专题06 相似三角形的经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，，若，则（   ）    A．5 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，通过证明，得出，即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在中，，平分，交于点，如果，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ， 故答案为：9 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明,又由得到，则，得到，即可得到的长； （2）①证明，由（1）可知， ，即可证明结论； ②由以及得到，由已知及（1）可知，，，则，得到，则，过点D作交于点M，证明，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 由（1）可知， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由已知及（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点D作交于点M，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△ABG∽△CFG， ∴＝ ∵△ABE∽△DFE， ∴＝， ∵AE＝2ED， ∴AB＝2DF， ∴＝， ∴＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，进而可得，然后推出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点在边上，，点和分别在边和的延长线上，且，如果，那么 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比的性质，由，设，，，则，由，证明，然后根据性质即可求解，根据相似三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质； （1）利用根据相似三角形的判定得，再根据即可求解； （2）利用及即可求解结论． 【详解】（1）解：，， ， ， ； ， ． （2）证明：，， ， ， ． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E分别是边的中点， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，可以假设，则，，利用平行四边形和角平分线的性质可得，即得，，进而得，再利用即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】（1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长，然后利用勾股定理求出的长，进而即可得解． 【详解】（1）设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． （1） 解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2） ①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H      ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）根据，判定，根据矩形的性质，相似三角形的相似比等于对应高之比计算即可． （2）设，根据，判定，用x表示，构造面积的二次函数，根据二次函数的最值判定计算即可． 【详解】解：（1）如图，过作于，交于，    ∵正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （2）如图，过作于，交于， ∵矩形， ∴，， ，， ∴， ∴，    设，则， 同理：， ∴，则， 设矩形的面积为y， 则． ∴当时，面积最大，此时，， 故当矩形的面积最大时，这个矩形的边长． 故答案为：， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握相似三角形的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键． 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，解题的关键是掌握相似、矩形的性质． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米， 由得，， 四边形是矩形， ， ∴， ， 即， ， ， ， 解得，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，利用相似比求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：54． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． (1)求证：； (2)若这个矩形的边，则的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设，，设与的交点为点E，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，， 即 ∴； （2）解：∵， ∴设，， 设与的交点为点E， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 解得， ∴ 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 【解析】∵AD∥BC， ∴∠ADF＋∠FCB＝180°. 根据折叠前后的图形全等得到DF＝DA＝3， ∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°， ∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°， ∠DFE＝∠EFC＝90°， ∴∠FDE＝∠FEC， ∴△DEF∽△ECF， ∴＝， ∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15， ∴EF＝.故选A. 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 设，则，证明，则，即，可求满足要求的解为，则，由，可知上的中线长是． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴上的中线长是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是边上的高，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质． （1）利用直角三角形的性质求得，推出，再证明，即可证明； （2）利用两边对应成比例且夹角相等，推出，得到，再证明，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是边上的高，点E是边的中点， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI=∠DAI，由余角的性质可得∠IAH=∠AID，可证IH=AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI=1，即可求解． 【详解】解：如图，连接AI，AC， ∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG， ∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°， 在Rt△AGI和Rt△ADI中， ， ∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL）， ∴∠GAI＝∠DAI， ∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI， ∴∠IAH＝∠AID， ∴IH＝AH， 又∵IH＝HC， ∴IH＝HC＝AH， ∴∠IAC＝90°， ∴∠DAI+∠DAC＝90°， 又∵∠DAC+∠DCA＝90°， ∴∠DAI＝∠DCA， 又∵∠ADI＝∠ADC＝90°， ∴△ADI∽△CDA， ∴， ∴， ∴DI＝1， ∴CI＝ID+CD＝5， ∴IH＝IC＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 1．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据，，证明，则，，可判断①的正误；如图1，记交点为，交点为，由，可得，进而可判断②的正误；如图1，连接，由勾股定理得，，，可判断③的正误；如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形，求，的长，然后求面积即可，可判断④的正误． 