专题3.3 立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题 3.3 立方根 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）立方根 1 【题型1】根据立方根的定义求立方根 1 【题型2】已知一个数的立方根，求这个数 2 知识点（二）开立方 2 【题型3】利用开立（平）方解方程 2 知识点（三）立方根的性质 2 【题型4】根据立方根的性质求值 2 知识点（四）立方根的规律 3 【题型5】根据立方根的规律求值 3 【题型6】立方根和平方根的综合运算 3 【题型7】立方根的实际应用 4 二．同步练习 4 【基础巩固（18题）】 4 【能力提升（20题）】 6 【中考真题5题】 9 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作平方根，也叫作二次方根。 类似的，我们可以得到立方根的定义： 知识点（一）立方根 一般地，一个数的立方等于，这个数就叫作的立方根，也叫作的三次方根，记作。其中是被开方数，3是根指数，符号“”读作“三次根号”。 【题型1】根据立方根的定义求立方根 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）的立方根是（ ） A．8 B．2 C． D．4 【变式2】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的立方根是 ． 【题型2】已知一个数的立方根，求这个数 【例题2】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则 ． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． （1）求x，y，a的值． （2）求的立方根． 知识点（二）开立方 定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方的运算求一个数的立方根。 【题型3】利用开立（平）方解方程 【例题3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）求下列各式中x的值． （1） （2）． 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期中）若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解是 知识点（三）立方根的性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 【题型4】根据立方根的性质求值 【例题4】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【变式1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得 ， ．    【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）若，则k的值为 ． 知识点（四）立方根的规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 【题型5】根据立方根的规律求值 【例题5】（24-25七年级下·湖南永州·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． （3）类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 【题型6】立方根和平方根的综合运算 【例题6】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【题型7】立方根的实际应用 【例题7】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为 ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一个正方体的体积是，估计这个正方体的棱长在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 5．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 7．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）的立方根是 ． 10．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知则的立方根是 ． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）n为正整数，且，则n的值为 ． 14．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）已知，求的值． （2）求的值． 17．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． （1）求a，b，c的值： （2）求的平方根和立方根． 18．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）的立方根与的平方根之和是（    ） A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列说法：①6是36的平方根；②的算术平方根是；③27的立方根是3；④的平方根是．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．7的算术平方根 B．6的立方根 C．9的平方根 D．8的立方根 8．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 10．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 11．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 12．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 13．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）若，则整数x的最小值为 ． 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 16．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 三、解答题 17．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）计算： （1） （2） 18．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： （1） （2） 19．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 20．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2025·江西·中考真题）化简： 3．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 4．（2025·浙江·中考真题） ． 5．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 3.3 立方根 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）立方根 1 【题型1】根据立方根的定义求立方根 1 【题型2】已知一个数的立方根，求这个数 3 知识点（二）开立方 4 【题型3】利用开立（平）方解方程 4 知识点（三）立方根的性质 5 【题型4】根据立方根的性质求值 5 知识点（四）立方根的规律 6 【题型5】根据立方根的规律求值 6 【题型6】立方根和平方根的综合运算 8 【题型7】立方根的实际应用 9 二．同步练习 11 【基础巩固（18题）】 11 【能力提升（20题）】 19 【中考真题5题】 28 一．知识梳理与题型分类精析 知识回顾： 平方根定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作平方根，也叫作二次方根。 类似的，我们可以得到立方根的定义： 知识点（一）立方根 一般地，一个数的立方等于，这个数就叫作的立方根，也叫作的三次方根，记作。其中是被开方数，3是根指数，符号“”读作“三次根号”。 【题型1】根据立方根的定义求立方根 【例题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查立方根． （1）（2）（3）根据立方根的定义求解即可； 解：（1）； （2） ； （3）． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）的立方根是（ ） A．8 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可． 本题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 解：， 的立方根是2， 的立方根是2， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，再求的立方根． 本题考查了二次根式和完全平方式的非负性，立方根．解题关键是牢记两非负数和为0，即这两个数分别为0． 由可得：求出的值即可求解． 解：由题意得， ，， 解得，， ， 的立方根是， 故答案为：． 【题型2】已知一个数的立方根，求这个数 【例题2】（24-25七年级下·吉林·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根．据此求解即可． 解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义，得出与被开方数，即可得答案． 解：∵， ∴，则． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）已知和是a的两个不同的平方根，是a的立方根． （1）求x，y，a的值． （2）求的立方根． