5.2 等式的基本性质-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

72 5.2　等式的基本性质 ▶ “答案与解析”见P26 1. 如果a=b,那么下列等式不成立的是( ) A. b-1=a-1 B. 7a+1=7b+1 C. a 9= b 9 D. a-3=b+3 2. 要将等式-12x=1 进行一次变形,得到 x=-2,则下列做法中,正确的是 ( ) A. 等式的两边同时加3 2x B. 等式的两边同时乘2 C. 等式的两边同时除以-2 D. 等式的两边同时乘-2 3. (1) 由5x=4x+y,得5x-4x=y,在此变形 中,等式的两边都加上了 . (2) 由1 3a=2b ,根据等式的性质 , 在等式的两边都 ,可得2a=12b. 4. 将等式3x-2y=7变形成用含y 的代数式 表示x,则x= . 5. 利用等式的基本性质解方程: (1) -2x=-3x+8. (2) 3x=-10. (3) -y2-3=9. 6. 如果ma=mb,那么下列等式不一定成立 的是 ( ) A. ma+2=mb+2 B. a=b C. -ma=-mb D. ma-6=mb-6 7. 由x-2=y,得5(x-2)-7=5y-7,变形过 程中所用的等式的基本性质及其顺序是 ( ) A. 先用等式的性质2,再用等式的性质1 B. 只用等式的性质1 C. 只用等式的性质2 D. 无法确定 8. 已知3m+a=2n+b,根据等式的性质1将 该式变形为3m=2n,则a,b必须符合的条 件为 ( ) A. a=-b B. ab=1 C. a=b D. a,b为任意整式 9. (2023·金华期末)如图,在天平上放若干苹 果和香蕉,其中图①②中的天平保持平衡,现 要使图③中的天平也保持平衡,需要在天平 右边的托盘中放入砝码 ( ) (第9题) A. 350克 B. 300克 C. 250克 D. 200克 10. 将等式3a-2b=2a-2b变形,过程如下:因 为3a-2b=2a-2b,所以3a=2a(第一 步).所以3=2(第二步).上述过程中,第一 步的依据是 ,第二步得出了 明显错误的结论,其原因是 . 11. 给出下列等式:① 若a=b,则 a-4= b 4 ; ② 若-3(x-1)=-3(y-1),则x=-y; ③ 若x 4-1=2 ,则x-1=8;④ 若(m2+ 1)a=(m2+1)b,则a=b.其中,正确的是 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 73 12. 用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等 式,并说明是根据等式的哪一条基本性质及 怎样变形的. (1) 如果x+8=10,那么x=10+ . (2) 如果4x=3x+7,那么4x- =7. (3) 如果-3x=8,那么x= . (4) 如果2 3x=-6 ,那么 =-9. 答案讲解 13. 如果a-b>0,那么a>b.已知 2m-1=2n,请利用等式的基本性 质比较m,n的大小. 14. 设“”“”“”分别表示三种不同的物体,现 用天平称了两次,情况如图①②所示.请由 此判断图③④⑤⑥中天平的状态是否正确. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　一元一次方程 个图案中灰色正方形比前一个图案多 1个,所以第n 个图案中灰色正方形 有n个.所以第n个图案中白色正方 形比灰色正方形多(5n+3)-n= (4n+3)个. 7. 原 式 =2x2 - (-x2 +2xy- 2y2)-2x2+2xy-4y2=2x2+x2- 2xy+2y2 -2x2 +2xy-4y2 = x2-2y2. 因为x是最小的正整数, 所以x=1. 因为|y|=2,所以y=±2. 又因为x+y<0, 所以y=-2. 所以原式=12-2×(-2)2=-7. 8. (1) (20-x);12(20-x). (2) 将水泥从A,B 两地运到C,D 两 地的总运费为15x+12(20-x)+ 10(15-x)+9[35-(20-x)]= (2x+525)元. (3) 当x=10时,2x+525=2×10+ 525=545, 所以总运费为545元. 