【详解】解：∵矩形和矩形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； 如图1，记交点为，交点为， ∵，， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 如图1，连接， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，③错误，故不符合要求； 如图1，作于，的延长线于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质 ，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，已知正方形边长是4，点E是边上靠近点B的四等分点，连接，将线段绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则 【答案】/ 【分析】设的外角为，过点F作于H，于N，由“”可证，可得，求出，由勾股定理可求的长，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设的外角为，过点F作于H，于N， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边上靠近点B的四等分点，正方形边长是4， ∴， ∴， ∵将线段绕点E旋转， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正方形的性质，勾股定理等，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，是的中点，将点以点为中心，按顺时针方向旋转得到点，连接分别交于点，连接． (1)判断四边形形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)四边形为正方形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质及正方形的判定证明即可； （2）先证明，再证明，继而得出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： 为等腰直角三角形，且为中点， ，， 为等腰直角三角形． ，且， ，， ， 四边形为平行四边形， 又，， 四边形为正方形． （2）解：由（1）知，， ． ． ∵四边形为正方形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 由（1）知，且． ∴， 在中，． ． ． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于点，则，根据相似三角形的性质得出，设，则，根据折叠的性质及矩形的性质推出，，，，则，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于点，    ， ， ， ， ， 设，则， 由折叠可知，，，，，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 1．（2024·四川内江·三模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 【答案】A 【分析】此题考查矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键．连接，先求出，再证明平分，证明，则，代入数值即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，   四边形为矩形， ，，， 为中点， ， 由翻折知，， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 3．（2023·辽宁大连·模拟预测）【操作实践】（1）如图，将折叠，使顶点落在边上点处，折痕为，过点作交于点． ①____（填“”“”或“”） ②若，，求线段的长； 【拓展变式】（2）如图，若将沿折叠后使点落在边延长线上，且，交的延长线于点，若，求的值． 【答案】（1）①；②（2） 【分析】（1）①由折叠的性质和平行线的性质可得，即可证明；②证明，可得，即可求解； （2）证明，易得，结合可得，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵将折叠，使顶点落在边上点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （2）∵将沿折叠后使点落在边延长线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，    ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 1、（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．（23-24·内蒙古·二模）如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 【答案】−8 【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可． 【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°， ∵∠DBO＋∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴， ∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n， 因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B点的坐标是（−2n，2m）， ∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8． 故答案为：−8． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式． 3．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论； （2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果； （3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长． 【详解】（1）∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 【答案】A 【详解】因为∠ACB=90°，AC︰BC=3︰4，则 因为∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， 得△ABC △ADE， 得 ， ， 则， . 故选A. 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证即可求证； （2）利用全等三角形的性质可得的度数；在上取点F，使，根据（1）中证明过程可证，即可求解； （3）过点Q作于G，设，根据重心的性质可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都为等边三角形， ∴ ∴， 即， ∴ （2）解：∵； ∴， 设交于O， ∵， ∴； 如图①在上取点F，使，    同（1）可得 ∴为等边三角形， ∴； （3）解：    如图②，过点Q作于G，设， ∵点Q、R分别是等边和等边的重心， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题以“手拉手”全等三角形模型为背景，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟记相关结论进行几何推理是解题关键． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）BM−DN=BC；（3）EF的长为． 【分析】（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论； （2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论； （3）由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论． 【详解】解：（1）如图，过Q点作QP⊥BD交DC于P， ∴∠PQB=90°． ∵∠MQN=90°， ∴∠NQP=∠MQB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO， ∴∠DPQ=45°，DQ=PQ， ∴∠DPQ=∠DBC=45°， ∴△QPN∽△QBM， ∴， ∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD， ∴DO=2DQ，DP=DC， ∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC， ∴BQ=3PQ， ∴， ∴NP=BM， ∴DN+BM=BC； （2）如图，过Q点作QH⊥BD交BC于H， ∴∠BQH=∠DQH=90°， ∴∠BHQ=45°， ∵∠COB=90°， ∴QH∥OC， ∵Q是OB的中点， ∴BH=CH=BC， ∵∠NQM=90°， ∴∠NQD=∠MQH， ∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°， ∴∠QND=∠QMH， ∴△QHM∽△QDN， ∴， ∴HM=ND， ∵BM-HM=HB， ∴BM−DN=BC． 