专题1.3 一元一次方程全章知识典例详解（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版2024）

专题1.3 一元一次方程全章知识典例详解 【苏科版2024】 知识点1 从算式到方程 1．方程的概念 含有未知数的等式叫方程． 【注】方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数． 2．方程的解与解方程 ①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ②求方程的解的过程，叫做解方程. 3．一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 【注】一元一次方程具有如下共同特点： ①只含有一个未知数． ②所含未知数的项的最高次数为1． ③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数． 4．等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果，那么． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果，那么；如果，那么． 【注】 ①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系． ②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零． 【典例1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 　 　．（只填序号即可） 【分析】方程的特点：①含未知数，②是等式． 【解答】解：由题意知，含有未知数的等式是方程， ①3﹣4＝1中不含有未知数，不是方程，是等式； ②2x﹣5y不是等式，不是方程； ③1+2x＝0、④6x+4y＝2、⑤3x2﹣2x+1＝0都是含有未知数的等式，属于方程． 故答案为：③④⑤． 【典例2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　 　．（填序号） 【分析】根据方程的定义逐个判定即可． 【解答】解：①3x+2＝5x﹣1符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③2x+3≤5不是等式，故③不是方程； ④y2﹣1＝2y符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 【典例3】（2024春•吴忠期末）在方程：①3x﹣y＝2；②；③；④x＝0；⑤x2﹣2x﹣3＝0；⑥中，是一元一次方程的是（填序号） 　 　 【分析】根据一元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：③，④x＝0，⑥，是一元一次方程； ①3x﹣y＝2，含有两个未知数，不是一元一次方程； ②，含有分式，不是一元一次方程； ⑤x2﹣2x﹣3＝0，未知数的次数是2，不是一元一次方程， 故答案为：③④⑥． 【典例4】（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： |m﹣2|＝1且m﹣3≠0， ∴m＝3或1且m≠3， ∴m＝1， 故答案为：1． 【典例5】（2024秋•武昌区期中）若关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程，则k＝　 　． 【分析】整理后得出（|k|﹣2）x2+（﹣4k﹣8）x﹣5k＝0，根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0且﹣4k﹣8≠0，再求出k即可． 【解答】解：（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x， 整理得：（|k|﹣2）x2+（﹣4k﹣8）x﹣5k＝0， ∵关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程， ∴|k|﹣2＝0且﹣4k﹣8≠0， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【典例6】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　． 【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程的解即可． 【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3， ∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21， 解得：a＝3， 即原方程为6﹣5x＝21， 解得x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 【典例7】（2023秋•句容市期末）已知x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解，则k的值是 　 　． 【分析】将x＝3代入方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5，求出k的值即可． 【解答】解：∵x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解， ∴将x＝3代入方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5，得﹣k+3＝5，解得k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【典例8】（2024•船山区校级开学）若x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解，则代数式3a﹣9b﹣10＝　 　． 【分析】将x＝0.5代入原方程即可求出a﹣3b＝5，然后将其整体代入求值． 【解答】解：∵x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解， ∴a﹣3b＝5， ∴3a﹣9b﹣10＝3（a﹣3b）﹣10＝15﹣10＝5， 故答案为：5． 【典例9】（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若，则a＝b；④若a＝b，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等式的基本性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：若a＝b，则ac＝bc；故①正确； 若ac＝bc，且c≠0，则a＝b；故②错误； 若，则c≠0，故a＝b；故③正确； 若a＝b，因为x2+1＞0，故；故④正确； 故选：C． 【典例10】（2023秋•邢台期末）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天平是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等式的性质即可求解． 【解答】解：设“■”的质量为x，“▲”的质量为y，“●”的质量为c， 若各个选项中左右两边相等， 则：A选项可表示为2x＝3y， B选项可表示为2c+x＝2y+2c，即x＝2y， C选项可表示为x+c＝c+2y，即x＝2y， D选项可表示为2x＝4y，即x＝2y， 只有A选项与其他的等式不同， 故选：A． 【典例11】（2024春•洪洞县期末）下列变形正确的是（　　） A．若3x＝2，则x B．若4x+y＝3，则y＝4x﹣3 C．若x＞y（x、y均不为0），则 D．若2，则2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x） 【分析】根据等式的性质对每个选项一一判断即可． 【解答】解：A．若3x＝2，两边同时除以3得x，故此选项不符合题意； B．若4x+y＝3，移项得y＝﹣4x+3，故此选项不符合题意； C．用特殊值法，3＞﹣2，，故此选项不符合题意； D．若2，两边同时乘以6去分母得2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x），故此选项符合题意； 故选：D． 知识点2 解一元一次方程 1．解一元一次方程——合并同类项 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变． 2．解一元一次方程——移项 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 【注】 ①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边． ②移项要变号． ③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号． 3．