专题特训(九)与角平分线有关的计算-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

120 　 专题特训（九）　与角平分线有关的计算 ▶ “答案与解析”见P44 类型一 直接运用角平分线解题 1. 已知∠AOB=60°,∠BOC=20°,OM 平分 ∠AOB,ON 平分∠BOC,则∠MON 的度 数为 ( ) A. 20° B. 40° C. 20°或40° D. 30°或10° 2. 将一副三角尺按如图①所示的方式放置于桌 面,其中30°角和45°角共顶点,CM 平分 ∠BCE,CN 平分∠BCD.当三角尺DEC 从 图①中的位置绕着点C 按逆时针方向旋转 到图②中的位置时,∠MCN 的度数 ( ) (第2题) A. 变大 B. 不变 C. 变小 D. 无法确定 3. (2023·南京期末)如图,若∠AOB=m°, ∠AOM=n°,∠BOC=4∠BON,OM 平分 ∠CON,则∠MON= °(用含m,n 的代数式表示). (第3题) 4. (2023·徐州期末)如图,点O 在直线AB 上, ∠COE=90°,OF 平分∠AOE. (1) 若∠COF=57°,求∠BOE 的度数. (2) 若∠COF =α,则 ∠BOE 的 度 数 为 (用含α的式子表示). (第4题) 类型二 角平分线与互余角、互补角的综合计算 5. (2023·上海杨浦期末)已知∠AOB=70°, ∠BOC 与∠AOB 互补,且OF 平分∠AOB, OE平分∠BOC,则∠EOF的度数为 . 6. 如图,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.若 ∠BOC=70°,∠AOC=50°. (1) 求∠AOB 及其补角的度数. (2) 求∠DOC 和∠AOE 的度数,并 判 断 ∠DOE 与∠AOB 是否互补,并说明理由. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级上 121 答案讲解 7. 点O 在直线AB 上,射线OC 在直 线AB 上方,∠AOC=4∠BOC. (1) 如图①,求∠AOC 的度数. (2) 如图②,射线 OD 在直线AB 上方, ∠AOD 与∠BOC 互余,OE 平分∠COD,求 ∠BOE 的度数. (3) 在(2)的条件下,射线OF,OG 在直线 AB 下 方,OG 平 分∠FOB,若∠FOD 与 ∠BOG 互补,求∠EOF 的度数. (第7题) 答案讲解 类型三 探究型问题 8. 如 图,∠AOC = ∠BOD =120°, ∠BOC=35∠AOD. (1) 求∠AOD 的度数. (2) 若射线OB 绕点O 以每秒20°的速度按 顺时针方向旋转,同时射线OC 以每秒15°的 速度按逆时针方向旋转.设旋转的时间为xs (0<x<6),试求当∠BOC=20°时x的值. (3) 若∠AOB 绕点O 以每秒5°的速度按逆 时针方向旋转,同时∠COD 绕点O 以每秒 10°的速度按逆时针方向旋转.设旋转的时间 为ts(0<t<18),OM 平分∠AOC,ON 平分 ∠BOD,在旋转的过程中,∠MON 的度数是 否发生改变? 若不发生改变,请求出∠MON 的度数;若发生改变,请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　平面图形的初步认识 解决动态型问题的一般方法 解决动态型问题的一般方法 是根据问题的条件画出示意图,将 动态问题转化为静止问题,并根据 其中的数量关系建立等量关系式 求得结果.由于OA,OB 都是转动 的,可分为三种情况讨论:① 当 OA 是OB,OC 组成的角的平分线 时;② 当OC 是OB,OA 组成的角 的平分线时;③ 当OB 是OC,OA 组成的角的平分线时. 14. (1) 60;15. [解析] 因为O 是直 线AB 上的一点,∠COD 是直角, ∠AOC=30°,所以∠BOD=180°- ∠AOC - ∠COD = 60°.因 为 ∠COD =90°,∠BOD =60°,所 以 ∠BOC=∠COD+∠BOD=150°.因 为OE 平分∠BOC,所以∠BOE= 1 2∠BOC =75°. 