故答案为：BM−DN=BC； （3）∵MB：MC=3：1，设CM=x， ∴MB=3x， ∴CB=CD=4x， ∴HB=2x， ∴HM=x． ∵HM=ND， ∴ND=3x， ∴CN=7x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴ED∥BC， ∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF， ∴， ∴， ∴DE=x， ∴， ∵NQ=9， ∴QM=3， 在Rt△MNQ中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 设EF=a，则FM=7a， ∴， ∴． ∴EF的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定和性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    【答案】 【分析】如图，设交于点Q，设，.利用勾股定理求出x（用k表示），再利用相似三角形的性质求出（用k表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点Q，设，    ， ∴可以假设，， 点是的中点， ， ∵四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 由翻折的性质可知， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（   ） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 【答案】C 【分析】求出cm，分两种情况：①当时，得出cm，即可得出s；②当时，证出，得出因此cm，得出cm，s；即可得出结果． 【详解】解： cm， 分两种情况： ①时， ， ∵D为的中点， ∴cm， ∵E为的中点， cm， ∴s； ②时， cm， ∴cm， ∴s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，或3.5， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 【答案】或2或10 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法，根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验符合题意， 若， ∴， 设， ∵，，， ， 解得；经检验，符合题意， 综上所述，的长度为或2或10， 故答案为：或2或10． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，垂足为A．作轴的垂线，垂足为C．点从出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度运动；点从出发，沿轴正方向以每秒3个单位长度运动；点从出发，沿方向以每秒2个单位长度运动．当点运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中关于直线的对称图形是，设运动时间为． (1)用含的代数式分别表示点和点的坐标：_____________，_____________ (2)若与以点为顶点的三角形相似，求的值； (3)当时，求点在坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及相似三角形的性质． （1）直接根据路程等于速度乘以时间，即可得出结论； （2）先判断出，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解，最后判断即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再利用三角形的面积求出，进而求出，再判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵轴，轴，， ∴， 由运动知，（）， ∴， ∴，； （2）解由（1）知，， ∴， ∵轴， ∴， ∵与以点A，E，F为顶点的三角形相似， ∴或， ①当时，， ∴， ∴， 经检验是原方程的解， 不合题意，舍去， ； ②当时，， ∴， ∴， 经检验是原方程的解， 两根均不合题意，舍去； 即：当与以点A，E，F为顶点的三角形相似时，秒； （3）解：当时，， 在中，根据勾股定理得，， 连接交于G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，又根据即可得出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点E作于点G，过点C作于点H，先证明，得到，，然后在中利用勾股定理求出长，计算得到长，然后利用求出，长，解题即可． 【详解】解：过点E作于点G，过点C作于点H， ∵是矩形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴ 又∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级下·上海·自主招生）在圆内接四边形中，，延长交于，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，补角性质，相似三角形的判定和性质，利用圆的内接三角形和补角性质可得，即得，得到，设，列出方程组即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形内接于圆， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， 则有， 解得， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质等，由等边三角形的性质可证，从而可证，从而可得，再由求出，即可求解． 【详解】解：为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 故答案：5． 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由矩形的性质可得，，，进而由勾股定理可得，根据垂线段最短可知当，即时，的值最小，由可得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当，即时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．延长，交于点H，首先证明出，得到，然后代数值得到，，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴ ∵在梯形中， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：9． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，如果，，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质可得到，由，得到，从而求得，再结合正方形的对角线互相垂直可推出，从而，可得到，设，则，，，，最后根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴． 故答案为： 9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，则，即，可求，如图，作，使，连接，作于，则，，证明，则，为的中点，由点是的中点，可得，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：∵矩形，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 如图，作，使，连接，作于，则，， ∴，，， ∴， ∴，为的中点， ∵点是的中点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质以及相似三角形的判定以及性质，根据三角形的相似比得出对应边的比值是解题关键． 如图，过点作的平行线，延长交平行线于点，由角平分线的性质以及平行线的性质可以得出，即可得出的值，由两直线平行内错角相等以及对顶角相等分别证明，，得出对应边的比值相等，设，将、分别用表示，求出比值即可． 【详解】如图，过点作的平行线，延长交平行线于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， 设，则，， 在与中， ， ， ， 是中线， ， ， ， ， =3， ，， ， ． 故答案为：． 11．（山东省青岛市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，点P为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点E，F，与交于点H． