3.3 立方根&3.4 实数的运算-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（浙教版2024）

46 3.3　立 方 根 ▶ “答案与解析”见P16 1. 下列说法中,错误的是 ( ) A. 3-4的根指数是3,被开方数是-4 B. 因为 53=125,所以 125的立方根是5 C. 因为 -13 3 =-127 ,所以-13 是-127 的立 方根 D. 2的立方根记作±32 2. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 一个正数有两个立方根,它们的和为0 B. 负数没有立方根 C. 如果一个数没有平方根,那么它一定没有 立方根 D. 一个数的立方根与这个数同号 3. 计算:(1) 3343= . (2) 3 -16164= . 4. 已知甲正方体的棱长是5cm,乙正方体的体 积是甲正方体体积的8倍,则乙正方体的棱 长是 . 5. 求下列各数的立方根: (1) -0.001. (2) 1558. (3) (-4)3. 6. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 216的立方根是±3216=±6 B. -23 是-49 的立方根 C. 3-27=-327 D. 立方根等于它本身的数是0和1 7. 若-8是a的一个平方根,则a的立方根是 . 8. 计算: (1) 3 1 1000+ 31331.(2) 38× 3 -164. (3) 81+3-27+ -23 2 . 答案讲解 9. 陈阿姨的水果店购进了100箱新品 种的水果,装这种水果的纸箱尺寸 为40×40×32(单位:cm).现在由于 经营需要,陈阿姨准备将这批水果分装在 80个完全相同的正方体纸箱中,则这种正方 体纸箱的棱长应为多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 47 3.4　实数的运算 ▶ “答案与解析”见P16 1. 计算 (-2)2+3-8-2× 16的结果是 ( ) A. 0 B. -2 C. 8 D. -8 2. 用计算器求得3+33的结果是(结果精确到 0.001) ( ) A. 3.1742 B. 3.174 C. 3.175 D. 3.1743 3. 计算:21-310≈ (结果精确到 0.001). 4. 计算: (1) 4×(2-7)-6+47. (2) - 36-2-|2-3|. 5. (跨学科融合·生物)全球气候变暖导致一些 冰川融化,甚至消失.在冰川消失12年后, 一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每 一个苔藓都会长成近似圆形,苔藓的直径和 其生长年限近似地满足关系式:d=7× t-12(t≥12),其中d 表示苔藓的直径(单 位:厘米),t 表示冰川消失的时间(单位: 年).估算冰川消失50年后苔藓的直径(结果 精确到0.1厘米). 6. 以下是小马同学的计算过程: 9-(-2)2-|1-2| 解:原式=3-4-|1-2|① =3-4-(1-2)② =3-4-1+2③ =-2-2④. 最先开始出错的一步是 ( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 答案讲解 7. 计算|1-5|+|3-5|-|3.14-π| 的结果是 ( ) A. 0.86-2 5+π B. 5.14-π C. 25-7.14+π D. -1.14+π 8. 借助计算器判断,下列实数中,最小的数是 ( ) A. 10-311 B. 46-10 C. 51-1026 D. 18-513 9. 写出两个无理数,使这两个无理数之和为3: . 10. 计算下列各式的值: 92+19= . 992+199= . 9992+1999= . 99992+19999= . 观察所得结果,总结规律,运用得到的规律 计算:99…92+199…9 ︸ 2024个9 ︸ 2024个9 = . 答案讲解 11. 在实数的原有运算法则中我们定 义一个新运算“Δ”如下:当x≤y 时,xΔy= |x|;当 x>y 时, xΔy=y.[(-9)Δ(-3)]×[4Δ(-3)]的 值为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　实　数 48 12. 计算: (1) 1+3-27- 14+ 30.125+ 1-6364. (2) |7-2|-|2-π|- (-7)2. 13. 座钟的摆针摆动一个来回所需要的时间为 一个周期,其计算公式为T=2π lg ,其中 T 表示周期(单位:s),l表示摆长(单位: m),g≈10m/s2.若某座钟的摆长为0.27m, 它每摆动一个来回发出一次滴答声,则1min 内,该座钟约发出多少次滴答声 参考数据: π≈3.14,0.2710 ≈0.164 ,结果保留整数 ? 14. 如图所示的图形是由半圆和长方形组成的, 则这个图形的面积为 (π取3.14, 结果精确到0.1dm2). (第14题) 15. (1) 利用计算器计算(结果精确到0.01): ① 2×3与 2×3. ② 5 3×7 与 5 3×7. (2) 已知a≥0,b≥0,观察(1)中的计算结 果,由此你能得出 a×b与 a×b之间的 关系吗? 写出你的发现,并利用你发现的规 律计算: ① 2×8. ② 5× 495. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(浙教版)七年级上 49 　 专题特训（四）　数形结合之实数在数轴上的表示 ▶ “答案与解析”见P17 类型一 实数在数轴上的表示 1. 