第5章　一元一次方程 5.1　认识方程 1. B 2. A 3. D 4. 2x+2=3x- 7 9 5. (1) 把x=6代入方程的左、右两 边,左边=2×6+1=13,右边=6- 5=1,左边≠右边, 所以x=6不是方程2x+1=x-5 的解. 把x=-6代入方程的左、右两边,左 边=2×(-6)+1=-11,右边= -6-5=-11,左边=右边, 所以x=-6是方程2x+1=x-5 的解. (2) 把x=3代入方程的左、右两边, 左边=2×(3+1)=8,右边=11-3= 8,左边=右边, 所以x=3是方程2(x+1)=11-x 的解. 把x=-4代入方程的左、右两边,左 边=2×[(-4)+1]=-6,右边= 11-(-4)=15,左边≠右边, 所以x=-4不是方程2(x+1)= 11-x的解. 6. (1) x-1+x+x+1=252. (2) 3x-7=2x+5. (3) 2(x+x+3)=42. 7. C [解析] 只有包含等量关系的 语句才能列出方程,选项中只有选项 C不包含等量关系,所以选项C不能 列出方程. 8. D [解析] 由题表可知,当x= 0时,代数式2ax+5b的值为-4,所 以关于x的方程2ax+5b=-4的解 是x=0. 9. D [解析] 将x=5代入方程 -3( -9)=5x-1,得-3( - 9)=25-1.将 =4代入-3( - 9)=25-1,得左边=15,右边=24,左 边≠右边,故A不符合题意;将 = 3代入-3( -9)=25-1,得左 边=18,右边=24,左边≠右边,故B 不符合题意;将 =2代入-3( - 9)=25-1,得左边=21,右边=24,左 边≠右边,故C不符合题意;将 = 1代入-3( -9)=25-1,得左 边=24,右边=24,左边=右边,故D 符合题意. 10. x+2x+48=648 [解析] 因为 到城市纪念馆的学生人数为x,所以 到水上森林公园的学生人数为2x+ 48.根据共有648名学生到水上森林 公园和城市纪念馆进行社会实践,可 列方程为x+2x+48=648. 11. 若每人做6个,则比原计划多 7个 [解析] 因为等号左边为5x+ 1,表示计划做的个数,所以等号右边 也应表示计划做的个数,即6x-7表 示若每人做6个,则比原计划多7个. 12. 因为x=2是方程ax=4的解, 所以把x=2代入ax=4,得2a=4. 所以a=2. 将a=2代入2ax-5=3x-4a,得 4x-5=3x-8. 将x=3代入4x-5=3x-8,得左 边=4×3-5=7,右边=3×3-8=1, 左边≠右边. 所以x=3不是方程4x-5=3x- 8的解,即x=3不是方程2ax-5= 3x-4a的解. 13. 因为去年 A 超市的销售额为 x万元, 所以去年B 超市的销售额为(150- x)万元,今年A 超市的销售额为(1+ 15%)x万元,今年B 超市的销售额 为(1+10%)(150-x)万元. 又因为今年A,B 两家超市的销售总 额为170万元, 所以可列方程为(1+15%)x+(1+ 10%)(150-x)=170. 14. (1) 70-x;100-x(从上到下). (2) (-10x+15 000). (3) 140x+150(100-x)+200(70- x)+80(x+10)=25900. 5.2　等式的基本性质 1. D 2. D 3. (1) -4x (2) 2 乘6 或除以16 4. 2y+7 3 [解析] 等式的两边都加 上2y,得3x=2y+7.等式的两边都 除以3,得x=2y+73 . 5. (1) 根据等式的性质1,等式的两 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 边都加上3x,得-2x+3x =-3x+ 8+3x,即x=8. (2) 根据等式的性质2,等式的两边都 除以3,得3x3= -10 3 ,即x=-103. (3) 根据等式的性质1,等式的两边都 加上3,得-y2-3+3=9+3 ,即 -y2=12. 