解一元一次方程——去括号 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【注】 运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项． 4．解一元一次方程——去分母 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数． 【注】 ①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项． ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号． 5．解一元一次方程的一般步骤 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 【典例1】（2024春•郸城县校级月考）将方程去分母得到方程2x﹣4﹣3x+3＝6，其错误的原因是（　　） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，漏乘了分母为1的项 C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误 D．去分母时，分子未乘相应的数 【分析】两边同乘最小公倍数再去括号即可． 【解答】解：原方程两边同乘6得：2（x﹣2）﹣3（x+1）＝6， 去括号得：2x﹣4﹣3x﹣3＝6， 则其错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误， 故选：C． 【典例2】（2023秋•襄城县期末）下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程． 解：去分母，得1+2（2x﹣1）＝2﹣（1﹣2x），第一步 去括号，得1+4x﹣2＝2﹣1﹣2x，第二步 移项，得4x+2x＝2﹣1﹣1+2，第三步 合并同类项，得6x＝2，第四步 系数化为1，得． 上述解法中，开始出现错误的是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【分析】根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”计算，即可判断错误的步骤． 【解答】解：∵去括号时要注意变号， ∴第二步应为：1+4x﹣2＝2﹣1+2x， ∴上述解法中，开始出现错误的是第二步． 故选：B． 【典例3】（2023秋•五莲县期末）将方程1中分母化为整数，正确的是（　　） A．10 B．10 C．1 D．1 【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程整理得：1． 故选：C． 【典例4】（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）8x﹣3（3x+2）＝6； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【解答】解：（1）去括号，8x﹣9x﹣6＝6， 移项，8x﹣9x＝6+6， 合并同类项，﹣x＝12， 系数化1，x＝﹣12； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）， 去括号，3x﹣6＝2﹣5x﹣10， 移项，3x+5x＝2﹣10+6， 合并同类项，8x＝﹣2， 系数化1，； （3）去分母，3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 去括号，9y﹣3﹣12＝10y﹣14， 移项，9y﹣10y＝12+3﹣14， 合并同类项，﹣y＝1， 系数化1，y＝﹣1； （4）去分母，3（x﹣1）﹣12＝2（2x+3）+4（x+1）， 去括号，3x﹣3﹣12＝4x+6+4x+4， 移项，3x﹣4x﹣4x＝3+6+12+4， 合并同类项，﹣5x＝25， 系数化1，x＝﹣5． 知识点3 实际问题与一元一次方程 1．列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 2．常见问题中的等量关系： ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 【典例1】（2024秋•南岗区校级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 　10　名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【分析】设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【解答】解：设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，依据“每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母”得： 2000x＝2×1200（22﹣x）， 解得：x＝12， 22﹣12＝10（人）， ∴应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 【典例2】（2024秋•南岗区校级月考）某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 　八　折． 【分析】设可打x折，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：设可打x折， 由题意得， 解得x＝8， ∴为保证获得20%利润率，则要打八折． 故答案为：八． 【典例3】（2024秋•南岗区校级月考）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做 　4　天完成． 【分析】设余下的工作再由甲独做x天完成，把这项工作看作“1”，则甲的效率为，乙的效率为，最后根据甲乙合作的量+余下的量＝工作总量，列方程即可求解． 【解答】解：设余下的工作再由甲独做x天完成，则甲的效率为，乙的效率为， 根据题意得：， 解得：x＝4， 即余下的工作再由甲独做4天完成， 故答案为：4． 【典例4】（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是　45　． 【分析】设原来的两位数十位数字是x，则个位数字是9﹣x，而新两位数十位数是9﹣x，个位数是x，于是列方程得10（9﹣x）+x（10x+9﹣x），解方程求出x的值，再求出代数式9﹣x的值，即可得到问题的答案． 【解答】解：设原来的两位数个位数字是x，则十位数字是9﹣x， 根据题意得10（9﹣x）+x（10x+9﹣x）， 解得x＝4， ∴9﹣x＝5， ∴原两位数为45， 故答案为：45． 【典例5】（2024秋•江北区校级月考）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 　80　分． 【分析】先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可． 【解答】解：设最低分做对的题目数x题，则做错（24﹣x）题， 由题意得，5x﹣3（24﹣x）＝8， 解得x＝10， ∴低分做对的题目数10题， ∵每个人的得分都不相同， ∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19， 因此第一名至少得：19×5﹣3×（24﹣19）＝80（分）， 故答案为：80． 【典例6】（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　26　m3． 【分析】设小明家3月份用水x m3，先求出用水量为15m3时应交水费，与89比较后即可得出x＞15，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明家3月份用水x m3，当用水量为15m3时， 应交水费为15×3＝45（元）． ∵45＜89， ∴x＞15． 根据题意得：45+（x﹣15）×（1+3）＝89， 解得：x＝26． 答：他家该月用水26m3． 故答案为：26． 【典例7】（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 　11　岁． 【分析】由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，列一元一次方程即可求解． 【解答】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，由题意得： 4x﹣x＝33， 解得x＝11，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 【典例8】（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少，当两人相遇时，两车出发的时间为 　2　小时． 