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查的是立方根和平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出x的值，进而可得出a、y的值； （2）先求出的值，再由立方根的定义解答即可． 解：（1）解：∵和是a的两个不同的平方根， ∴， 解得； ∴， ∴； ∵是a的立方根， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴的立方根是． 知识点（二）开立方 定义：求一个数的立方根的运算，叫作开立方。开立方是立方运算的逆运算，可以运用立方的运算求一个数的立方根。 【题型3】利用开立（平）方解方程 【例题3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）求下列各式中x的值． （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了立方根；根据立方根的定义即可得到答案． 解：（1）解： ∴ ∴ （2）解： ∴ 解得： 【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期中）若，，则的值为（    ） A．2或 B．或1 C．6或0 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式求值，立方根和平方根定义，根据算术平方根定义和立方根定义求出或，，是解题的关键． 解：∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当，时，， 当，时，， 综上分析可知，的值为6或0． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义的应用．整理后，利用立方根的定义计算即可． 解：， 整理得， 开方得， 解得． 故答案为：． 知识点（三）立方根的性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 【题型4】根据立方根的性质求值 【例题4】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 【变式1】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得 ， ．    【答案】 3 【分析】根据立方根即可求解． 解：， ， ，， ， 故答案为：3；． 【点拨】本题考查了立方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）若，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】根据零的立方根既可以看作等于其本身，也可以看作等于其相反数求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点拨】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键． 知识点（四）立方根的规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 【题型5】根据立方根的规律求值 【例题5】（24-25七年级下·湖南永州·期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位； （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________． （3）类比上述立方根运算：已知，则___________，___________． 【答案】（1）右；一；（2）；；（3）； 【分析】本题考查数字的变化类、立方根、算术平方根，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值． （1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 解：（1）解：用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右；一； （2）解：∵，结合立方根小数点的规律， ∴，， 故答案为：；； （3）解：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵， ∴，． 故答案为：；． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【答案】B 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动 3 位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动 1 位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 解：∵，，， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 解：∵，， ， 故答案为：． 【题型6】立方根和平方根的综合运算 【例题6】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），；（2）3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【题型7】立方根的实际应用 【例题7】（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体，已知它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可． 解：正方体的体积为， 它的棱长为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）一个正方体的体积是，估计这个正方体的棱长在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根及无理数估算，熟练掌握立方根求法及无理数估算方法是解决问题的关键．先由立方根定义求出正方体的棱长，再通过比较相邻整数的立方确定其范围即可得到答案． 解：设棱长为，则， 故， ，， ，则， 因此，棱长在2和3之间， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． （1）求这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】（1）2；（2）阴影部分的面积为2，边长为；（3）或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 解：（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 二．同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，平方根、立方根的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义逐一判断即可． 解：A、是无限不循环小数，属于无理数，其负数仍为无理数，所以选项A符合题意； B、，是整数，属于有理数，所以选项B不符合题意； C、是分数，属于有理数，所以选项C不符合题意； D、，是整数，属于有理数, ，所以选项D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）如果一个数的平方为64，那么这个数的立方根为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解． 解：∵一个数的平方为， ∴这个数为， 所以的立方根为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 5．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键． 根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解． 解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 解：∵， ∴， 故选：A 7．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级下·上海静安·期末）方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）的立方根是 ． 【答案】2 【分析】该题考查了算术平方根和立方根，先计算，再求立方根即可解答． 解：，8的立方根是2， 故答案为：2． 10．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知则的立方根是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，熟练掌握算术平方根与立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的非负性求得，，进而代入代数式，求得立方根，即可求解． 解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴，的立方根是， 即的立方根是． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东汕头·期中）已知，则，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 解：∵，， ∴； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）n为正整数，且，则n的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了估算无理数．根据，可得，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴n的值为4． 故答案为：4 14．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 ． 