根据等式的性质2,等式的 两边都乘-2,得-y2× (-2)=12× (-2),即y=-24. 6. B [解析] 等式ma=mb的两边 同时加上2,得到ma+2=mb+2,故 A不符合题意;当 m ≠0时,等式 ma=mb 的两边同时除以m,得到 a=b,当m=0时,a与b的大小关系 不确定,故B符合题意;等式ma=mb 的两 边 同 时 乘-1,得 到-ma= -mb,故C不符合题意;等式ma= mb的两边同时减去6,得到ma-6= mb-6,故D不符合题意. 7. A [解析] 由x-2=y,根据等式 的性 质2,等 式 的 两 边 都 乘5,得 5(x-2)=5y.再根据等式的性质1, 等式的两边都减去7,得5(x-2)- 7=5y-7. 8. C [解析] 等式3m+a=2n+b 的两边都减去b,得3m+a-b=2n. 因为等式可变形为3m=2n,所以a- b=0,即a=b. 9. C [解析] 设一个苹果的质量为 x克,一根香蕉的质量为y克.由题图 ①,得2x+y=350①.由题图②,得 x+2y=400②.由①+②,得(2x+ y)+(x+2y)=350+400,即3x+ 3y=750,等式的两边都除以3,得 x+y=250.因为题图③中的天平左 边的托盘中有一个苹果和一根香蕉, 所以要使天平保持平衡需要在天平右 边的托盘中放入砝码250克. 10. 等式的性质1 没有考虑a=0的 情况 11. ④ [解析] 将a=b的两边都除 以-4,得 a-4= b -4 ,故①错误;将 -3(x-1)=-3(y-1)的两边都除 以-3,得x-1=y-1,将x-1=y- 1的两边都加上1,得x=y,故②错 误;将x 4-1=2 的两边都乘4,得x- 4=8,故③错误;易知m2+1≠0,将 (m2+1)a=(m2+1)b的两边都除以 m2+1,得a=b,故④正确. 12. (1) (-8). 根据等式的性质1, x+8=10的两边都加上-8,得x= 10+(-8). (2) 3x. 根据等式的性质1,4x= 3x+7的两边都减去3x,得4x- 3x=7. (3) - 83. 根据等式的性质2, -3x=8的两边都除以-3 或乘 -13 ,得x=-83. (4) x. 根据等式的性质2,23x= -6的两边都乘32 或除以 2 3 ,得 x=-9. 13. 根据等式的性质2,等式的两边先 同时除以2,得m-12=n. 根据等式的性质1,等式的两边同时 减去n,得m-n-12=0. 根据等式的性质1,等式的两边同时 加上1 2 ,得m-n=12. 因为1 2>0 , 所以m>n. 14. 设1个 的质量为xg,1个 的 质量为yg,1个 的质量为zg. 由题图①中天平反映的状态可知, 3x=x+y, 根据等式的性质1,等式的两边同时 减去x,得2x=y. 由题图②中天平反映的状态可知, y=z. 所以y=z=2x. 题图③中天平反映的状态为y=2x, 与前面的判断相符,故正确. 题图④中天平反映的状态为z=2x, 与前面的判断相符,故正确. 题图⑤中天平反映的状态为z+y= 2z,即y=z,与前面的判断相符,故 正确. 由y=2x,y=z,可得y+y=2x+z, 即2个 的质量=2个 的质量+ 1个 的质量,而题图⑥中天平反映 的状态是2x+z>2y,不平衡,故不 正确. 5.3　一元一次方程和它的解 1. C 2. C 3. B 4. -1 5. (1) 方程两边都减去4, 得4+2x-4=8-4, 合并同类项,得2x=4, 方程两边都除以2,得x=2. (2) 方程两边都加x+2, 得4x-2+x+2=3-x+x+2, 合并同类项,得5x=5, 方程两边都除以5,得x=1. (3) 方程两边都加4-2x, 得3x-4+4-2x=6+2x+4-2x, 合并同类项,得x=10. 6. B [解析] ②④⑥⑦是一元一次 方程,所以属于一元一次方程的有 4个. 7. A [解析] 因为x=-2是关于x 的一元一次方程2x-a+2b=0的 解,所以-4-a+2b=0.所以a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72