【分析】由题意可求得乙车的速度，设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【解答】解：由题意得：（千米/时）， 设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时， 由题意可得：（90+80）x＝340， 解得：x＝2． 答：两车出发的时间为2小时， 故答案为：2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 一元一次方程全章知识典例详解 【苏科版2024】 知识点1 从算式到方程 1．方程的概念 含有未知数的等式叫方程． 【注】方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数． 2．方程的解与解方程 ①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ②求方程的解的过程，叫做解方程. 3．一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 【注】一元一次方程具有如下共同特点： ①只含有一个未知数． ②所含未知数的项的最高次数为1． ③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数． 4．等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果，那么． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果，那么；如果，那么． 【注】 ①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系． ②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零． 【典例1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 　 　．（只填序号即可） 【典例2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②；③2x+3≤5；④y2﹣1＝2y；⑤，其中是方程的是 　 　．（填序号） 【典例3】（2024春•吴忠期末）在方程：①3x﹣y＝2；②；③；④x＝0；⑤x2﹣2x﹣3＝0；⑥中，是一元一次方程的是（填序号） 　 　 【典例4】（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 【典例5】（2024秋•武昌区期中）若关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程，则k＝　 　． 【典例6】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为 　 　． 【典例7】（2023秋•句容市期末）已知x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解，则k的值是 　 　． 【典例8】（2024•船山区校级开学）若x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解，则代数式3a﹣9b﹣10＝　 　． 【典例9】（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（　　） ①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若，则a＝b；④若a＝b，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例10】（2023秋•邢台期末）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天平是（　　） A． B． C． D． 【典例11】（2024春•洪洞县期末）下列变形正确的是（　　） A．若3x＝2，则x B．若4x+y＝3，则y＝4x﹣3 C．若x＞y（x、y均不为0），则 D．若2，则2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x） 知识点2 解一元一次方程 1．解一元一次方程——合并同类项 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变． 2．解一元一次方程——移项 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 【注】 ①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边． ②移项要变号． ③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号． 3．解一元一次方程——去括号 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【注】 运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项． 4．解一元一次方程——去分母 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数． 【注】 ①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项． ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号． 5．解一元一次方程的一般步骤 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 【典例1】（2024春•郸城县校级月考）将方程去分母得到方程2x﹣4﹣3x+3＝6，其错误的原因是（　　） A．分母的最小公倍数找错 B．去分母时，漏乘了分母为1的项 C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误 D．去分母时，分子未乘相应的数 【典例2】（2023秋•襄城县期末）下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程． 解：去分母，得1+2（2x﹣1）＝2﹣（1﹣2x），第一步 去括号，得1+4x﹣2＝2﹣1﹣2x，第二步 移项，得4x+2x＝2﹣1﹣1+2，第三步 合并同类项，得6x＝2，第四步 系数化为1，得． 上述解法中，开始出现错误的是（　　） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【典例3】（2023秋•五莲县期末）将方程1中分母化为整数，正确的是（　　） A．10 B．10 C．1 D．1 【典例4】（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）8x﹣3（3x+2）＝6； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）； （3）； （4）． 知识点3 实际问题与一元一次方程 1．列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 2．常见问题中的等量关系： ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 【典例1】（2024秋•南岗区校级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 　 　名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【典例2】（2024秋•南岗区校级月考）某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 　 　折． 【典例3】（2024秋•南岗区校级月考）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做 　 　天完成． 【典例4】（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是　 　． 【典例5】（2024秋•江北区校级月考）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 　 　分． 【典例6】（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　 　m3． 【典例7】（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 　 　岁． 【典例8】（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少，当两人相遇时，两车出发的时间为 　 　小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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