1.2 全等三角形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

4 1.2　全等三角形 ▶ “答案与解析”见P1 1. 如图,若△ABC≌△DFE,AC=6,GE=4, 则DG 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第1题) (第2题) 2. 如图,△ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC= 40°,则∠DCB 的度数为 ( ) A. 75° B. 65° C. 40° D. 30° 3. 如图,△ABC≌△DEC,过点A 作AF⊥CD 于点F.若∠BCE=63°,则∠CAF 的度数是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,AC、BD 相交于点O,△AOB≌△COD, 则AB 与CD 的位置关系是 . 5. 如图,点A、B、C 在同一条直线上,点E 在 BD 上,且△ABD≌△EBC,AB=2cm, BC=3cm. (1) 求DE 的长. (2) 试判断AC 与BD 的位置关系,并说明 理由. (第5题) 6. 如图,△ABC≌△AED,点E 在线段BC 上, ∠1=40°,则∠CED 的度数是 ( ) A. 70° B. 65° C. 50° D. 40° (第6题) (第7题) 7. 三个全等三角形按如图所示的方式摆放,则 ∠1+∠2+∠3的度数是 ( ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 180° (第8题) 8. 如图,点D、E、F 分别在△ABC 的边AB、 BC、CA 上(不与顶点重合),设∠BAC=α, ∠FED=β.若△BED≌△CFE,则α与β满 足的数量关系是 ( ) A. α+β=90° B. α+2β=180° C. α-β=90° D. 2α+β=180° 9. 如图,在△ABC 中,E 是边AB 上的点, CF⊥AB 于点F,EG⊥CB 于点G.如果 △CAF≌△CEF≌△CEG≌△BEG,那么 ∠ACB 的度数为 . (第9题) (第10题) 10. 如图,AB=12cm,∠CAB=∠DBA=62°, AC=BD=9cm.点 P 在线段AB 上以 3cm/s的速度由点A 向点B 运动,同时,点 Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动.设点 Q 的运动速度为xcm/s.当以B、P、Q 为顶 点的三角形与△ACP 全等时,x 的值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 5 11. 如图,△ABC≌△DBE,点D 在边AC 上, BC 与DE 交于点P,已知∠ABE=162°, ∠DBC=30°,AD=DC=2.5,BC=4.求: (1) ∠CBE 的度数. (2) △CDP 与△BEP 的周长和. (第11题) 12. 如图,A、E、C 三点在同一条直线上,且 △ABC≌△DAE. (1) 线段DE、CE、BC 有怎样的数量关系? 请说明理由. (2) 当△ADE 满足什么条件时,DE∥BC? 请给予证明. (第12题) 答案讲解 (第13题) 13. 如 图,△AOB≌ △ADC,∠O= ∠D = 90°,记 ∠OAD = α, ∠ABO=β.当BC∥OA 时,α与β 之间的数量关系为 ( ) A. α=β B. α=2β C. α+β=90° D. α+β=180° 14. 如图①,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC= 9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点 P,从点A 出发,沿着A→C→B→A 运动, 回到点A 时停止,速度为3cm/s,设运动时 间为ts. (1) 如图①,当t= 时,△APC 的 面积等于△ABC 面积的一半. (2) 如图②,在△DEF 中,∠E=90°,DE= 4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC 的 边上,若另外有一个动点Q,与点P 同时从 点A 出发,沿着A→B→C→A 运动,回到 点A 时停止.在两点运动过程中的某一时 刻,恰好有△APQ≌△DEF,求点Q 的运 动速度. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　全等三角形 第1章　全等三角形 1.1　全等图形 1. C 2. D 3. 60° 4. 球 5. 答案不唯一,如图所示. (第5题) 6. C 7. D [解析] ∵ 大正方形的面积为 64,小正方形的面积为4,∴ 大正方形 的边长为8,小正方形的边长为2.设 小长方形的长和宽分别是x、y.根据 题意,得 x+y=8, x-y=2, 解得 x=5, y=3. ∴ 小 长方形的长和宽分别是5、3. 8. 2 9. (1) (6k+9) [解析] 由题意,得 小长方形的长为(2k+3)cm,宽为 3cm.∴ 裁去的每个小长方形的面积 为(6k+9)cm2. (2) 1或5 [解析] 由题意,得(3+ 3)·3k+(3+3)·2k=n·2k·3k. ∵ n、k为正整数,∴ nk=5.∴ n=1, k=5或n=5,k=1.∴ k=1或5. 10. 21 [解析] 如图,由题意,可知在 已有图形的右侧再画第1个图形的时 候,网格图的长需加1cm,画第2个 图形的时候,网格图的长需加3cm, 画第3个图形的时候,网格图的长需 加1cm……画第9个图形的时候,网 格图的长需加1cm.∴ 这个网格图的 长至少为4+(1+3+1+3+1+3+ 1+3+1)=21(cm). (第10题) 11. 4000 [解析] 设一个小长方形 的长为xcm,宽为ycm.由题意,得 x+y=50, x=4y, 解得 x=40, y=10. ∴ AB= 80cm.∴ 长方形 ABCD 的面积为 80×50=4000(cm2). 12. 90° 13. 如图,分别为直角梯形ADOF、直 角梯形EDOH、直角梯形OGBF、直 角梯形ECGH. (第13题) 14. 7 [解析] 分割方案如图①~⑤ 所示.由图可知,最长分割线的长度 为7. (第14题) 15. (1) 答案不唯一,如图①所示. (2) 能. 答案不唯一,如图②所示. ① ② (第15题) 1.2　全等三角形 1. A 2. B 3. 27° 4. AB∥CD 5. (1) ∵ △ABD≌△EBC, ∴ BD=BC=3cm,AB=EB=2cm. ∴ DE=BD-EB=1cm. (2) AC⊥BD. 理由:∵ △ABD≌△EBC, ∴ ∠ABD=∠EBC. 又∵ 点A、B、C在同一条直线上, ∴ ∠ABD+∠EBC=180°. ∴ ∠ABD=∠EBC=90°. ∴ AC⊥BD. 6. D 7. D 8. B [解 析] ∵ ∠BAC =α, ∴ ∠B+∠C=180°-α.∵ △BED≌ △CFE,∴ ∠B=∠C=90°-12α , ∠BDE = ∠CEF.∴ ∠BDE + ∠BED=180°-∠B=180°- 90°- 1 2α =90°+ 12α.∴ ∠CEF+ ∠BED=∠BDE+∠BED=90°+ 1 2α.∵ ∠FED =β,∠CEF + ∠BED+∠FED=180°,∴ 90°+ 1 2α+β=180°.∴ α+2β=180°. 9. 90° [解 析] ∵ △CAF ≌ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 △CEF ≌ △CEG ≌ △BEG, ∴ ∠ACF=∠ECF=∠ECG=∠B, ∠A=∠AEC.∴ ∠ACB=3∠B. ∵ ∠AEC=∠B+∠ECG=2∠B, ∴ ∠A=2∠B.∵ ∠A+∠ACB+ ∠B=180°,∴ 6∠B=180°.∴ ∠B= 30°.∴ ∠ACB=90°. 10. 3或92 [解析] 设运动时间为 ts,则AP=3tcm,BP=(12-3t)cm, BQ=xtcm.① 若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ,∴ 9=12-3t, 3t=xt, 解得 t=1, x=3. ② 若△ACP≌△BQP,则 AC=BQ,AP=BP,∴ 9=xt, 3t=12-3t, 解得 t=2, x=92. 综上所述,x 的值为 3或92. 11. (1) ∵ ∠ABE=162°,∠DBC= 30°, ∴ ∠ABD+∠CBE=132°. ∵ △ABC≌△DBE, ∴ ∠ABC=∠DBE. ∴ ∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC. ∴ ∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°, 即∠CBE 的度数为66°. (2) ∵ △ABC≌△DBE, ∴ DE=AC=AD+DC=5,BE= BC=4. ∴ △CDP 与△BEP 的 周 长 和= DC+DP+PC+BP+PE+BE= DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+ 4=15.5. 12. (1) DE=CE+BC. 理由:∵ △ABC≌△DAE, ∴ BC=AE,AC=DE. ∵ A、E、C三点在同一条直线上, ∴ AC=CE+AE. ∴ DE=CE+BC. (2) 当△ADE 满足∠AED=90°时, DE∥BC. ∵ △ABC≌△DAE, ∴ ∠C=∠AED. ∵ ∠AED=90°,A、E、C 三点在同一 条直线上, ∴ ∠AED=∠DEC=90°. ∴ ∠C=∠DEC. ∴ DE∥BC. ∴ 当△ADE 满足∠AED=90°时, DE∥BC. 13. B [解析] ∵ △AOB≌△ADC, ∴ AB=AC,∠BAO=∠CAD.∴ 易 得∠OAD=∠BAC=α.∴ 在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=12 (180°-α). ∵ BC∥OA,∴ ∠OBC=180°- ∠O=180°-90°=90°.∴ β+ 1 2 (180°-α)=90°.整理,得α=2β. 14. (1) 11 2 或19 2. (2) ∵ △APQ≌△DEF, ∴ AP=DE=4cm,AQ=DF= 5cm. ① 如图①,点P 在AC上. ∴ 点Q 的运动速度为5÷(4÷3)= 15 4 (cm/s). ② 如图②,点P 在AB 上. 此时点P 的运动路程为9+12+15- 4=32(cm), 点Q 的运动路程为15+12+9-5= 31(cm). ∴ 点Q 的运动速度为31÷(32÷ 3)=9332 (cm/s). 综上所述,点Q的运动速度为154cm /s 或93 32cm /s. (第14题) 1.3　探索三角形全等的条件 第1课时 用“边角边”判定 两个三角形全等 1. C 2. C 3. ∠ABC+∠EDC= 180° 4. 115° 5. ∵ AB∥EF, ∴ ∠B=∠E. 在△ACB 和△FDE 中, AB=FE, ∠B=∠E, BC=ED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACB≌△FDE. ∴ AC=FD. 6. A [解析] ∵ ∠ACB=90°, ∠A=50°,∴ ∠B=90°-∠A=40°. ∵ CD 平 分 ∠ACB,∴ ∠ECD = ∠ACD.在 △CDE 和 △CDA 中, EC=AC, ∠ECD=∠ACD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDE ≌ △CDA.∴ ∠CED=∠A=50°.又 ∵ ∠CED=∠B+∠BDE,∴ ∠BDE= ∠CED-∠B=50°-40°=10°. 7. B [解析] 如图,延长AD 至点E, 使DE=AD,连接BE.∵ AD=4cm, ∴ AE=8cm.∵ AD 是边BC上的中 线,∴ BD=CD.在△ADC 和△EDB 中, AD=ED, ∠ADC=∠EDB, CD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △EDB.∴ AC=EB.在△ABE 中, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2