所 以 ∠DOE = ∠BOE-∠BOD=75°-60°=15°. (2) 因为∠AOC=α, 所以∠BOC=180°-α. 因为OE 平分∠BOC, 所以∠COE=12∠BOC=90°- 1 2α. 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 90°- 90°-12α =12α. (3) ∠AOC=360°-2∠DOE. [解析] 设∠AOC=x,则∠BOC= 180°-x.因为OE 平分∠BOC,所以 ∠COE=12∠BOC=90°- 1 2x. 所以 ∠DOE=∠COD+∠COE=90°+ 90°- 12x =180°- 1 2x. 所 以 ∠DOE=180°- 12 ∠AOC. 所 以 ∠AOC=360°-2∠DOE. 专题特训（九）　与角平分线 有关的计算 1. C [解析] 因为∠AOB=60°, ∠BOC=20°,OM 平分∠AOB,ON 平 分 ∠BOC,所 以 ∠BOM = 1 2∠AOB=30° ,∠BON=12∠BOC= 10°.① 如图①,当∠BOC 在∠AOB 内 部 时,∠MON = ∠BOM - ∠BON=30°-10°=20°.② 如图②, 当 ∠BOC 在 ∠AOB 外 部 时, ∠MON=∠BOM+∠BON=30°+ 10°=40°.综上所述,∠MON 的度数 为20°或40°. (第1题) 2. B [解析] 在题图①中,因为CM 平分∠BCE,CN 平分∠BCD,所以 ∠BCM = 12∠BCE ,∠BCN = 1 2∠BCD. 所以∠MCN=∠BCM+ ∠BCN=12∠BCE+ 1 2∠BCD= 1 2∠DCE. 根据题意,可得∠DCE= 30°.所以∠MCN=12∠DCE=15°. 在题图②中,因为CM 平分∠BCE, CN 平 分 ∠BCD,所 以 ∠BCM = 1 2∠BCE ,∠BCN=12∠BCD. 所以 ∠MCN = ∠BCN - ∠BCM = 1 2∠BCD- 1 2∠BCE= 1 2∠DCE. 根据题意,可得∠DCE=30°.所以 ∠MCN = 12 ∠DCE =15°. 所 以 ∠MCN 的度数不变. 3. 3 5 (m -n) [解 析] 因 为 ∠BOC=4∠BON,所以∠CON = 3∠BON.因为OM 平分∠CON,所 以∠MON=12∠CON= 3 2∠BON. 所 以 ∠BON = 23 ∠MON. 所 以 ∠BOM = ∠MON + ∠BON = 5 3∠MON. 所 以 ∠MON = 3 5∠BOM. 又 因 为 ∠BOM = ∠AOB-∠AOM=(m-n)°,所以 ∠MON=35 (m-n)°. 4. (1) 因为∠COE=90°, ∠COF=57°, 所以∠EOF=90°-57°=33°. 因为OF 平分∠AOE, 所以∠AOE=2∠EOF=66°. 所以∠BOE=180°-66°=114°. (2) 2α. [解析] 因为∠COE=90°, ∠COF=α,所以∠EOF=90°-α.因 为OF 平分∠AOE,所以∠AOE= 2∠EOF=180°-2α.所以∠BOE= 180°-(180°-2α)=2α. 5. 20°或90° [解析] 如图①,因为 ∠AOB=70°,∠BOC 与∠AOB 互 补,所以∠BOC=110°.因为OF 平分 ∠AOB,OE 平 分 ∠BOC,所 以 ∠BOF=12∠AOB=35° ,∠BOE= 1 2 ∠BOC =55°. 所 以 ∠EOF = ∠BOE-∠BOF=20°.如图②,因为 ∠AOB=70°,∠BOC 与∠AOB 互 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 补,所以∠BOC=110°.因为OF 平分 ∠AOB,OE 平 分 ∠BOC,所 以 ∠BOF=12∠AOB=35° ,∠BOE= 1 2 ∠BOC =55°. 所 以 ∠EOF = ∠BOE+∠BOF=90°.综上所述, ∠EOF=20°或90°. (第5题) 6. (1) ∠AOB=∠BOC+∠AOC= 70°+50°=120°,其补角的度数为 180°-∠AOB=180°-120°=60°. (2) 由题意,得∠DOC=12∠BOC= 1 2×70°=35° ,∠AOE=∠COE= 1 2∠AOC= 1 2×50°=25°. ∠DOE 与∠AOB 互补. 