C710 = 10×9×8×7×6×5×4 1×2×3×4×5×6×7=120. 4. (1) 由题意,可得(-3)⊗4= (-3)×4-(-3)+4=-12+3+ 4=-5. (2) 由题意,可得[5⊗(-2)]⊗3= [5×(-2)-5+(-2)]⊗3=(-10- 5-2)⊗3=(-17)⊗3=(-17)×3- (-17)+3=-51+17+3=-31. 5. (1) (-3)*(-2)=(-3+1)× (-2+1)=(-2)×(-1)=2, (-2)*(-3)=(-2+1)×(-3+ 1)=(-1)×(-2)=2,所以(-3)* (-2)=(-2)*(-3),此运算满足交 换律. (2) [(-4)*(-3)]*(-2)= [(-4+1)×(-3+1)]*(-2)=6* (-2)=(6+1)×(-2+1)=-7, (-4)*[(-3)*(-2)]=(-4)* [(-3+1)×(-2+1)]=(-4)*2= (-4+1)×(2+1)=(-3)×3=-9, 所以[(-4)*(-3)]*(-2)≠ (-4)*[(-3)*(-2)],此运算不满 足结合律. 6. C [解析] 因为 F(a+b)= F(a)×F(b),且F(2)=5,F(4)= 52,F(6)=53,…,所以F(2n)=5n. 因 为 2024÷2=1012,所 以 F(2024)=51012. 7. D [解析] 因为a1=4,所以由“奇 特数”的定义,得a2= 2 2-4=-1 , a3= 2 2-(-1)= 2 3 ,a4= 2 2-23 = 3 2 ,a5= 2 2-32 =4,….由此可以发 现,这些数以4,-1,23 ,3 2 为一组循 环出现.因为2024÷4=506,所以 a2024=a4= 3 2. 8. 根据题意,得原式= 14-12+ 1 6 ×(-2-1.5+1.5-6)= 1 4- 1 2+ 1 6 × (-8)= 14 × (-8)-12× (-8)+16× (-8)= -2+4-43= 2 3. 9. (1) 根据题意,得2+4+6+8+ 10+…+100=∑ 50 n=1 2n. (2) 1+12+ 1 3+ …+110=∑ 10 n=1 1 n. (3) 原式=(1-1)+(4-1)+(9- 1)+(16-1)+(25-1)+(36- 1)=85. 10. 2021 [解析] 因为3×83+7× 82+4×81+5×1=1536+448+32+ 5=2021,所以八进制中的3745换算 成十进制是2021. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 11. 因为23=3+5,“分裂”出的第一 个数是3,3=2×1+1,33=7+9+ 11,“分裂”出的第一个数是7,7=3× 2+1,43=13+15+17+19,“分裂”出 的第一个数是13,13=4×3+1,…, 所以n3“分裂”出的第一个数是n× (n-1)+1. 所以63“分裂”出的第一个数是6× 5+1=31. 所以易得63“分裂”出的奇数中,最大 的奇数是31+2×(6-1)=41. 第2章复习 ［知识体系构建］ 相反数 1 倒数 乘方 乘除 加减 括号里的运算 ［高频考点突破］ 典例1 C [解析] -3+(-2)= -5,3-(-2)=3+2=5,3× (-2)=-6,(-3)÷(-2)=1.5.因 为-6<-5<1.5<5,所以计算结果 最小的是3×(-2). [跟踪训练] 1. D [解析] 0- 3=-3,-42+3=-16+3=-13, -4×0=0,-|-15|÷(-3)= -15÷(-3)=5.因为-13<-3< 0<5,所 以 计 算 结 果 最 大 的 是 -|-15|÷(-3). 典例2 C [解析] 6456.76万= 64567600=6.45676×107 ≈ 6.46×107. [跟踪训练] 2. D [解析] 近似数 0.780精确到千分位,故选项A错误; 近似数30万精确到万位,故选项B错 误;近似数3.076×104 精确到十位, 故选项C错误;279500的千位上的数 字为9,将279500精确到千位为 2.80×105,故选项D正确. 典例3 (1) 原式=94× - 3 2 - 4 9- 1 2 ÷ - 1 4 =-278 - 49 + 2=-13172. (2) 原式=196× 22 7- 22 3 ×619× 21 22= 19 6× 6 19 × 227-223 ×2122= 1× 227× 21 22- 22 3× 21 22 =3-7=-4. (3) 原式=263÷ - 29 10 ― ―323 ÷ -2910 + 293 ÷ -2910 = 263 × -1029 ― ―323 × -1029 +293× -1029 = -1029 × 263 - -323 +293 =-1029×29=-10. 进行有理数的混合运算 要过三关 (1) 顺序关:先判断是否含括 号,若不含括号,则按照先乘方,再 乘除,最后加减的顺序进行计算; 若含括号,则按照先算小括号内 的,再算中括号内的,最后算大括 号内的顺序进行计算. (2) 转化关:除法转化为乘法; 在乘除运算中,小数转化为分数, 带分数转化为假分数. (3) 简算关:合理地使用运算 律,不仅可以化繁为简,还可以保 证运算正确、迅速. [跟踪训练] 3. (1) 原式=1+130- 1 3- 3 10 =1+130-130=1. (2) 原式 =-32× -35 2 -2519× 19 43+ 4 5 2 =-32× 925-4319× 19 43+ 16 25 =-32× 925+1625-1 = -32×0=0. 典例4 0 [解析] 由81=8,82=64, 83=512,84=4096,85=32768,86= 262144……发现8n 的个位数字的规 律是8,4,2,6四个数字为一组循环. 因为81 的个位数字是8,81,82 的个 位数字的和是8+4=12,即81+82的 个位数字是2,同理,可得81+82+ 83 的个位数字是4,81+82+83+ 84 的个位数字是0,81+82+83+ 84+85 的个位数字是8,所以81+ 82+83+84+…+8n 的个位数字的规 律是8,2,4,0四个数字为一组循环. 