2.1.4 代数式的值&专题特训(三)整式中用字母表示规律的常见题型-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级上册数学（沪科版2024）

42 第4课时 代数式的值 ▶ “答案与解析”见P13 1. (2023·无锡)当a=2,b=-3时,代数式 (a-b)2+2ab的值为 ( ) A. 13 B. 27 C. -5 D. -7 2. 当x 的值分别为2和-2时,多项式x6+ 3x2-5的值 ( ) A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D. 无法比较大小 3. (跨学科融合·物理)人们常用C 表示摄氏温 度(℃),F 表示华氏温度(℉),C 与F 之间的 关系为C=59 (F-32).当华氏温度为59℉ 时,摄氏温度为 ( ) A. -15℃ B. 15℃ C. 112.6℃ D. 95.8℃ 4. 某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s) 之间的关系为h=-52t 2+30t+1.当t=3 时,这种礼炮的升空高度为 m. 5. (2024·广安)若x2-2x-3=0,则2x2- 4x+1= . 6. 如图所示为一块长为b米、宽为2a米的长方 形草地,现计划在这块长方形草地的四个顶 点处分别修建一个半径为a米的扇形花台. (1) 求修建后剩余草地(涂色部分)的面积 (用含a,b的式子表示). (2) 当a=10,b=40时,修建后剩余草地的 面积约是多少平方米(参考数据:π≈3.14)? (第6题) 7. 按如图所示的程序计算.若输入x的值为3, 则输出的结果为 ( ) (第7题) A. 6 B. 21 C. 156 D. 231 答案讲解 8. (2024· 重 庆 模 拟)当x=1时, ax3+bx+3=5.当x=-2时,多项 式ax2-2bx-2的值为 . 答案讲解 9. (2023·滨州期末)为迎接新生,某 中学计划添置100张课桌和x 把椅 子(x>100).现经调查发现,某家具 厂的每张课桌的定价为200元,每把椅子的 定价为80元,而厂方在开展促销活动期间, 向客户提供了两种优惠方案: 方案一:每买1张课桌就赠送1把椅子; 方案二:课桌和椅子都按定价的80%付款. (1) 用含x的代数式分别表示方案一与方案 二的付款额. (2) 当x=300时,该中学选择哪种方案更 省钱? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级上 43 专题特训（三）　整式中用字母表示规律的常见题型▶ “答案与解析”见P14 类型一 与数有关的规律探究 1. (2023·合肥期末)在数a1,a2,a3,…,an 中, a1=7,a2=1,从第三个数开始,每一个数都 等于它前两个数之积的个位上的数字,则这 一列数中的第2024个数是 ( ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 2. 观察下列数:-12 ,1,-98 ,1,-2532 ,…,则第 100个数是 . 答案讲解 3. (2024·绥化模拟)将正整数按如图 所示的位置顺序排列,我们称每一 个阶段的最高点为“峰”,最低点为 “谷”.例如:数3的位置称为“峰1”,数6的位 置称为“谷1”,数9的位置称为“峰2”.照这 样排列下去,“峰7”位置的数为 . (第3题) 类型二 与整式有关的规律探究 4. (2023·池州期中)一组代数式按规律排列如 下:a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b7,…,求 第n个式子. 类型三 与图形有关的规律探究 答案讲解 5. (2023·广州期末)如图所示的图形 都是由同样大小的小圆圈按一定规 律排列的,按此规律排列下去,第 n个图形中有 个小圆圈. (第5题) 6. ★用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图 案,其中第1个图案用了9根木棍,第2个图 案用了14根木棍,第3个图案用了19根木 棍,第4个图案用了24根木棍……按此规律 拼下去,求第10个图案用的木棍根数. (第6题) 类型四 与等式有关的规律探究 答案讲解 7. (2023·合肥期中)已知整数a1,a2, a3,a4,…满足下列条件:a1=0, a2=-|a1+1|,a3=-|a2+2|, a4=-|a3+3|,….