专题特训(四)比较有理数大小的常见方法&专题特训(五)与绝对值有关的常见题型-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

48 专题特训（五）　与绝对值有关的常见题型 ▶ “答案与解析”见P19 类型一 利用绝对值比较大小 1. 下列把-(-1),-23 ,- -45 ,0用“>”连 接起来正确的是 ( ) A. 0>-(-1)>-23>- - 4 5 B. -(-1)>0>- -45 >- 2 3 C. 0>-23>- - 4 5 >- (-1) D. -(-1)>0>-23>- - 4 5 类型二 利用绝对值的非负性求值 2. 已知a-12 + 1 3-b +c- 1 4 =0 ,求a+ b-c的值. 类型三 利用绝对值的几何意义求值 3. (易错题)已知|x-a|=1,|y-a|=2,则 |x-y|的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 1或3 D. 2或3 4. 利用绝对值的几何意义求x的值. (1) |x|=5. (2) |x+1|=4. 类型四 利用绝对值的几何意义或非负性 求最值 答案讲解 5. (核心素养·几何直观)已知|x|的 几何意义是数轴上表示数x的点到 原点的距离,|x-3|的几何意义是 数轴上表示数x 的点到表示数3的点的距 离,|x+2|的几何意义是数轴上表示数x 的 点到表示数-2的点的距离.设S=|x-1|+ |x+1|,则下列四个结论中,正确的是( ) A. S没有最小值 B. 有限个x(不止一个)使S取得最小值 C. 只有一个x使S取得最小值 D. 有无穷个x使S取得最小值 6. 我们知道,|3-1|可理解为3与1两数在数 轴上所对应的两点之间的距离;同理|a+5| 也可理解为a与-5两数在数轴上所对应的 两点之间的距离. (1) 若|x-2|=3,则x= . (2) |x-1|+|x+2|+|x+5|的最小值为 . 7. 根据|x|是非负数,且非负数中最小的数是 0,解答下列问题. (1) 当x 取何值时,|x+3|-6的值最小? 最小值是多少? (2) 当x取何值时,5-|x-2|的值最大? 最 大值是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级上 49 类型五 利用绝对值化简或求值 8. 若2<x<3,则化简|2-x|+|x-3|的结果 是 . 9. 已知数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且 |c|>|b|>|a|,则化简|a+b|-|c-b|+ |a-c|的结果是 . (第9题) 10. 如果a,b,c为整数,|a-b|+(c-a)2024= 1,那么|c-a|+2|a-b|+3|b-c|的值为 . 答案讲解 11. 若a>0,则|a|=a,即 a|a|=1 ;若 a<0,则|a|= -a,即 a|a|= a -a=-1. 已知x,y,z 是有理数,且x+ y+z=0.当xyz<0时,求 x+y |z|+ x+z |y|+ y+z |x| 的值. 12. 已知|a|=6,|b|=3. (1) 若a>0,b<0,求ab 的值. (2) 若|a-b|=a-b,求a-b的值. 类型六 绝对值与新定义结合 13. 在算式x-y-z-m-n(其中x>y>z> m>n)中,对任意相邻的两个字母间添加一 个绝对值符号,添加绝对值符号后仍只有减 法运算,然后进行去绝对值运算,称此为“绝 对操作”.例如:x-y-|z-m|-n=x- y-z+m-n,|x-y|-z-|m-n|=x- y-z-m+n,…,则所有“绝对操作”得到 的不同运算结果的个数为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 答案讲解 14. (新定义)如果实际值为a,测量值 为b,我们把|a-b|称为绝对误差, |a-b| a 称为相对误差.已知一个零 件的实际长度为10.0cm,测量得9.9cm, 则测量所产生的相对误差是 . 类型七 利用绝对值解决实际问题 15. (核心素养·应用意识)某工厂生产一批螺 帽,根据产品质量要求,螺帽的内径可以有 0.02毫米误差.抽查5只螺帽,超过规定内 径的毫米数记为正数,不足规定内径的毫米 数记为负数,抽查结 果 如 下:+0.030, -0.018,+0.026,-0.025,+0.015. (1) 指出哪些产品是符合质量要求的(即在 误差范围内的). (2) 指出符合质量要求的产品中哪只质量 更好,并用绝对值的知识进行说明. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第1章　有 理 数 分位,1.8精确到十分位,故选项A的 说法错误;5.7万精确到千位,故选项 B的说法错误;6.610精确到千分位, 故选项C的说法正确;0.12349精确 到0.001是0.123,故选项D的说法 错误. 8. C [解析] 对于 A,0.05019≈ 0.1(精 确 到 0.1),正 确;对 于 B, 0.05019≈0.05(精确到百分位),正 确;对于C,0.05019≈0.050(精确到 千分位),错误;对于 D,0.05019≈ 0.0502(精确到0.0001),正确. 9. D [解析] 根据取近似数的方法, 得A,B,C的近似数都是85,只有D 的近似数是84. 10. D [解析] 因为数a精确到十分 位的结果是3.6,所以根据取近似数 的方法可知,数a 的最小值为3.55, 且a<3.65.所以数a的取值范围是 3.55≤a<3.65. 11. D [解析] 用四舍五入法对 9.595取近似数(精 确 到0.01)为 9.60,所以①的说法错误.近似数 5.7万精确到千位,所以②的说法 错误. 12. 千分 [解析] 近似数15.6%= 0.156,精确到千分位. 13. 千万 [解析] 3.5亿中末位数字 “5”是千万位,故精确到千万位. 14. 千分 [解析] 9.83s中末位数字 “3”是百分位,因此至少都精确到千分 位才可能分出名次. 15. (1) 9192631770. (2) 9192631770≈9190000000= 9.19×109. 16. 因为300000×3600×24×365≈ 9.46×1012(km), 所以1光年约等于9.46×1012km. 17. 有这种可能. 因为身高在1.55×102cm至1.64× 102cm 都可以说身高约为1.6× 102cm, 所以当甲的身高为1.64×102cm,乙 的身高为1.55×102cm时,甲比乙高 9cm. 18. (1) 设要求轴的长度为am,则 2.795≤a<2.805. (2) 因为2.795≤a<2.805, 所以轴长为2.76m和2.82m的轴都 不符合要求. 所以小王加工的轴不合格. 1.14　用计算器进行计算 1. C 2. B 3. C 4. -63.87 5. (1) 1211.6. (2) 81.54. 6. B [解析] 根据题表中的数据可 知,输出y的值比输入x的值的3倍 大1.所以按的第三个键和第四个键 应分别是“+”和“1”. 7. 99…9︸ n个 600…0︸ n个 4 [解析] 用计算器 计算,得982=9604,9982=996004, 99982=99960004,999982= 9999600004.由此猜想:99…9︸ n个 82= 99…9︸ n个 600…0︸ n个 4. 8. 根据题意,得8年后该地区的耕地 面积 为60×(1-7.5%)8=60× 0.9258≈32.16(万公顷). 所以经过8年,该地区的耕地面积约 还有32.16万公顷. 9. 记两个小铁球的半径分别为R1= 6.87cm,R2=10.56cm,则这两个小 铁球的体积分别为4 3πR 3 1, 4 3πR 3 2. 所以铸成的大铁球的体积为4 3πR 3 1+ 4 3πR 3 2= 4 3π (R31+R32). 所 以 铸 成 的 大 铁 球 的 质 量 为 4 3π (R31+R32)×7.8≈49043.6g, 即铸成的大铁球的质量约为49043.6g. 专题特训（四）　比较有理数 大小的常见方法 1. (1) 因为-[-(-6)]=-6, |-5|=5,5>-6, 所以|-5|>-[-(-6)]. (2) 因为 -213 =2 1 3 ,-136 = 13 6=2 1 6 ,213>2 1 6 , 所以-213<- 13 6. 2. 因为a>0,b<0,且|b|<a, 所以将a,-a,0,b,-b表示在数轴 上如图所示. 所以-a<b<0<-b<a. (第2题) 3. 根据题意, ① 假设a=2,b=-3,则|a+b|< |a-b|=|a|+|b|; ② 假设a=-2,b=3,则|a+b|< |a-b|=|a|+|b|. 所以|a+b|<|a-b|=|a|+|b|. 4. 因为-1731- - 52 93 =-5193+ 52 93= 1 93>0 , 所以-1731>- 52 93. 5. 因为 - 172025 = 17 2025 , - 344071 = 34 4071 ,17 2025÷ 34 4071= 17 2025× 4071 34 = 4071 4050>1 , 所以 - 172025 > - 34 4071 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 所以- 172025<- 34 4071. 