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰直角三角形的性质，得到，，角的和差关系推出，即可得出结论； （2）相似三角形的对应角相等，结合8字型图(对顶三角形)，推出，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，，连接交于点C． (1)求证； (2)若，则的度数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，掌握三角形相似判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键． （1）根据，得出，，根据比例性质得出，可证，根据三角形相似判定定理即可证明； （2）根据，得出，根据对顶角性质，利用三角形内角和得出，可证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：44． 13．（24-25九年级上·江西九江·期中）综合与实践 如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 初步感知 （1）如图1，的延长线与交于点，求的度数． 特例应用 （2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上． ①当点与点重合时，的长为______； ②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明． 拓展延伸 （3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长．            【答案】（1）；（2）①，②四边形为平行四边形，见解析；（3） 【分析】（1）先证明，得到，然后利用“8”字型有，即可求解； （2）①先证明当点与点重合时，点E、P、B在直线上，，再由（1）知：，所以，所以，由勾股定理求得，，即可由求解． ②先证明，再证明，得到，．然后证明为等边三角形，得到，从而得出．即可由平行四边形的判定得出结论． （3）设与的交点记为．先证明，得到，从而得到，即可得到点的运动路径为图2中的长，为的中点，再证明是等边三角形．得到，又由是的中点，得，，即可由勾股定理求解． 【详解】解：（1）， ，即． 又，， ， ． ， ． （2）①如图， 是等边的角平分线， ， ， 点在上， ， 点关于的对称点，点与点重合， 点与点关于的对称， 点E、P、B在直线上， ， 由（1）知：， ， ， ∴， ， ， ． 故答案为：． ②四边形为平行四边形． 证明：如图1，连接． 图1在等边中，平分， ． 又，关于对称， ，， ， ． 在等边中，，， ． 在等边中，，， ， ， ， ，． 平分， ， ， ， 为等边三角形， ， ． ，， 四边形为平行四边形． （3）将图1中与的交点记为． 由（2）知． ， ， ， 即， ，， ∴ ， ． 如图2，当点从点运动到点时． 图2， 点的运动路径为图2中的长，为的中点， 连接，． ，同理可得， 是等边三角形． ∴， 是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，勾股定理．此题词综合性较强，属中考压轴题． 14．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，解一元二次方程： （1）先由角平分线的定义得到，再证明，据此可根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明，据此可根据两个角对应相等的两个三角形相似证明； （3）由相似三角形的性质得到，即，据此求解即可． 【详解】（1）证明：是中的角平分线， ． ， ， ； （2）证明：， ． ，， ， 又∵， ． （3）解：∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，见解析 (2)①4；② 【分析】（1）由旋转知，，从而得，则由“直等补”四边形定义即可求解； （2）①过C作于点F，由四边形是“直等补”四边形，得四边形是矩形，；再证明，得；设，则，在中由勾股定理建立方程求得x的值，从而求得； ②延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H．则的周长的值最小；再证明，由对应边成比例求得，从而由勾股定理求得，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为“直等补”四边形； （2）解：①过C作于点F，如图1， 则； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，设，则， ∵， ∴， 解得，或（舍）， ∴； ②如图2，延长到F，使得，延长到G，使得，连接，分别与交于点M、N，过G作，与的延长线交于点H． 则， ∵， ∴， ∴的周长的值最小， ∵四边形是“直等补”四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，证明三角形全等与相似是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形经典模型专项训练（13大题型+15道拓展培优） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 一线三等角型相似 题型十一 手拉手型相似 题型十二 动态相似 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，，分别是与边上的高． 求证：． 1．（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，在中，，，若，则（   ）    A．5 B．4 C． D．2 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在中，，平分，交于点，如果，那么的长是 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 【例2】（23-24秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在平行四边形中，则为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点在边上，，点和分别在边和的延长线上，且，如果，那么 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，，与交于点，且，，． (1)求的长． (2)求证：． 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 【例3】（23-24·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·河南鹤壁·阶段练习）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，，求证：； 【类比探究】 （2）如图（2）所示，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，且，则的值为__________； 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F．若，，，则的长为__________． 【经典例题四 母子型相似】 【模型解读】 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 【例4】（23-24秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 【模型解读】 由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。 结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC， 【例5】（23-24秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．    （1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为 ； （2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为 ． 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． (1)求证：； (2)若这个矩形的边，则的长度． 【经典例题六 射影定理相似】 【模型解读】 ①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. ②拓展： （1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型． （2）如图，在圆中也会出现射影定理模型． 【例6】（23-24秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（ ） A. B．2 C. D．2 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是 ． 3．