因为2024÷4=506,所以81+82+ 83+84+…+82024的个位数字是0. [跟踪训练] 4. D [解析] 因为 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32, 26=64,27=128,28=256,…,所以末 尾数字每4个循环一次.因为2024÷4= 506,所以21+22+23+24+25+…+ 22024 的末位数字与21+22+23+ 24的末位数字相同.因为21=2,22= 4,23=8,24=16,所以21+22+23+ 24的末位数字是0.所以21+22+ 23+24+25+…+22024 的末位数字 是0. 典例5 根据题意,得25+[(15.8- 20)÷(-0.7)]×100=625(m), 所以玉女峰的海拔约是625m. [跟踪训练] 5. -2.5℃ [解析] (12+5-10)×(-1.5)=-10.5(℃), 8+(-10.5)=-2.5(℃),所以下午 5时该地的气温是-2.5℃. ［综合素能提升］ 1. B [解析] (-1-2)2=(-3)2= 9,3× -45 ÷ 54 =-3× 45 × 4 5=- 48 25 ,-52÷(-5)3= 15 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 38 　　 　专题特训（三）　有理数的新定义专题应用 ▶ “答案与解析”见P13 类型一 运算符号中的新定义型问题 1. (2023·孝感云梦期末)若“!”是一种数学运 算符号,且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2× 1=6,4!=4×3×2×1=24,…,则100 ! 98! 的 值为 ( ) A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2! 2. 新定义一种运算“△”:a△b=1a÷ - 2 b ,则 (-3△4)△2的值是 . 3. (2023·永州祁阳期末改编)若“C”是一种 数学 运 算 符 号,且 C23= 3×2 1×2=3 ,C35= 5×4×3 1×2×3=10 ,C46= 6×5×4×3 1×2×3×4=15 ,…,则 C710的值为 . 4. 对于有理数a,b,定义一种新的运算:a⊗b= a×b-a+b.例如:1⊗2=1×2-1+2.求: (1) (-3)⊗4的值. (2) [5⊗(-2)]⊗3的值. 5. 定义一种新运算“*”:a*b=(a+1)×(b+1). (1) 计算(-3)*(-2)与(-2)*(-3),此 运算满足交换律吗? (2) 计算[(-4)*(-3)]*(-2)与(-4)* [(-3)*(-2)],此运算满足结合律吗? 类型二 阅读材料中的新定义型问题 6. 对于任意正整数a,b 定义一种新运算: F(a+b)=F(a)×F(b).例如:F(2)=5,则 F(4)=F(2+2)=F(2)×F(2)=5×5=52, F(6)=F(2+4)=F(2)×F(4)=5×52=53.计 算F(2024)的结果是 ( ) A. 2024 B. 52024 C. 51012 D. 1012 答案讲解 7. (2022·杭州期中)若a是不为2的 有理数,则我们把 2 2-a 称为a的“奇 特数”.例如:4的“奇特数”是 22-4=-1 , -1的“奇特数”是 22-(-1)= 2 3. 已知a1= 4,a2 是a1 的“奇特数”,a3 是a2 的“奇特 数”,a4 是a3 的“奇特数”,…,以此类推, a2024的值为 ( ) A. 4 B. -1 C. 2 3 D. 3 2 8. 若“三角” 表示运算:a-b+c,“方框” 表 示 运 算:x -y +z +w,求 × 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 39 9. 阅读材料,并回答下列问题: 式子1+2+3+4+5+…+100表示从1开 始的100个连续自然数的和.由于上述式子 比较长,书写也不方便,为了简便,我们可以 将1+2+3+4+5+…+100表示为∑ 100 n=1 n.这 里的“∑”是求和符号,如1+3+5+7+ 9+…+99,即从1开始的100以内的连续奇 数的和可表示为∑ 50 n=1 (2n-1),又如13+23+ 33+43+53+63+73+83+93+103 可表示为 ∑ 10 n=1 n3. (1) 式子2+4+6+8+10+…+100(即从 2开始的100以内的连续偶数的和)用求和 符号可以怎样表示? (2) 式子1+12+ 1 3+ …+110 用求和符号可 以怎样表示? (3) 计算:∑ 6 n=1 (n2-1). 类型三 探索规律中的新定义型问题 答案讲解 10. (2022·宁波北仑期中)如图,第十 四届 国 际 数 学 教 育 大 会(简 称 ICME-14)会徽的主题图案有着丰 富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂 文明,图案中右下方的图形是用中国古代的 计数符号写出的八进制中的3745.我们常 用的数是十进制数,如4657=4×103+6× 102+5×101+7×1,在电子计算机中用的 二进制,如二进制中的110=1×22+1× 21+0×1等于十进制中的数6,则八进制中 的3745换算成十进制是 . (第10题) 11. 一个自然数的立方可以分裂成若干个连续 奇数的和,如23,33和43分别可以按如图所 示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇 数的和,即23=3+5,33=7+9+11,43= 13+15+17+19.若63 也按照此规律来进 行“分裂”,则63“分裂”出的奇数中,最大的 奇数是多少? (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　有理数的运算