6. 因为1012 2025< 1012 2024= 1 2 ,1013 2024> 1012 2024= 1 2 , 所以1012 2025< 1013 2024. 7. 因为 -1111111 = 111 1111 , - 1111111111 = 1111 111111 ,1111 111= 1110+1 111 =10+ 1 111 ,111111 1111 = 111100+11 1111 =100+ 11 1111 , 所以 -1111111 > - 1111 111111 . 所以-1111111<- 1111 111111. 8. 因 为5559 5555=1 4 5555 ,2029 2025= 1 42025 ,5555>2025, 所以 4 5555< 4 2025. 所以1 45555<1 4 2025 , 即5559 5555< 2029 2025. 所以-55595555>- 2029 2025. 专题特训（五）　与绝对值 有关的常见题型 1. D 2. 根据题意,得a-12=0 ,1 3-b= 0,c-14=0. 所以a=12 ,b=13 ,c=14. 所以a+b-c=12+ 1 3- 1 4= 7 12. 3. C [解析] 因为|x-a|=1,|y- a|=2,所以数轴上表示数x 的点到 表示数a 的点的距离为1,表示数y 的点到表示数a的点的距离为2.所 以数轴上表示数x 的点到表示数y 的点的距离为1或3,即|x-y|的值 为1或3. 4. (1) 因为在数轴上与原点距离为 5的点所表示的数为-5或5, 所以x的值为5或-5. (2) 因为在数轴上与-1对应的点的 距离为4的点所表示的数为3或-5, 所以x的值为3或-5. 5. D [解析] 因为S=|x-1|+ |x+1|,所以S为数轴上表示数x的 点到表示数1的点的距离与表示数x 的点到表示数-1的点的距离之和. 所以S的最小值是2.因为当x 取数 -1到1之间的任意一个值时,S 都 能取到最小值2,所以有无穷个x 使 S取得最小值. 6. (1) -1或5 (2) 6 [解析] 因为|x-1|+|x+ 2|+|x+5|的几何意义为数轴上表 示x的点到表示1,-2,-5的点的距 离之和,所以当x=-2时,|x-1|+ |x+2|+|x+5|的值最小.所以|x- 1|+|x+2|+|x+5|的最小值为 |-2-1|+0+|-2+5|=3+0+3=6. 7. (1) 要使|x+3|-6的值最小,则 |x+3|的值最小. 因为|x+3|是非负数, 所以其最小值是0. 所以x+3=0,则x=-3. 所以|x+3|-6的最小值为-6. 所以当x=-3时,|x+3|-6的值最 小,最小值是-6. (2) 要使5-|x-2|的值最大,则 |x-2|的值最小. 因为|x-2|是非负数, 所以其最小值是0. 所以x-2=0,则x=2. 所以5-|x-2|的最大值是5. 所以当x=2时,5-|x-2|的值最 大,最大值是5. 8. 1 [解析] 因为2<x<3,所以 2-x<0,x-3<0.所以|2-x|+ |x-3|=x-2+3-x=1. 9. 2a [解析] 由数轴,得c<a<0, b>0,|b|>|a|.所以a+b>0,c- b<0,a-c>0.所以|a+b|-|c- b|+|a-c|=a+b-(b-c)+a- c=a+b-b+c+a-c=2a. 10. 4或5 [解析] 因为a,b,c为整 数,所以|a-b|与 (c-a)2024 为非负 整数.因为|a-b|+(c-a)2024=1, 所以|a-b|=0,(c-a)2024=1或 |a-b|=1,(c-a)2024=0.当|a-b|= 0,(c-a)2024=1时,a=b,c-a= ±1,所以c-b=±1.所以|c-a|+ 2|a-b|+3|b-c|=1+2×0+3× 1=4.当|a-b|=1,(c-a)2024=0 时,a=c,a-b=±1,所以c-b= ±1.所以|c-a|+2|a-b|+3|b-c|= 0+2×1+3×1=5.综上所述,所求值 为4或5. 11. 因为x+y+z=0,xyz<0, 所以x+y=-z,x+z=-y,y+ z=-x. 当x<0,y>0,z>0时, 原式=-z|z|+ -y |y|+ -x |x|=-1-1+ 1=-1; 当y<0,x>0,z>0时, 原式=-z|z|+ -y |y|+ -x |x|=-1+1- 1=-1; 当z<0,x>0,y>0时, 原式=-z|z|+ -y |y|+ -x |x|=1-1- 1=-1. 