如图,数轴上点P 表示的数可能是 ( ) (第1题) A. 2 B. 5 C. 10 D. 15 2. (2022·杭州模拟)如图,半径为1个单位长 度的圆片上有一点Q 与数轴上的原点重合. (1) 把圆片沿数轴向左滚动1周,点Q 到达 数轴上点A 的位置,则点 A 表示的数是 . (2) 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正 数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数, 依次滚动情况记录如下(单位:周):+2, -1,-5,+4,+3,-2. ① 第几次滚动后,点Q 距离原点最近? 第几 次滚动后,点Q 距离原点最远? ② 当圆片结束滚动时,点Q 运动的路程是多 少? 此时点Q 所表示的数是多少? (第2题) 类型二 利用数轴进行实数的比较与运算 3. 实数a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如 图所示,则下列结论中,正确的是 ( ) (第3题) A. |a|<|b| B. |ac|=-ac C. b>d D. c+d<0 答案讲解 4. 实数a,b,c,d在数轴上的对应点的 位置如图所示,则下列结论中,正确 的是 ( ) (第4题) A. c>1 B. 3a<b C. c< d D. -a< d 5. 如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个 单位长度到达点B,点A 表示的数为- 2, 设点B 表示的数为m.求: (1) m 的值. (2) |m-3|+m+2的值. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第3章　实　数 6. B [解析] 2是无理数,22 虽然含 有分母2,但其是无理数,不是分数, 是实数.故②④正确. 7. B [解析] 由1< 3< 4=2,3= 9< 10<4,可得1<a<4. 8. B [解析] 因为正方形ABCD 的 面积为5,所以正方形ABCD 的边长 为5.所以点A,E 之间的距离为 5. 因为点A 表示的数是1,且点E 在 点A 的右边,所以点E 表示的数为 5+1. 9. B [解析] 因为- 9<- 5< -4,即-3<- 5<-2,所以表 示-5的点在点A 与点B 之间.又因 为-9<- 6.25<- 5,所 以 -3<-2.5<- 5.所以-2.5< -5<-2.所以与表示- 5的点距 离最近的是点B. 10. 4 [解析] - 136=- 1 6. 因为 -100, 35,10%,157 ,- 136 , (-1.5)3中,无理数为 35,整数为 -100,负分数为- 136 ,(-1.5)3, 所以x=1,y=1,z=2.所以x+y+ z=1+1+2=4. 11. (1) 拼成的正方形的面积为7,其 边长为7. (2) 因为 4<7<9, 所以4<7<9. 所以 2< 7<3,即正方形的边长在 2与3之间. 12. (1) -3,-2,-1,0,1,2,3. (2) -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 13. (1) 因为 16=4,4=2, 所以y=2. (2) 存在. 分两种情况讨论: ① 当输入x的值没有算术平方根时, 始终无法输出y的值,即当x的值为 负数时,始终无法输出y的值. ② 当输入x的值有算术平方根时,易 知若x 的值的算术平方根等于它本 身,则始终无法输出y的值,即当x= 0或1时,始终无法输出y的值. 综上所述,当x 的值为负数或x= 0或x=1时,始终无法输出y的值. (3) 25或36或49或64. [解析] 因 为经过两次运算后才能输出y 的值, 所以这个两位数取两次算术平方根后 是无理数,且这个两位数的算术平方 根必须是有理数.因为算术平方根是 有理数的两位数有16,25,36,49,64, 81,所以将这些数代入运算程序计算, 得16,81经过两次运算后,得到的值 不是无理数,故不能输出y 的值,不 符合题意;25,36,49,64经过两次运 算后,得到的值是无理数,能输出y 的值,符合题意.所以x 的值为25或 36或49或64. 3.3　立 方 根 1. D 2. D 3. (1) 7 (2) -54 4. 10cm 5. (1) 因为(-0.1)3=-0.001, 所以 3-0.001=-0.1. (2) 因为1558= 125 8 ,5 2 3 =1258 , 所以 3 1558= 5 2. (3) 3(-4)3=-4. 6. C [解析] 因为63=216,所以 216的立方根是6.故 A错误.因为 -23 3 =-827 ,所以-23 是-827 的 立方根,不是-49 的立方根.故B错 误.3-27表示的是-27的立方根, 故 3-27=-3,- 327表示的是 27的立方根的相反数,故- 327= -3,所以 3-27=- 327.故C正 确.立方根等于它本身的数是0和 ±1.故D错误. 7. 4 [解析] 因为-8是a的一个平 方根,所以a=(-8)2=64.所以3a= 364=4. 8. (1) 原式=110+11=11.1. (2) 原式=2× -14 =-12. (3) 原式=9-3+23= 20 3. 9. 因为100×40×40×32÷80= 64000(cm3),403=64000, 所以 364000=40(cm). 