理 由:因 为 ∠DOE = ∠DOC + ∠COE=35°+25°=60°, 所 以 ∠DOE + ∠AOB =60°+ 120°=180°. 所以∠DOE 与∠AOB 互补. 7. (1) 设∠BOC=α,则∠AOC=4α. 因为∠BOC+∠AOC=180°, 所以α+4α=180°. 所以α=36°. 所以∠BOC=36°,∠AOC=144°. (2) 因为∠AOD 与∠BOC互余, 所以∠AOD=90°-∠BOC=90°- 36°=54°. 所 以 ∠COD =180°- ∠AOD - ∠BOC=180°-54°-36°=90°. 因为OE 平分∠COD, 所以 ∠COE = 12 ∠COD = 1 2 × 90°=45°. 所以∠BOE=∠COE+∠BOC= 45°+36°=81°. (3) 因为OG 平分∠FOB, 所 以 ∠FOG = ∠BOG,∠BOF = 2∠BOG. 因为∠FOD 与∠BOG 互补, 所以∠FOD+∠BOG=180°. ① 如 图 ①,设 ∠BOG =x°,则 ∠BOF=(2x)°. 因为∠BOD=∠BOC+∠COD= 36° + 90° = 126°, ∠FOD = ∠BOD+∠BOF, 所以126+2x+x=180,解得x=18. 所以∠EOF=∠BOE+∠BOF= 81°+2×18°=117°. ② 如图②,因为∠FOG=∠BOG, ∠FOD+∠BOG=180°, 所以∠FOD+∠FOG=180°. 所以D,O,G 三点共线. 所以∠AOD+∠AOG=180°. 因为∠AOG+∠BOG=180°, 所以∠BOG=∠AOD=54°. 所以∠AOF=180°-∠BOF=180°- 54°×2=72°. 因为∠AOE=180°-∠BOE=180°- 81°=99°, 所以∠EOF=∠AOF+∠AOE= 72°+99°=171°. 综上所述,∠EOF=117°或171°. (第7题) 8. (1) 设∠AOD=5a. 因为∠BOC=35∠AOD , 所以∠BOC=35 ·5a=3a. 又因为∠AOC=∠AOB+∠BOC, ∠BOD = ∠DOC + ∠BOC, ∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠DOC, 所以∠AOC+∠BOD=∠AOD+ ∠BOC. 又因为∠AOC=∠BOD=120°, 所以5a+3a=240°,解得a=30°. 所以∠AOD=150°. (2) 因为∠AOD=150°,∠BOC= 3 5∠AOD , 所以∠BOC=90°. ① 若射线OB,OC 重合前相差20°, 则20x+15x+20=90,解得x=2. ② 若射线OB,OC 重合后相差20°, 则20x+15x-90=20,解得x=227. 又因为0<x<6, 所以x=2或x=227. (3) ∠MON 的度数不发生改变. 由题 意,得 旋 转ts后,∠AOD= 150°-(5t)°,∠AOC=120°-(5t)°, ∠BOD=120°-(5t)°,OM,ON 分别 平分∠AOC,∠BOD. 所 以 ∠AOM = 12∠AOC = 1 2 [120° - (5t)°], ∠DON = 1 2∠BOD= 1 2 [120°-(5t)°]. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 所以∠MON=∠AOD-∠AOM- ∠DON=150°-(5t)°-12 [120°- (5t)°]-12 [120°-(5t)°]=30°. 6.3　相 交 线 第1课时 对 顶 角 1. D 2. B 3. 71° 4. 70° 5. 因为OA 平分∠EOC, 所以∠AOC=∠AOE=12∠EOC. 所以∠BOD=∠AOC=∠AOE. 因为∠BOD∶∠EOD=1∶3, 所以∠BOD∶∠EOD∶∠AOE= 1∶3∶1. 因为∠BOD+∠EOD+∠AOE= 180°, 所以∠AOE= 11+3+1×180°=36°. 所以∠EOC=2∠AOE=72°. 6. A [解析] 设∠DOB=x,则 ∠AOD=180°-x,∠DOE=x+15°. 由题意,得180°-x=2(x+15°),解 得x=50°.所以∠DOB=50°.所以 ∠AOC=∠DOB=50°. 