综上所述,所求值为-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 12. (1) 因为|a|=6,|b|=3,a>0, b<0, 所以a=6,b=-3. 所以a b= 6 -3=-2. (2) 因为|a|=6,|b|=3, 所以a=±6,b=±3. 因为|a-b|=a-b, 所以a-b≥0. 所以a=6,b=3或a=6,b=-3. 所以a-b=6-3=3或a-b=6- (-3)=9. 所以a-b的值为3或9. 13. C [解析] 当添加一个绝对值符 号时,共有4种情况,分别是|x-y|- z-m-n=x-y-z-m-n;x- |y-z|-m-n=x-y+z-m-n; x-y-|z-m|-n=x-y-z+m- n;x-y-z-|m-n|=x-y-z- m+n.当添加两个绝对值符号时,共 有3种情况,分别是|x-y|-|z-m|- n=x-y-z+m-n;|x-y|-z- |m-n|=x-y-z-m+n;x-|y- z|-|m-n|=x-y+z-m+n.共 有7种情况,其中有2对计算结果相 同,所以得到的不同运算结果的个数 为5. 14. 0.01 [解析] 由题意,可得相对 误差为|10.0-9.9| 10.0 =0.01. 15. (1) 因为|+0.030|=0.030> 0.02,|-0.018|=0.018<0.02, |+0.026|=0.026>0.02,|-0.025|= 0.025>0.02,|+0.015|=0.015< 0.02, 所以内径误差为-0.018毫米和 +0.015毫米的这两只螺帽是符合质 量要求的. (2) 因为|+0.015|<|-0.018|, 所以内径误差为+0.015毫米的这只 螺帽质量更好. 第1章复习 ［知识体系构建］ 分数 单位长度 大 正负 本身 相反数 相同 绝对值较大 相反数 同号 异号 1 同号 异号 正数 负数 ［高频考点突破］ 典例1 ④ [解析] 若|a|=|b|,则 a=b或a=-b,故①不正确;若a,b 互为倒数,则ab=1,但ab 不一定为 1,故②不正确;若|a|=a,则a≥0,故 ③不正确;若a+b=0,则a,b互为相 反数,故④正确.综上所述,正确的只 有④. [跟踪训练] 1. D [解析] A. 根据 倒数的定义,0没有倒数,-1和1的 倒数等于本身,则A不正确,故A不 符合题意.B. 在数轴上离原点越远的 数的绝对值越大,则B不正确,故B 不符合题意.C. 两个正数中,较大的 那个数的绝对值较大,则C不正确, 故C不符合题意.D. 相反数等于本身 的数是0,则D正确,故D符合题意. 典例2 C [解析] -(-1)=1, (-0.2)2=0.04,-|-3|=-3.因为 3>13 ,所以-3<-13<0.04<1 ,则 最小的数为-|-3|. [跟踪训练] 2. C [解析] 对于A, 因为 - -110 =- 1 10 ,- -29 = 2 9 ,-110< 2 9 ,所 以 - -110 < - -29 ,故A不符合题意.对于B, 因为- -37 = 37,37 <2,所以 - -37 <2,故B不符合题意.对于 C,因为0.01<1,所以-0.01>-1, 故C符合题意.对于D,因为23= 8 12 , 3 4= 9 12 ,8 12< 9 12 ,所以-23>- 3 4 , 故D不符合题意. 典例3 C [解析] 由题图可知,m< n<0.所以0<-n=|n|<|m|.所以 选项C符合题意. [跟踪训练] 3. A [解析] 如图,易 得|b|>a>-a>b. (第3题) 典例4 B [解析] 因为186000是 6位数,所以186000=1.86×105. [跟踪训练] 4. C [解析] 因为 1亿=108,所以4.59亿=4.59×108. 典例5 B [解析] 近似数43.0精确 到十分位,故①错误;近似数4.3万精 确到千位,故②正确;近似数2.80与 2.8表示的意义不相同,故③错误;近 似数2.80×104 精确到百位,故④错 误.综上所述,正确的个数是1. [跟踪训练] 5. 1.2×109 典例6 (1) 原式=-23- 1 3- 3 4+ 1 4=-1- 1 2=- 3 2. (2) 原式=-357× 237-11+ 147 =-267×(-7)=26. (3) 原 式= 59 × (-36)- 34 × (-36)+118× (-36)+1-2+5- 5=-20+27-2+1-2+5-5=4. (4) 原式=494+ 13 2×16÷ (-8- 4)+34=4 1 3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02