【答案】4 【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 本题考查立方根的实际应用，结合已知条件求得每个方块的体积是解题的关键． 解：由题意可得每个方块的体积为， 则其边长为， 故答案为：4． 三、解答题 15．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）（1）已知，求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了立方根和算术平方根； （1）原方程变形为，然后根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义求解即可． 解：（1）， ， ， 解得． （2）． 17．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． （1）求a，b，c的值： （2）求的平方根和立方根． 【答案】（1），，；（2）， 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 解：（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 18．（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知一个数的立方根等于它本身，则这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．或0或1 【答案】D 【分析】本题考查立方根，掌握一个数x的立方等于a，那么x叫a的立方根，表示为是解题的关键． 根据立方根的定义求解即可． 解：设这个数是x，则 ∵，，， ∴或， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）在，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数就是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 解：， 在、、中，无理数有、，共2个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）的立方根与的平方根之和是（    ） A．0 B．6 C．0或－6 D．0或6 【答案】C 【分析】此题考查求一个数的立方根，平方根，化简算术平方根，先求出的立方根，的平方根，再计算加法即可． 解：的立方根是，的平方根是 ∴的立方根与的平方根之和为或， 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 5．（24-25七年级下·北京·期末）如下图，在数轴上，点A表示． 点B表示，则A． B之间表示整数的点共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可． 解：，，即 ，之间表示整数的点有，，，四个， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列说法：①6是36的平方根；②的算术平方根是；③27的立方根是3；④的平方根是．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 解：①6是36的平方根，故正确； ②的算术平方根是0.1，正确； ③27的立方根是3，故正确； ④等于4，4的平方根是，不是，故错误． 因此正确的有个， 故选C． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．7的算术平方根 B．6的立方根 C．9的平方根 D．8的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先根据数轴判断点A对应的数的范围，再根据各选项分别判断各数的范围或求得其具体值，从而可得答案． 解：根据数轴可知点A的位置在1和2之间，且靠近2， 而，，，， ∴只有6的立方根符合题意． 故选：B． 8．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是27，则输出的y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 解：若开始输入的的值是， 则其立方根为，是有理数， 则的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根的定义、立方根的定义解答即可，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 解：， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是．若，两边同时六次方得，解得或（舍去），当时，它的一个平方根1与它的立方根1相等，符合题意； 当时，它没有实数平方根． 综上，这个数是0或1． 故答案为：0或1． 11．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 13．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 解： ， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）若，则整数x的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了立方根和无理数的估算，估算出，再根据，即可求出答案． 解：∵ ∴ ∵， ∵， ∴整数x的最小值为3， 故答案为：3 15．（24-25七年级上·全国·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 【答案】 4 【分析】根据平方根，算术平方根的定义，立方根的应用解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根的定义，立方根的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 解：∵是m的一个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 16．（24-25七年级下·山东临沂·期中）在下列各数中无理数有 个． ，，，，，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）． 【答案】7 【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数就是无限不循环小数进行求解即可． 解：，， 故，，，，，，……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）是无理数， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）利用立方根解方程即可． 解：（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）9；（2）8 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加法即可； （2）先化简绝对值，计算算术平方根，再去括号，最后计算加减即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 19．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）已知的平方根为，的立方根为． （1）求，的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），；（2）5 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，熟练掌握相关计算方法是解题关键． （1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可； （2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可． 解：（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴，， ∴，． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵25的算术平方根为， ∴的算术平方根是5． 20．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）______； （2）若，则______； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】（1）；（2）3；（3），或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 解：（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得． 解：A、，是有理数，则此项符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项不符合题意； D、是无理数，则此项不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键． 二、填空题 2．（2025·江西·中考真题）化简： 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答． 解：∵， ∴． 故答案为2． 3．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 4．（2025·浙江·中考真题） ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 解：， 故答案为：2． 5．（2023·四川内江·中考真题）若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ． 【答案】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点拨】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$