2.1.2 代数式及列代数式-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（华东师大版2024）

56 第2课时 代数式及列代数式 ▶ “答案与解析”见P22 1. 在式子n-3,a2b3,m+s<2,1+80%t, -xy,S=ab中,代数式的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 有三个连续奇数,若中间的一个数为n,则这 三个连续奇数之积为 ( ) A. n(2n+1)(2n-1) B. n(n+2)(n-2) C. n(n+2) D. n(n-2) 3. 商店钢笔每支a元,铅笔每支b元,小明买了 3支钢笔和2支铅笔,应付 元. 4. 两片棉田,一片有m 公顷,平均每公顷产棉 花akg;另一片有n公顷,平均每公顷产棉花 bkg,则用代数式表示两片棉田上棉花的总 产量为 kg. 5. 用代数式表示: (1) m 的倒数的3倍与 m 的平方的差的 50%(m≠0). (2) x的14 与y的差的 1 4. (3) 甲数a与乙数b的差除以甲、乙两数乘 积的商. (4) a,b两数的平方差除以a,b两数之和的 平方的商. 6. 甲、乙两人从同一地点出发,甲每小时走 s1km,乙每小时走s2km(s1>s2). (1) 同向行走th,两人相距多少千米? (2) 反向行走th,两人相距多少千米? 答案讲解 7. 有下列代数式:① 113x 2y;② ab÷ c3;③ 2m n ;④ a2-b2 5 ;⑤ 2(m+n); ⑥ mb·4;⑦ a-3km.其中,符合代数式书 写要求的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 下列说法中,所列代数式错误的为 ( ) A. 表示“比a与b的积的2倍小5的数”的 代数式为2ab-5 B. 表示“a与b的平方差的倒数”的代数式为 1 a-b2 C. 表示“被5除商是a、余数是2的数”的代 数式为5a+2 D. 表示“数a的一半与数b的3倍的差”的 代数式为a 2-3b 9. 已知A,B两地相距50km,甲、乙两人分别从 A,B两地同时出发,相向而行,速度分别为 xkm/h,ykm/h.当甲、乙两人第二次相距 a(a<50)km时,行驶时间为 h. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)七年级上 57 10. 某学校食堂有煤m 吨,计划每天用煤n吨, 在实际使用过程中每天节约了a吨,则这批 煤实际比计划多用的天数用代数式表示为 . 11. 用代数式表示: (1) a的2倍与b的一半之和的平方,减去 a,b两数的平方和的2倍. (2) 314 与x之积与3除y的商的和. (3) 甲、乙两数之和是25,甲数为a,求比乙 数的2倍小7的数的立方. 答案讲解 12. 某市实行居民峰谷用电,居民家 庭在 高 峰 时 段 用 电 的 电 价 为 0.55元/(千瓦·时),在低谷时段 用电的电价为0.35元/(千瓦·时).若某户 居民某月用电100千瓦·时,其中高峰时段 用电x千瓦·时,请用含x 的代数式表示 该户居民当月应缴纳的电费. 答案讲解 13. (核心素养·应用意识)在某快车 新的计价规则中,车费为“总里程 费+总时长费”,不同时段收费标 准不同,具体收费标准如下表(若车费不足 起步价,则按起步价收费): 时间段 里程费/ (元/千米) 时长费/ (元/分) 起步价/ 元 06:00~ 10:00 1.80 0.80 14.00 10:00~ 17:00 1.45 0.40 13.00 17:00~ 21:00 1.50 0.80 14.00 21:00~ 06:00 2.15 0.80 14.00 (1) 小明早上7:10乘坐快车上学,行车里 程为6千米,行车时间为10分钟,则应付车 费多少元? (2) 小云17:10放学后乘坐快车回家,行车 里程为2千米,行车时间为12分钟,则应付 车费多少元? (3) 下晚自习后小明乘坐快车回家,20:45 在学校上车,由于堵车,车的平均速度是a千 米/时,15分钟后走另外一条路回家,车的平 均速度是b千米/时,5分钟后到家,则应付 车费多少元(用含a,b的代数式表示)? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　整式及其加减 就成为一个三位数,所以这个三位数 可表示为100b+a. 9. (3a+4b) [解析] 因为小红购买 灰色珠子的费用为3a元,购买白色珠 子的费用为4b元,所以共花费(3a+ 4b)元. 10. (a+b)(a-b)=a2-b2 11. (1) 标号为7的鞋的尺 码 是 2312+6× 1 2=26 1 2 (cm). (2) 标号为m 的鞋的尺码(1≤m≤ 14)是 2312+ 1 2 (m-1) cm. 12. (1) 因为13+23=32=(1+2)2, 13+23+33=62=(1+2+3)2,13+ 23+33+43=102=(1+2+3+4)2, 所以13+23+33+43+53=(1+2+ 3+4+5)2=152,13+23+33+43+ 53+63=(1+2+3+4+5+6)2= 212(答案不唯一). (2) 由(1),可得13+23+33+…+ n3= (1+2+3+ … +n)2 = n(n+1) 2 2 . 用字母表示等式变化规律的步骤 先从简单的已知数量关系入 手,抓住随着“行数”或“序号”增加 时,等式左边的加数在数量上的变 化规律,找出等号右边数量上的变 化规律,从而推出一般性的结论, 进而用字母表示出这个一般性的 结论并验证. 13. D [解析] 当a为非正数时,-a 为非负数,故选项A的说法错误;当a 为非正数时,a≤0,故选项B的说法 错误;当a为0时,|a|=0,不是正数, 故选项C的说法错误;无论a为何有 理数,a2+1一定表示正数,故选项D 的说法正确. 14. (-1)n·a 3n-1 n2+1 [解析] 因为第 1个数为(-1)1·a 3×1-1 12+1 ,第2个数为 (-1)2·a 3×2-1 22+1 ,第3个数为(-1)3· a3×3-1 32+1 ,第4个数为(-1)4·a 3×4-1 42+1 ,…, 所以这列数中的第n个数是(-1)n· a3n-1 n2+1. 代数式的规律探究题解题方法 可从三个方面进行分析:① 系 数符号的规律,当系数中存在“-” 号且间隔出现时,通常用(-1)n 或 (-1)n-1 或(-1)n+1 来 表 示; ② 系数绝对值的规律,通常寻找系 数绝对值与序号的关系;③ 字母及 其指数的规律,通常侧重于找指数 与序号的关系. 15. (1) 20242=2023+20232+ 2024. (2) n2=(n-1)+(n-1)2+n. 第2课时 代数式及列代数式 1. D 2. B 3. (3a+2b) 4. (am+bn) 5. (1) 50% 3m-m 2 . (2) 1 4 1 4x-y . (3) a-b ab . (4) a2-b2 (a+b)2. 6. (1) 根据题意知,两人相距(s1- s2)tkm. (2) 根据题意知,两人相距(s1+ s2)tkm. 7. C [解析] ① 在113x 2y 中, 113 应 写 成 假 分 数 的 形 式,即 为 4 3x 2y;② ab÷c3 出现了除法运算, 应写 成 分 数 的 形 式,即 写 成ab c3 ; ⑥ mb·4应写成4mb;⑦ a-3km应 写成(a-3)km.易知③④⑤符合代数 式书写要求,共3个. 8. B [解析] 对于A,表示“比a与b 的积的2倍小5的数”的代数式为 2ab-5,故A不符合题意;对于B,表 示“a与b的平方差的倒数”的代数式 为 1 a2-b2 ,故B符合题意;对于C,表 示“被5除商是a、余数是2的数”的 代数式为5a+2,故C不符合题意;对 于D,表示“数a的一半与数b的3倍 的差”的代数式为a 2-3b ,故D不符 合题意. 9. 50+a x+y [解析] 由题意可知,当 甲、乙两人第二次相距akm时,两人 所行驶的路程之和为(50+a)km.因 为两人的速度之和为(x+y)km/h, 所以行驶的时间为50+a x+yh. 10. m n-a- m n [解析] 由题意,得这 批煤计划用m n 天,实际用 m n-a 天,所 以这批煤实际比计划多用的天数为 m n-a- m n . 11. (1) 2a+12b 2 -2(a2+b2). (2) 13 4x+ y 3. (3) [2(25-a)-7]3. 12. 