所以这种正方体纸箱的棱长应为 40cm. 3.4　实数的运算 1. D 2. B 3. 2.428 4. (1) 原式=8-47-6+47=2. (2) 原式=-6- 2-(3- 2)= -6-2-3+2=-9. 5. 当t=50时,d=7× 50-12= 7× 38≈43.2.所以冰川消失50年 后苔藓的直径约为43.2厘米. 6. B [解析] 因为1< 2<2,所以 1-2<0.所以|1- 2|= 2-1.故 最先开始出错的是第②步. 7. B [解析] 原式= 5-1+3- 5-π+3.14=5.14-π. 8. B [解析] 利用计算器计算,可得 10-3 11 ≈0.05,46 -10≈ -0.202,51-10 26≈0.01,18- 5 13≈-0.028.因为-0.202< -0.028<0.01<0.05,所以最小的数 是46-10. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 9. 答案不唯一,如7+3与-7 10. 10 100 1000 10000 102024 11. -9 [解析] 因为-9<-3, 4> -3,所 以 原 式 = |-9|× (-3)=3×(-3)=-9. 12. (1) 原式=1-3-12+0.5+ 1 8=-1 7 8. (2) 原式=7-2-π+2-7=-π. 13. 因为 l=0.27m,g≈10m/s2, 所以 T=2π lg ≈2×3.14× 0.27 10 ≈2×3.14×0.164≈1.03 (s), 即每摆动一个来回约需要1.03s. 因为1min=60s, 所以1min内,该座钟的摆针可以来 回摆动60÷1.03≈58(次). 所以1min内,该座钟约发出58次滴 答声. 14. 54.8dm2 [解析] S=S长方形+ S半圆 = 48× 27+ 12 ×π× (48÷2)2≈54.8(dm2). 15. (1) ① 2×3≈2.45, 2×3≈ 2.45. ② 5 3 × 7≈3.42 , 5 3×7≈ 3.42. (2) 能.a×b= a×b. ① 2×8= 2×8= 16=4. ② 5× 495= 5× 49 5= 49=7. 专题特训（四）　数形结合 之实数在数轴上的表示 1. C [解析] 因为1<2<4,所以 1<2<2.故A不符合题意.因为4< 5<9,所以2< 5<3.故B不符合题 意.因为9<10<16,所以3< 10< 4.因为3.52=12.25,所以3< 10< 3.5.故C符合题意.因为9<15<16, 所以3< 15<4.因为3.52=12.25, 所以3.5< 15<4.故D不符合题意. 2. (1) -2π. (2) ① 根据题意,得圆片第1次向右 滚动了2周,点Q 距离原点2×(2π× 1)=4π,第2次向左滚动了1周,点Q 距离原点|2-1|×(2π×1)=2π,第 3次向左滚动了5周,点Q 距离原点 |2-1-5|×(2π×1)=8π,第4次向 右滚动了4周,点Q 距离原点|2- 1-5+4|×(2π×1)=0,第5次向右 滚动了3周,点Q 距离原点|2-1- 5+4+3|×(2π×1)=6π,第6次向左 滚动了2周,点Q 距离原点|2-1- 5+4+3-2|×(2π×1)=2π, 所以第4次滚动后,点Q 距离原点最 近,第3次滚动后,点 Q 距离原点 最远. ② 因为|+2|+|-1|+|-5|+ |+4|+|+3|+|-2|=17, 所以点Q 一共滚动了17周. 所以点Q 运动的路程是17×(2π× 1)=34π. 因为(+2)+(-1)+(-5)+(+4)+ (+3)+(-2)=1, 所以当圆片结束滚动时,相当于向右 滚动了1周,此时点Q 所表示的数是 1×2π=2π. 3. B [解析] 由实数a,b,c,d 在数 轴上的对应点的位置可知,-5< a<-4<-3<b<-2<1<c<2< 3<d<4.所以|a|>|b|.故A错误. 因为ac<0,所以|ac|=-ac.故B正 确.b<d,故C错误.c+d>0,故D 错误. 4. C [解析] 因为0<c<1,所以0< c<1.故 A错误.因为-5<a< -4,-3<b<-2,所以-8<a< -1.所以-2<3a<-1.所以3a> b.故B错误.因为0<c<1,d=4,所 以 d=2.所以c< d.故C正确.因 为4<-a<5,所以 -a>2= d. 故D错误. 5. (1) 因为蚂蚁从点A 沿数轴向右 爬行2个单位长度到达点B, 所以点B 表示的数比点A 表示的数 大2. 因为点A 表示的数为- 2,点B 表 示的数为m, 所以m=-2+2. (2) |m-3|+m+2=|- 2+2- 3|-2+2+2=1+2-2+4=5. 第3章复习 ［知识体系构建］ 正、负 零 没有 无限不循环小数 一一对应 正 负 零 ［高频考点突破］ 典例1 D [解析] 因为 81=9, 9的平方根是±3,所以 81的平方根 是±3. [跟踪训练] 1. 13 [解析] (-13)2=13,13的算术平方根 是 13. 典例2 D [解析] A项,正数的立 方根只有一个,64的立方根是4,故A 不符合题意;B项,负数也有立方根, 故B不符合题意;C项,a也可以为0, 故C不符合题意;D项,3-27= - 327,故D符合题意. [跟踪训练] 2. -5 [解析] 把 x=-216代入,得y= 3-216- (-1)=-6+1=-5. 典例3 -5,3.14,0 21,π2 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71