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，是边上的高，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【经典例题七 旋转相似】 【模型解读】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE. ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 【例7】（23-24秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　） A．3 B．2 C．5 D． 1．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，矩形和矩形，，，，，矩形绕点A旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，已知正方形边长是4，点E是边上靠近点B的四等分点，连接，将线段绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则 3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，是的中点，将点以点为中心，按顺时针方向旋转得到点，连接分别交于点，连接． (1)判断四边形形状，并说明理由； (2)求的长． 【经典例题八 k字型相似】 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 【例8】（23-24秋·全国·九年级专题练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 3．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 折叠相似】 【例9】（23-24秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·四川内江·三模）如图，矩形中，，，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则折痕的长是（    ）． A． B． C．8 D．7 2．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 3．（2023·辽宁大连·模拟预测）【操作实践】（1）如图，将折叠，使顶点落在边上点处，折痕为，过点作交于点． ①____（填“”“”或“”） ②若，，求线段的长； 【拓展变式】（2）如图，若将沿折叠后使点落在边延长线上，且，交的延长线于点，若，求的值． 【经典例题十 一线三等角型相似】 【例10】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 1、（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·内蒙古·二模）如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数 的图象上，则k的值为 3．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【经典例题十一 手拉手型相似】 【例11】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形和四边形都是正方形，C，F，G三点在同一直线上，连接并延长交边于点M． (1)求证：； (2)求的值； (3)若，求正方形的边长． 1、（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（　　） A．5︰3 B．4︰3 C．︰2 D．2︰ 2、（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以的两边分别向外作等边和等边，与交于点P，已知．    (1)求证：； (2)求的度数及的长； (3)若点Q、R分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接，作出图象，求的长． 3、（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一点，，点M、N分别在直线BC、DC上． （1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：； （2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ； （3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若，，求EF的长． 【经典例题十二 动态相似】 【例12】（23-24春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（   ） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，垂足为A．作轴的垂线，垂足为C．点从出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度运动；点从出发，沿轴正方向以每秒3个单位长度运动；点从出发，沿方向以每秒2个单位长度运动．当点运动到点A时，三点随之停止运动，运动过程中关于直线的对称图形是，设运动时间为． (1)用含的代数式分别表示点和点的坐标：_____________，_____________ (2)若与以点为顶点的三角形相似，求的值； (3)当时，求点在坐标． 【经典例题十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等）】 倒数型 仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。 模型分析： ∵AF∥DE∥BC， ∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC ∴，． ∴ 即 ∴（两边同时除以DE） 【例13】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 2．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 3．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，平分交于点E，点是的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·上海·自主招生）在圆内接四边形中，，延长交于，则长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，为等边三角形，点分别在边上，，如果，，则的长度是（    ） A．3 B．4 C． D．5 5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在矩形中，，．对角线相交于点，点是上的动点，是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，，分别在的延长线上，，如果，，，那么的长为 ． 7．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，如果，，，，，那么 ． 8．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在矩形中，，，点在边上，连接，过点作交于，已知，点是的中点，是的中点，连接，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，，交于点．若，则的值为 ． 11．（山东省青岛市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题）如图，点P为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点E，F，与交于点H． (1)求证：； (2)求的度数． 12．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，，连接交于点C． (1)求证； (2)若，则的度数为 ． 13．（24-25九年级上·江西九江·期中）综合与实践 如图，是等边内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． 初步感知 （1）如图1，的延长线与交于点，求的度数． 特例应用 （2）如图2，作点关于的对称点，若点在的角平分线上． ①当点与点重合时，的长为______； ②当点与点不重合时，判断四边形的形状，并证明． 拓展延伸 （3）如图2，在（2）的条件下，取的中点，记为，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径长．            14．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 15．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，．点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$