精品解析：北京市大兴区2024～2025学年上学期九年级数学期中试卷

大兴区2024～2025学年度第一学期期中检测 初三数学 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3.题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意； D．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了的性质．根据二次函数的顶点为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减、左加右减”解答即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为． 故选：D． 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选B． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得，计算得，根据一元二次方程的定义得，即可得，掌握一元二次方程的定义，根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ∵， ∴且， 故选：D． 6. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可求出抛物线与轴的另一个交点为，再根据抛物线的图象性质即可得出时， x的取值范围． 【详解】解：由图可知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线的开口向下， 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及抛物线与轴的交点知识，熟练掌握二次函数的图象与性质及利用数形结合的方法是解题关键． 7. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互补，根据旋转的性质可得，，，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而求得，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n的取值范围为．其中，正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据函数图象确定，，的符号，由，且确定对称轴，再逐个推理判断即可． 【详解】解：抛物线过，且，抛物线开口向下， ，，， ∴根据左同右异，，故①正确； 由和可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵在对称轴左侧，随的增大而增大， ∴当都在对称轴左侧时，随的增大而增大，此时总有， ∵， ∴，即，故④错误， 综上，可得正确结论的序号是：①②③． 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，由此可解． 【详解】解：点关于原点的对称点坐标为． 故答案为：． 10. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程成为解题关键． 直接运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 所以该方程的解为：，． 故答案为：，． 11. 抛物线的对称轴是__________． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数对称轴公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：该二次函数的对称轴为直线； 故答案直线． 12. 已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则__________（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据点P、Q的横坐标以及二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该抛物线的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，为二次函数的图象上的两个点，且， ∴． 故答案为：． 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键．根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为：． 14. 请写出一个对称轴为直线，且经过点的抛物线解析式__________． 【答案】答案不唯一， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式及性质，根据二次函数的性质结合已知条件得到关于系数的关系式是解题的关键． 根据题意得出顶点坐标，设出顶点形式，将代入，得，然后任取a值，确定出函数解析式． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的解析式为：， 将点代入方程得 ， ， 当，则， 抛物线解析式为：． 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转性质以及角等量代换，证明，再结合点，点，求出点的坐标即可解决问题．本题考查坐标与图形变化旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴垂线，垂足为， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ， ，． 又∵，， ，， 所以点坐标为， 则，． 在中， ． 故答案为：． 16. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是43”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20题6分，第21－23题每题5分，第24－26题每题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和相关化简的依据，根据零指数幂、二次根式的性质、负整数指数幂和绝对值的性质分别化简，在进行加减计算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．把方程化为一般形式后，利用公式法解方程即可． 【详解】解： 可化为 由，， ∴ ∴ ∴， 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 画出该二次函数的图象，并求出解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象，求二次函数的解析式．根据表格画出函数图象，根据题意可设二次函数解析式为，把点代入，求出a的值，即可． 【详解】解：根据题意，画出图像如下： 根据题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 可设二次函数解析式， 把点代入到上式， 可得，． 解得，． 所以，二次函数的解析式为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，，得到． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）直接写出经过点，，A的二次函数图象的对称轴 【答案】（1）作图见解析 （2）直线 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换， 二次函数的图象和性质，掌握利用旋转的性质画图是解本题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点，再顺次连接即可； （2） 根据点，，A坐标，运用待定系数法得出解析式求出坐标即可 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求， 【小问2详解】 点绕原点O顺时针旋转后，其坐标变为． 点绕原点O顺时针旋转后，其坐标变为， 设二次函数解析式为， ，， ，，代入得， ， ， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴是，， ，，A的二次函数图象的对称轴为直线． 22. 在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．先结合题意可知，再证明，得到，再利用直角三角形全等的判定得到，得到 【详解】∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． （1）求m与k的值； （2）当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键． （1）将点代入函数求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值； （2）联立与求出交点横坐标为，再结合题意和一次函数性质得到，求解，即可解题． 【小问1详解】 解：将点代入函数有：， 解得， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 联立与有：， 解得， 当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值， 又时，直线与直线平行， ，， 当时，解得， 即n的取值范围为． 24. 今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． （1）每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ （2）每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）当涨价6元或10元时，每日利润为280元 （2）当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解答关键． （1）设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元，根据题意列出方程求解； （2）设当涨价元时，每日利润为元，根据题意列出方程求解． 【小问1详解】 解：设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元， 根据题意得 整理得 解得：，． 答：当涨价6元或10元时，每日利润为280元． 【小问2详解】 解：设当涨价元时，每日利润为元， 根据题意得 整理得 ∵，抛物线开口向下， 所以，当时，． 答：当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元． 25. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离（单位：），车速为制动时车速（单位：），时间为制动时间（单位：）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表： 表1 制动时车速（） 制动时间（） 表2 制动时车速（） 制动距离（） 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示与的关系． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）根据表1，当制动时车速为时，制动时间 ； （2）直接写出制动距离（单位：）与制动时车速（单位：）之间的函数关系式； （3）有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为，则此车制动时车速是 ，已知该公路限速为，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）． 【答案】（1） （2） （3）；超速行驶 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、二次函数的实际应用． （1）设，将代入得得出，将代入即可求解； （2）根据题意待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入二次函数解析式，即可求解，进而转化单位即可得出是否超速． 【小问1详解】 解：观察表1数据可得每增加，增加，符合正比例函数， 设，将代入得 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ∵这条曲线像是抛物线的一部分，图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取和代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：当时， 解得：（负值舍去）， ∴此车制动时车速是， 当时，， ∴在事故发生时，该汽车是超速行驶 故答案为：；超速行驶． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． （1）当时，若，则a的值为 ； （2）若对于任意的都满足，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，掌握二次函数图像和性质，数形结合是解答本题的关键． （1）当时，抛物线经过点，若，即点和点关于的对称轴对称，则，即可求解； （2）分两种情况结合图形，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，抛物线经过点， 若，即点和点关于的对称轴对称， ∴， 解得， 故答案为： 【小问2详解】 ∵对于任意的都满足，抛物线对称轴为直线， ∴点A，B，C存在如下情况： 情况1，如示意图，当时，可知， ∴， 解得. 情况2，如示意图，当时，可知， ∴， ∴，解得. 综上所述，或. 27. 已知，是等腰三角形，，O是内的任意一点，连接，，． （1）如图1，，，将绕点C顺时针旋转得到．点D恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，设，．当 ， 时，有最小值． 【答案】（1），见解析 （2）120；120 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、旋转变换的性质，掌握等边三角形的三个角是、三条边相等是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可得，根据勾股定理解答； （2）将绕点按顺时针方向旋转得，连接．根据等边三角形的性质解答． 【小问1详解】 解：，， ， 由旋转的性质可知，， ； 如图， 绕点按顺时针方向旋转得， ，． ，． 是等边三角形， ，， ，， ， ，． ． 在中，， ． ． 【小问2详解】 解：当时，有最小值，理由如下： 如图， 将绕点按顺时针方向旋转得，连接． ，． ，，． 是等边三角形． ，． ， ． ． 四点，，，共线． 时值最小， 当时，有最小值． 故答案为：120，120． 28. 如图，点在直线上，点为直线外一点，，对于点给出如下定义：将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在直线上（不与重合）时，称点为线段的关联点． （1）如图，，点 （填“是”或“不是”）线段的关联点； （2）已知点为线段的关联点，，，请写出与的关系式及的取值范围（直接写出结果）． 【答案】（1）是 （2）当点落在线段上时，；当点落在的延长线上时， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件易得到，而，进而求出点在直线上（不与重合）来求解； （2）分两种情况：当点落在线段上时，当点落在的延长线上时，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关联点的定义来求解． 【小问1详解】 解：，， ， ． ， ， ， ． ， 当点在直线上（不与重合）， 点为线段的关联点． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：当点落在线段上时， ，，， ， ． 点为线段的关联点， ， ， ， ． 当点落在的延长线上时， ，，， ， ． 点为线段关联点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了关联点的定义，等腰三角形的性质，三角形内角定理，旋转的性质，理解关联点的定义是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大兴区2024～2025学年度第一学期期中检测 初三数学 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3.题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.练习结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形而不一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等边三角形 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交点为，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则n取值范围为．其中，正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点坐标为__________． 10. 一元二次方程的根是______． 11. 抛物线的对称轴是__________． 12. 已知，点，为二次函数的图象上的两个点，则__________（填“＞”或“＜”）． 13. 若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是_________． 14. 请写出一个对称轴为直线，且经过点的抛物线解析式__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 __________． 16. 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设这种植物每个支干长出的小分支个数为x，则可列方程为__________． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20题6分，第21－23题每题5分，第24－26题每题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明的过程． 17. 计算：． 18. 解方程． 19. 解方程：． 20. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 画出该二次函数的图象，并求出解析式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，，得到． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）直接写出经过点，，A二次函数图象的对称轴 22. 在中，，以点A为中心，分别将线段逆时针旋转得到线段，连接，延长交于点F．连接，求的度数． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． （1）求m与k的值； （2）当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 24. 今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． （1）每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ （2）每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 25. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离为制动距离（单位：），车速为制动时车速（单位：），时间为制动时间（单位：）．为了解某型号汽车的制动性能，在理想状态下对其进行了测试，测得数据如下表： 表1 制动时车速（） 制动时间（） 表2 制动时车速（） 制动距离（） 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接（如图），可以看出，这条曲线像是抛物线的一部分，于是，我们用二次函数来近似地表示与的关系． 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： （1）根据表1，当制动时车速时，制动时间 ； （2）直接写出制动距离（单位：）与制动时车速（单位：）之间的函数关系式； （3）有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，交通事故发生时，现场测得制动距离为，则此车制动时车速是 ，已知该公路限速为，那么在事故发生时，该汽车是 （填“超速行驶”或“正常行驶”）． 26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线经过点． （1）当时，若，则a的值为 ； （2）若对于任意的都满足，求a的取值范围． 27. 已知，是等腰三角形，，O是内的任意一点，连接，，． （1）如图1，，，将绕点C顺时针旋转得到．点D恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）如图2，设，．当 ， 时，有最小值． 28. 如图，点在直线上，点为直线外一点，，对于点给出如下定义：将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在直线上（不与重合）时，称点为线段的关联点． （1）如图，，点 （填“是”或“不是”）线段关联点； （2）已知点为线段的关联点，，，请写出与的关系式及的取值范围（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$