精品解析：黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题

牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三9月份月考 数学试卷 考试时间:120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若角满足，则 A. B. C. D. 4. 要使不等式成立，，取值条件为（ ）． A. 同为正数 B. 同为负数 C. 同号 D. 异号 5. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 排气12分钟后浓度为 D. 排气32分钟后，人可以安全进入车库 10. 已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ） A. 4 B. 12 C. 2 D. 8 11. 关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 是函数图象的一条对称轴 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 D. 当时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则________，________. 13. 若函数，的值域为，则的取值范围为___________. 14. 已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 17. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角，求角； （2）若，求的最大值 18. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下： 假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立． （1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； （2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； （3）设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系． 19. 已知，是的极值点（其中是自然对数的底数）. （1）求的值； （2）讨论函数在的零点个数. （参考数据：）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三9月份月考 数学试卷 考试时间:120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的基本关系判断. 【详解】解：因为集合，集合， 所以． 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】根据，由不等式的性质， “”能推出“”， 反过来，“”能推出“”， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 3. 若角满足，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，选D. 4. 要使不等式成立，，取值条件为（ ）． A. 同为正数 B. 同为负数 C. 同号 D. 异号 【答案】D 【解析】 【分析】分同号和异号两种情况分类讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】当时，即同号时，可得，此时， 当且仅当时，等号成立，不符合题意； 当时，即异号时，可得，此时， 当且仅当时，等号成立，符合题意， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，则； 对于函数，可知，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 7. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而得解. 【详解】对于B，当时，，易知，， 则，不满足图象，故B错误； 对于C，，定义域为， 又，则的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项A，满足图中性质，故A正确. 故选：A. 8. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为，继续排气4分钟后又测得浓度为．由检验知该地下车库一氧化碳浓度（单位：）与排气时间（单位：分钟）之间满足函数关系（为常数，是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 排气12分钟后浓度为 D. 排气32分钟后，人可以安全进入车库 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意列式，求出，即可判断A，B；可得函数解析式，将代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D. 【详解】设，代入，得, 解得，A正确，B错误． 此时，所以，C正确． 当时，即，得，所以， 所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确． 故选:ACD． 10. 已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ） A. 4 B. 12 C. 2 D. 8 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象关于直线对称，函数在取得最值，可得；求出的范围，根据函数在区间上是单调减函数，列出不等式关系，继而可求出的取值范围，再结合条件，即可确定的值. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，所以， 根据，则， 因为是在区间上的单调减函数， 所以 ， 因为，所以或， 当时，， 当时，； 由于是在区间上的单调减函数， 且， 所以， 所以，， ， 根据或， 可得，或. 故选: 11. 关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 是函数图象的一条对称轴 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦型函数的解析式判定函数的相关性质时，一般先将相位角中的化成正值，再将其看成整体角，最后结合正弦函数的图象的相关性质判断即得. 【详解】， 对于A项，令，，则，，当时，， 所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确； 对于B项，令，，则，，当时，， 所以是函数图象的一个对称中心，故B项正确； 对于C项，因为， 显然将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，即函数的图象，故C项正确； 对于D项，，当时，， 结合正弦函数的图像可知函数的值域为，故D项错误. 故选:ABC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则________，________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据二项分布的知识求得正确答案. 【详解】依题意，每次取到黑球的概率为， 所以，所以. 故答案为：； 13. 若函数，的值域为，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式得到，结合函数图象得到，，同时，，从而得到. 【详解】由辅助角公式得， 令，解得或，， 令，解得，， 画出函数图象如下， 可知，，同时，， 所以. 故答案为： 14. 已知函数，如图，A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线BC交曲线于点M，若直线AM，BM的斜率分别为，3，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】逆用“五点法”，表示点的坐标，利用斜率可求. 【详解】，，，， 则，所以，解得，可得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解；（2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. 【小问2详解】 若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p为真，q为假，则且，即； ②若p为假，q为真，则且，即. 综上，或. 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 设， 则 ． 由（1）知，又， 所以，所以在上单调递增，故， 所以，，． 【解析】 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立. 【小问1详解】 ，，， 故曲线在点处的切线方程为. 即． 【小问2详解】 略 17. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角，求角； （2）若，求的最大值 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解. 【小问1详解】 由题意知. 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 由角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 因为，所以， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，且，则有，得，所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 18. “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下： 假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立． （1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率； （2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望； （3）设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为､平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系． 【答案】（1）0.65 （2）分布列： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算出对应频率即为所求； （2）由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的分布列及期望公式求解即可； （3）根据公式计算平均数和中位数，再比较大小即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图， 可得学生一周参加课后活动的时间位于区间的频率为， 因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为； 【小问2详解】 从全校学生中随机选取1人， 其一周参加课后活动的时间在区间的概率为0.4，因此， 可取， ， ． 则的分布列为： 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 ； 【小问3详解】 因为， ， 故中位数在区间上， 则，； ， 故. 19. 已知，是的极值点（其中是自然对数的底数）. （1）求的值； （2）讨论函数在的零点个数. （参考数据：）. 【答案】（1）1； （2）2个﹒ 【解析】 【分析】(1)求导得，易知(1)，从而求得的值． (2)，，第一次构造函数，易证在上单调递增，由于，，故，使得，且可推出在上的单调性，从而得；第二次构造函数，，再次借助导数和隐零点的思维，证明即在上成立，进而确定函数的零点个数． 【小问1详解】 ，， 是的极值点，(1)，解得． 【小问2详解】 由(1)知，， ， 令，则在上恒成立， 在上单调递增． 又，， ，使得，即， 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增． ． 令，，则恒成立， 在上单调递减， 又，， ，使得当，时，，即成立． ，， 故在上有2个零点． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，需要多次构造函数，且涉及隐零点的思维，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $