2.6.1 有理数的乘方-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（苏科版2024）

34 2.6　有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 ▶ “答案与解析”见P11 1. 关于(-5)3和-53,下列说法中正确的是 ( ) A. 它们的底数相同,指数也相同 B. 它们的底数相同,但指数不相同 C. 它们所表示的意义相同,但运算结果不相同 D. 它们的底数不同,但运算结果相同 2. 有下列各数:(-3)3,-(-3),(-3)2,-32, -|-3|.其中,负数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各对数中,数值相等的是 ( ) A. -28与(-2)8 B. (-3)7与-37 C. -3×23与-33×2 D. -(-2)3与-(-3)2 4. (1) 如果一个数的平方等于36,那么这个数 是 . (2) 的平方等于814. 5. 计算: (1) 53. (2) (-3)4. (3) -23 3 ×9. (4) -23÷(-3)2. (5) -14 3 ×(-4)2÷(-1)11. (6) (-2)2-(-3)3+42-(-5)2. 6. 如果一个有理数的偶数次幂为正数,那么这 个有理数 ( ) A. 一定是正数 B. 是正数或负数 C. 一定是负数 D. 可以是任何数 7. ★任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分 裂”成m 个连续奇数的和,如23=3+5,33= 7+9+11,43=13+15+17+19,….若m3的 “分裂数”中有一个数是119,则m 的值为 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. (易错题)若|a|=3,b2=4,且a+b>0,则 a-b的值是 . 9. 已知负数a的平方等于4,b的绝对值等于5, 若|a-b|=a-b,则ab= . 答案讲解 10. (新情境)将一张长方形的纸按如 图所示的方式对折,对折时每次的 折痕与上次的折痕保持平行,第一 次对折后可得到1条折痕(图中虚线),第二 次对折后可得到3条折痕,第三次对折后得 到7条折痕……第七次对折后得到的折痕 共有 条. (第10题) 11. 某种细菌在培养过程中,每半小时分裂1次 (由1个分裂成2个),若这种细菌由1个分 裂为256个,则这个过程要经过 小时. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级上 35 12. 计算: (1) -22-(-2). (2) -23-32÷112 . (3) (-2)2-(-22)+(2×3)2-2×32. (4) -112 ×229-(-1.2)2÷(-0.4)2. 13. 已知M(1)=-2,M(2)=(-2)×(-2),M(3)= (-2)× (-2)× (-2),…,M(n)= (-2)×(-2)×…×(-2)􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁 n个 (n为正整数). (1) 求2M(2023)+M(2024)的值. (2) 猜想2M(n)与 M(n+1)的关系,并说明 理由. 14. 将七年级的500名同学从1到500编号,并 按编号从小到大的顺序站成一排报数1,2, 3,…,报到奇数的退下,偶数的留下,留下的 同学从编号小的开始继续报数1,2,3,…, 报到奇数的退下,偶数的留下……如此继 续,最后留下一名同学,则最后留下的这名 同学的编号是 . 答案讲解 15. 数学兴趣小组在合作学习过程中, 获得知识的同时,也提出了新的问 题.例如:根据an=b,知道a 和n 的值,可以求b的值,如果知道a和b的值, 可以求n的值吗? 他们为此进行了研究,并 规定:若an=b,则f(a,b)=n.例如:若 23=8,则f(2,8)=3.根据他们的研究结 果,完成下列各题: (1) 填空:f(3,27)= ,f(4,16)= . (2) 计算:f(-3,-27)-f(-5,625)= . (3) 若f(a,-32)=5,f(4,b)=3,则f(a,b) 的值是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　有 理 数 14. 256 [解析] 观察图形,可得这七 个数,有的数被乘了1次,有的数被乘 了2次,有的数被乘了3次.