以此类推,a2023的值为 ( ) A. 2022 B. -2022 C. -1011 D. 1011 8. ★(2023·岳阳)观察下列式子:12-1=1×0; 22-2=2×1;32-3=3×2;42-4=4×3; 52-5=5×4;….以此类推,第n(n 为正整 数)个式子为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　整式及其加减 (1012-972)=52-12+92-52+ 132-92+…+972-932+1012- 972=-12+1012=-1+10201= 10200. 第3课时 整 式 1. C 2. B 3. 6 3 3 [解析] 由题意,得属于 整 式 的 为 - 14 ,3xy,a2 -b2, 3x-y 5 ,-x,0.5+x,共6个,属于单 项式的为-14 ,3xy,-x,共3个,属 于多项式的为a2-b2,3x-y5 ,0.5+ x,共3个. 4. (1) a-3是多项式,是一次二 项式. (2) 5是单项式,次数是0,系数是5. (3) 2 a -b 不是单项式,也不是多 项式. (4) x 2-y 是多项式,是一次二项式. (5) xy 是单项式,次数是2,系数 是1. (6) x π 是单项式,次数是1,系数 是1 π. (7) m2+n 5 是多项式,是二次二项式. (8) 3a2-2ab2+1是多项式,是三次 三项式. 确定单项式的系数 和次数的方法 (1) π是常数,不能看成字母. (2) 单项式的次数是所有字母 的指数之和,与系数的指数无关. (3) 单项式的系数包括前面的 符号. 5. A 6. B 7. D [解析] 因为关于x,y的多项 式3xmy2+(n+3)x2y+2x+1的次 数是4,共有3项,所以m+2=4,n+ 3=0.所以m=2,n=-3.所以mn= 2×(-3)=-6. 8. D 9. -5 1 10. 答案不唯一, 如2a2b2-12 11. 因为关于x,y的三项式-5xy+ (m-3)x3y-1与二项式-2xny2+ 6x2y的次数相同,且最高次项的系数 也相同, 所以3+1=n+2,m-3=-2. 所以m=1,n=2. 12. (1) 因为多项式为五次四项式, 所以m+2≠0,n+1=5. 所以m≠-2,n=4. (2) 因为多项式为四次三项式, 所以m+2=0,n为任意正整数. 所以m=-2,n为任意正整数. 13. (1) ③②①④⑤. (2) 答案不唯一,如a-1. 14. (1) (-1)n;n. (2) n. (3) (-1)n·n·xn. (4) 根据以上规律,可知第2023个单 项式为(-1)2023·2023·x2023= -2023x2023,第2024个 单 项 式 为 (-1)2024·2024·x2024=2024x2024. 第4课时 代数式的值 1. A [解析] 因为a=2,b=-3,所 以(a-b)2+2ab=(2+3)2+2×2× (-3)=25-12=13. 2. A [解析] 当x=2时,原式= 26+3×22-5.当x=-2时,原式= (-2)6+3×(-2)2-5=26+3× 22-5.所以当x 的值分别为2和-2 时,多项式x6+3x2-5的值相等. 3. B [解析] 当 F=59时,C= 5 9 (F-32)=59× (59-32)=59× 27=15.所以当华氏温度为59℉时, 摄氏温度为15℃. 4. 68.5 [解析] 当t=3时,h= -52t 2+30t+1=-52×3 2+30× 3+1=68.5.所以当t=3时,这种礼 炮的升空高度为68.5m. 5. 7 6. (1) 修建后剩余草地(涂色部分)的 面积是2ab-4× 14πa 2=(2ab- πa2)平方米. (2) 当a=10,b=40时,2ab-πa2≈ 2×10×40-3.14×102=800- 314=486. 所以修建后剩余草地的面积约是 486平方米. 7. D [解 析] 当 x =3 时, x(x+1) 2 = 3×4 2 =6 ,6<100;当x= 6时,x (x+1) 2 = 6×7 2 =21 ,21<100; 当x=21时,x (x+1) 2 = 21×22 2 = 231,231>100.所 以 输 出 的 结 果 为231. 8. 6 [解析] 当x=1时,ax3+bx+ 3=a+b+3=5,即a+b=2.当 x=-2时,ax2-2bx-2=4a+4b- 2=4(a+b)-2=4×2-2=6. 9. (1) 方案一的付款额为200× 100+80(x-100)=20000+80x- 8000=(80x+12000)元. 方案二的付款额 为200×80%× 100+80×80%x=(64x+16000)元. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 (2) 当x=300时, 方案 一 的 付 款 额 为 80×300+ 12000=36000(元); 方案 二 的 付 款 额 为 64×300+ 16000=35200(元). 因为36000>35200, 所以该中学选择方案二更省钱. 专题特训（三）　整式中用 字母表示规律的常见题型 1. A [解析] 由题意,得a1=7,a2= 1,a3=7,a4=7,a5=9,a6=3,a7= 7,a8=1,….所以每6个一循环.因为 2024÷6=337……2,所以这一列数 中的第2024个数是1. 2. 10000 2100 [解析] 因 为- 12 = (-1)1×1 2 21 ,1=(-1)2×2 2 22 ,-98= (-1)3×3 2 23 ,1=(-1)4×4 2 24 ,-2532= (-1)5×5 2 25 ,…,所以第n 个数是 (-1)n ×n 2 2n. 所 以 第 100 个 数 是 (-1)100×100 2 2100= 10000 2100 . 3. 39 [解析] 由题图,可知“峰1”位 置的数为3=1×6-3,“峰2”位置的 数为9=2×6-3,“峰3”位置的数为 15=3×6-3,….所以“峰i”位置的 数为6i-3(i为正整数).当i=7时, 6i-3=6×7-3=39,即“峰7”位置 的数为39. 4. 由题意,得a的系数为1,次数是式 子的序号. 因为b的系数中,第奇数项是正号,第 偶数项是负号,且绝对值为2, 所以b的系数为(-1)n+1·2. 因为b的次数为从1开始的连续奇 数,规律为2n-1, 所以第n 个式子为an+(-1)n+1· 2b2n-1. 5. (n2+n+4) [解析] 观察图形的 变化可知,第1个图形中有1×2+ 4=6(个)小圆圈,第2个图形中有 2×3+4=10(个)小圆圈,第3个图形 中有3×4+4=16(个)小圆圈……所 以第n 个图形中有n(n+1)+4= (n2+n+4)个小圆圈. 6. 由题意,得第1个图案用了4+5= 9(根)木棍,第2个图案用了4+5× 2=14(根)木棍,第3个图案用了4+ 5×3=19(根)木棍,第4个图案用了 4+5×4=24(根)木棍…… 所以第n 个图案用的木棍根数是 4+5n. 当n=10时,4+5×10=54. 所以 第10个 图 案 用 的 木 棍 根 数 是54. 图形变化规律问题的解法 解决这类题目一般是由简单、 特殊情形推广到一般情形,可以分 别写出已知图形中的数量,从数量 上发现规律,也可以从计数方法上 发现规律,还可以从“形”的角度观 察图形的排列规律,从而寻找数量 的变化规律. 7. C [解析] 由题意,得a1=0, a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1, a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1, a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2, a5=-|a4+4|=-|-2+4|= -2,….以此类推,当n 为奇数时, an=- n-1 2 ;当n 为偶数时,an= -n2. 所 以 a2023 = - 2023-1 2 = -1011. 8. n2-n=n(n-1) 等式变化规律问题的解法 解决这类题目时,一般先观察 等式左边和右边的数与等式序号 之间的变化规律.如果其中的数是 分数,那么还需要分别观察分子、 分母,然后根据发现的变化规律, 用等式的序号表示出等式左边与 右边的数. 2.2　整式加减 第1课时 合并同类项 1. A 2. D 3. -1 [解析] 因为-12x m+3y 与 2x4yn+3是同类项,所以m+3=4, n+3=1.所以m=1,n=-2.所以 m+n=1+(-2)=-1. 利用同类项的概念求待定 字母的值的方法 若已知所给的两个单项式为 同类项,或已知两个单项式可以合 并,或已知两个单项式的和(或差) 仍然为单项式,则利用同类项的两 个“相同”,即“所含字母相同,相同 字母的指数相同”,可构造方程,求 出单项式中待定字母的值,进而解 决问题. 4. -6 [解析] 因为-4xa+5y3+ x3yb=-3x3y3,所以a+5=3,b=3. 所以a=-2.所以ab=-2×3=-6. 5. (1) 原式=-a-4b. (2) 原式=y2-2y+1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41