由题意可知,该户居民当月应缴 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 纳的电费为[0.55x+0.35(100- x)]元. 13. (1) 因为1.8×6+0.8×10= 18.8(元),18.8>14, 所以应付车费18.8元. (2) 因 为 1.5×2+0.8×12= 12.6(元),12.6<14, 所以应付车费14元. (3) 由题意,得1.5×14a+0.8× 15+2.15× 112b +0.8×5= 16+38a+ 43 240b 元. 所以应付车费 16+38a+ 43 240b 元. 2.2　代数式的值 1. A 2. A 3. 7 4. (1) 当x=12 ,y=-3时,原式= 16× 12 2 +(-3)=16×14-3= 4-3=1. (2) 当a=2,b=-1,c=3时,原式= 3-(-1)2 2×2+(-1)= 2 3. 5. (1) 乘坐A型出租车需付[10+ 1.2(x-3)]元,乘坐B型出租车需付 [8+1.4(x-3)]元. (2) 当x=10时,10+1.2(x-3)= 10+1.2×7=18.4(元),8+1.4(x- 3)=8+1.4×7=17.8(元). 因为18.4>17.8, 所以从节省费用的角度出发,老王应 乘坐B型出租车. 6. D [解析] 对于A,把a=-5代 入,得原式=-10+3=-7;对于B, 把a=-5代入,得原式=-52- 1=-72 ;对于C,把a=-5代入,得 原式=15×25+10-10=5 ;对于D, 把a=-5代入,得原式=7×25-1005 = 15.因为-7<-72<5<15 ,所以当 a=-5时,代数式7a 2-100 5 的值 最大. 7. B [解析] 当x=2时,代数式 ax3+bx+1的值为6,则8a+2b+ 1=6,所以8a+2b=5.所以-8a- 2b=-5,则当x=-2时,ax3+bx+ 1=(-2)3a-2b+1=-8a-2b+ 1=-5+1=-4. 8. A [解析] 9-2y-4x=9- 2(2x+y)=9-2×(-6)=21. 9. 220 [解析] U=IR1+IR2+ IR3=I(R1+R2+R3).当 R1= 19.7,R2 =32.4,R3 =35.9,I= 2.5时,U=2.5×(19.7+32.4+ 35.9)=220. 10. -25或23 [解析] 由题意可知, a+b=0,cd=1,x=12或x=-12. 当x=12时,原式=(-1)2025+3× 0-2×12=-1+0-24=-25;当 x=-12时,原式=(-1)2025+3× 0-2×(-12)=-1+0+24=23.所 以所求代数式的值为-25或23. 11. 132 [解析] 当输入n 的值为 -3时,(-3)2-(-3)=9+3=12< 29,返回继续运算,得122-12= 144-12=132>29,输出结果. 12. (1) 当x=0时,ax3+bx+c= a×0+b×0+c=c, 所以c的值是5. (2) 由题意,得a+b+5=3,即a+ b=-2, 所以-(a+b)=2. 所以-a-b的值为2. 13. (1) (2ab-πb2). (2) 由题意可知,美化这块长方形空 地共需[100πb2+50(2ab-πb2)]元. 当a=7,b=2,π取3时,100πb2+ 50(2ab-πb2)=100×3×4+50× (28-4×3)=2000, 所以 美 化 这 块 长 方 形 空 地 共 需 2000元. 14. B [解析] 令x=-1,则(x- 1)3=-a+b-c+d=-8,两边同乘 以-1,得a-b+c-d=8. 15. B [解析] 开始输入x 的值为 15,第1次输出的结果为15+3=18, 第2次输出的结果为12×18=9 ,第 3次输出的结果为9+3=12,第4次 输出的结果为1 2×12=6 ,第5次输 出的结果为1 2×6=3 ,第6次输出的 结果为3+3=6,第7次输出的结果 为1 2×6=3 ,….所以从第4次开始, 输 出 的 结 果 按 6,3 循 环.因 为 (2025-3)÷2=1011,所 以 第 2025次输出的结果为3. 16. (1) 1;14. (2) 2;当x 的值每增加1时,3x+ 8的值就增加3. (3) 由题意,得符合条件的代数式 为-5x+6. 专题特训（六）　代数式 与规律探索 1. B [解析] 因为1=2×1-112 , 3 4= 2×2-1 22 ,5 9= 2×3-1 32 ,…,所以 第n个数为2n-1n2 . 2. 2n+1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32