因为要使 得每个圆内部的四个数之积相等且最 大,所以-8,-8必须放在被乘2次 的位置.与-8,-8同圆的只能为 -1,-4,其中-4放在中心位置,如 图所示.所以m=(-8)×(-8)× (-1)×(-4)=256. (第14题) 15. (1) 乙. (2) 方法不唯一,如原式= -100+ 1 72 ×36=-100×36+172×36= -3600+12=-3599 1 2. 解答简便运算类问题的 一般方法 解决这类题时,要根据算式特 征来决定运用乘法结合律、乘法交 换律还是乘法分配律,本题可以用 小组甲的方法直接进行运算求得 结果,也可以用小组乙的方法将 -997172 看成-99-7172 ,再运用乘 法分配律,还可以将-997172 看成 是-100+172 后,再运用乘法分配律. 第3课时 有理数的除法 1. C 2. A 3. (1) 7 (2) -364 (3) 23 9 (4) 1 4. -23 5. (1) -163. (2) -52. (3) 7 3. (4) -53. 6. D [解析] 由题意,可得此处距离 地面的高度是[21-(-39)]÷6×1= 10(km). 7. D 8. B 9. -53 10. < [解析] 由a b >0 ,可知a,b 同号;由b c <0 ,可知b,c异号.所以 a,c异号,即ac<0. 11. (1) -135 [解析] 由题意,得这 个等比数列的公比为-15÷5=-3, 所以45×(-3)=-135.故第四项 为-135. (2) -5 40 [解析] -20÷10= -2,10÷(-2)=-5,(-20)× (-2)=40,故第一项是-5,第四项 是40. 12. (1) 4712. (2) -1. (3) 1. (4) -1. 13. (1) 一. (2) 原式的倒数= 16-314+23- 2 7 ÷ -142 = 16-314+23- 2 7 ×(-42)=16×(-42)-314× (-42)+ 23 × (-42)- 27 × (-42)=-14. 所以原式=-114. 14. -1 [解析] 因为|a| a + b b + |c| c =1 ,所以a,b,c中有一个为负 数,另外两个为正数.所以|abc|abc = -1. 15. 观察要求的式子,可以发现a,b, c任意交换位置对结果没有影响,于 是可以按a,b,c三个数中正、负数的 个数进行分类讨论. ① 当a,b,c三个数中有两个正数、一 个负数时,不妨设a<0,b>0,c>0, 则 原 式 = ab-ab + bc bc + ac -ac + abc -abc=-1+1+ (-1)+(-1)= -2. ② 当a,b,c三个数中有一个正数、两 个负数时,不妨设a<0,b<0,c>0, 则原式=abab+ bc -bc+ ac -ac+ abc abc= 1+(-1)+(-1)+1=0. ③ 当a,b,c三个数都是负数,即a< 0,b<0,c<0时, 原式=abab+ bc bc+ ac ac+ abc -abc=1+1+ 1+(-1)=2. ④ 当a,b,c三个数都是正数,即a> 0,b>0,c>0时, 原式=abab+ bc bc+ ac ac+ abc abc=1+1+ 1+1=4. 综上 所 述,ab |ab|+ bc |bc|+ ac |ac|+ abc |abc| 的值为-2或0或2或4. 2.6　有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 1. D 2. C 3. B 4. (1) 6或-6 (2) ±92 5. (1) 125. (2) 81. (3) -83. (4) -89. (5) 1 4. (6) 22. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 6. B [解析] 因为正数的任何次幂 都是正数,负数的偶数次幂是正数,所 以如果一个有理数的偶数次幂为正 数,那么这个有理数是正数或负数. 7. B [解析] 因为23=3+5,33= 7+9+11,43=13+15+17+19,…, 所以 m3“分 裂”后 的 第 一 个 数 是 m(m-1)+1,共有m 个奇数.10× (10-1)+1=91,91+(10-1)×2= 109,109<119,不符合题意,舍去; 11×(11-1)+1=111,111+(11- 1)×2=131,111<119<131,符合题 意;12×(12-1)+1=133,133>119, 不符合题意,舍去.