7. C [解析] 因为∠AOD=140°,所 以∠AOC=180°-∠AOD=180°- 140°=40°.因为OC 平分∠AOE,所 以 ∠EOC = ∠AOC =40°.因 为 ∠BOC = ∠AOD = 140°,所 以 ∠BOE=∠BOC-∠EOC=140°- 40°=100°. 8. ③⑤ [解析] 因为∠BOE=90°, 所以∠AOE=180°-∠BOE=180°- 90°=90°.所以∠AOC+∠COE= 90°,即∠AOC与∠COE 互为余角.故 ①不符合题意.由对顶角相等,可得② 不 符 合 题 意.∠AOE = 90°= ∠AOC + ∠COE,但 ∠AOC 与 ∠COE 不一定相等,故③符合题意. 因为∠COE+∠DOE=180°,所以 ∠COE 与∠DOE 互为补角.故④不 符合题意.∠COE+∠DOE=180°, 但∠AOC 与∠COE 不一定相等,故 ⑤符合题意.因为∠BOD=∠AOC, ∠COE + ∠AOC = 90°,所 以 ∠COE+∠BOD=90°.所以∠BOD 与∠COE 互 为 余 角.故⑥不 符 合 题意. 9. 135° [解析] 因 为 ∠DOE= 3∠COE,∠DOE+∠COE=180°,所 以∠COE=45°.因为∠EOB=90°,所 以∠BOC =135°.所 以 ∠AOD = ∠BOC=135°. 10. 28.5 [解析] 因为∠AOC=82°, 所以∠BOD=∠AOC=82°.又因为 OE 平 分 ∠BOD,所 以 ∠DOE = ∠BOE=12∠BOD= 1 2×82°=41°. 所以∠COE=180°-∠DOE=180°- 41°=139°.因为OF 平分∠COE,所 以∠EOF=12∠COE= 1 2×139°= 69.5°.所 以 ∠BOF = ∠EOF - ∠BOE=69.5°-41°=28.5°. 解决几何求值类问题的 一般方法 解决这类问题的一般方法是 根据图形的相关性质,通过分析、 逐步推理,根据问题中的已知条件 求得相应角的度数,再根据图形中 的角与角之间的关系,将待求角转 化为已知角之间的和或差,从而解 决问题. 11. (1) 因 为 ∠3=130°,∠1+ ∠3=180°, 所以∠1=180°-∠3=50°. 因为∠2-∠1=15°, 所以∠2=15°+∠1=65°. (2) 因为∠1=50°,∠2=65°,∠1+ ∠COE+∠2=180°, 所以∠COE=65°. 所以∠COE=∠2. 所以OE 平分∠COB. 12. B [解析] 因为∠AOE=90°, ∠DOF=90°,所以∠BOE=90°= ∠AOE= ∠DOF.所 以 ∠AOF + ∠EOF=90°,∠EOF + ∠DOE = 90°,∠DOE + ∠BOD =90°.所 以 ∠EOF=∠BOD,∠AOF=∠DOE. 所以当∠AOF=60°时,∠DOE=60°. 故①正确.因为OB 平分∠DOG,所 以∠BOD=∠BOG.因为∠BOD= ∠AOC,所 以 ∠BOD = ∠BOG = ∠EOF=∠AOC.故③正 确.因 为 ∠DOE 和∠DOG 的大小关系无法确 定,所以OD 为∠EOG 的平分线这一 结论 无 法 确 定.故 ② 错 误.因 为 ∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG, 所以∠COG=∠AOB-2∠EOF.故 ④正确.综上所述,正确的有①③④, 共3个. 13. (1) ① 因为∠COF=∠DOF, ∠COF+∠DOF=180°, 所以∠COF=90°. 因为∠BOD=15°,∠BOE=120°, 所 以 ∠COE =180°- ∠BOE - ∠BOD=180°-120°-15°=45°. 所以∠EOF=∠COF-∠COE= 90°-45°=45°. ② 平分. 理由:因为OF 平分∠BOE, 所以∠EOF=∠BOF=12∠EOB. 因 为 ∠COF = ∠DOF,∠COE = ∠COF - ∠EOF, ∠BOD = ∠DOF-∠BOF, 所以∠COE=∠BOD. 因为∠BOD=∠AOC, 所以∠COE=∠AOC,即 OC 平分 ∠AOE. (2) 设 ∠COE =α,则 ∠AOF = 2∠COE=2α. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64