所以奇数119是 113的一个“分裂数”.所以m=11. 探寻规律性问题的一般方法 解决这类规律性问题的一般 方法是从所给的特殊例子中探寻 一般性的内在规律.本题通过观察 “分裂”等式就会发现:等式右边最 小的奇数可以表示为3=2×(2- 1)+1,7=3×(3-1)+1,13=4× (4-1)+1,所以m3“分裂”后的第 一个数是m(m-1)+1. 8. 1或5 9. 10 [解析] 因为负数a的平方等 于4,b的绝对值等于5,所以a=-2, b=±5.当a=-2,b=5时,a- b=-2-5=-7.当a=-2,b=-5 时,a-b=-2-(-5)=-2+5=3. 因为|a-b|=a-b,所以a=-2, b=-5.所以ab=(-2)×(-5)= 10. 10. 127 [解析] 因为第一次对折后 可得到的折痕条数为1=21-1,第二 次对折后可得到的折痕条数为3= 22-1,第三次对折后可得到的折痕条 数为7=23-1……所以第七次对折 后可得到的折痕条数为27-1= 128-1=127. 11. 4 [解析] 由题意,可得256= 28,所以分裂了8次.因为每半小时分 裂1次,所以这个过程要经过4小时. 12. (1) -2. (2) -14. (3) 26. (4) -1213. 13. (1) 2M(2023)+M(2024)=2× (-2)2023 + (- 2)2024 = 2 × (-2)2023+2×22023=0. (2) 2M(n)与M(n+1)互为相反数. 理由:因为2M(n)=2×(-2)n = -(-2)×(-2)n =-(-2)n+1, M(n+1)=(-2)n+1, 所以2M(n)=-M(n+1). 所以2M(n)与M(n+1)互为相反数. 14. 256 [解析] 由题意,得经过 n轮后(n 为正整数),剩下同学的编 号为2n.因为2n<500,28=256,29= 512,所以n<9.所以当最后留下一名 同学时,n=8,即这名同学的编号是 28=256. 15. (1) 3;2. [解析] 因为33=27, 42=16,所以f(3,27)=3,f(4, 16)=2. (2) -1. [解析] 因为(-3)3= -27,(-5)4=625,所以 f(-3, -27)=3,f(-5,625)=4.所以 f(-3,-27)-f(-5,625)=3- 4=-1. (3) 因为(-2)5=-32,43=64, 所以f(-2,-32)=5,f(4,64)=3. 所以a=-2,b=64. 又因为(-2)6=64, 所以f(-2,64)=6,即f(a,b)=6. 第2课时 科学记数法 1. C 2. C 3. (1) 2.345×106 (2) 2.8×107 4. 1260000 5. (1) (9.6×106)×(1.5×105)= (9.6×1.5)×(106×105)=1.44× 1012(吨). 所以一年内我国土地从太阳获得的能 量相当于燃烧1.44×1012 吨煤释放 的能量. (2) (1.44×1012)×(8×103)= (1.44×8)×(1012×103)=1.152× 1016(千瓦·时). 所以 (1)中 的 煤 大 约 可 以 发 出 1.152×1016千瓦·时的电. 6. C [解析] 60×2.5×103×10× (36÷9)=6×106(转),所以小齿轮的 转速为10小时6×106转. 7. B [解析] 3×105×5×102= 150000000=1.5×108(km),所以地 球与太阳之间的距离约是1.5× 108km. 8. 8 [解析] 因为316900000= 3.169×108 =3.169×10n,所 以 n=8. 9. 284.4 [解析] 2.844×107 米/ 时 =28 440 000米/时,100 千 米/ 时=100 000米/时.28440000÷ 100000=284.4.所以这颗人造卫星 的速度是这辆汽车的284.4倍. 还原科学记数法表示的数 进行计算 将a×10n 表示的数还原成用 通常方法表示的数,就是把a的小 数点向右移动n 位所得到的数.把 一个数表示成科学记数法的形式 及把用科学记数法表示的数还原 是两个互逆的过程. 10. 5.85×1012 [解析] 1.3×108× 4.5×104=5.85×1012(元). 11. (1) 1.1×105×24=2.64× 106(km), 所以 地 球 公 转 一 天 运 行 2.64× 106km. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21