专题04 等差数列中Sn的最值问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题04 等差数列中Sn的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等差数列中Sn的最大值问题 2 题型二、等差数列中Sn的最小值问题 2 压轴能力测评（9题） 3 一、等差数列的通项公式和前n项和公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 注：数列是等差数列⇔（为常数）． 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ） A．10 B．11 C．12或13 D．13 3．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 5．（22-23高二下·北京怀柔·期末）若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 3．（22-23高三上·湖南长沙·开学考试）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（    ） A．4045 B．4044 C．2023 D．2022 4．（21-22高二下·全国·期末）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题 5．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 6．（23-24高二下·江西·阶段练习）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 一、单选题 1．（22-23高二上·广东·期末）已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（    ） A．11 B．12 C．7 D．6 2．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·浙江·期中）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（    ） A．2022 B．2023 C．4043 D．4044 二、多选题 6．（23-24高二下·湖北·阶段练习）设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，均为的最大值 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 9．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B．若，则 C．时，的最小值为27 D．最大时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等差数列中Sn的最值问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、等差数列中Sn的最大值问题 2 题型二、等差数列中Sn的最小值问题 4 压轴能力测评（9题） 7 一、等差数列的通项公式和前n项和公式 1、等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2、等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 注：数列是等差数列⇔（为常数）． 二、等差数列的前n项和的最值 1、公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2、在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 【题型一 等差数列中Sn的最大值问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知等差数列的公差小于，前n项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据条件得到，，从而得到，即可求出结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得到①，由，得到②， 由①②得到，，又，，由，解得， 所以，，， 又因为，所以当或时，的值最大，最大值为， 故选：A. 2．（2023·河南郑州·模拟预测）在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ） A．10 B．11 C．12或13 D．13 【答案】C 【分析】由结合等差数列的性质可得，再由，可求得结果. 【详解】因为在等差数列中， 所以 ， 所以， 又因为， 所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负， 所以当取最大值时，或13． 故选：C． 3．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论. 【详解】因为等差数列的前项和为，，可得， 又因为，则数列的公差为， 所以，数列为单调递减数列， 则当时，，当时，， 故当时，取最大值. 故选：B. 4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 5．（22-23高二下·北京怀柔·期末）若是等差数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与关系计算求解. 【详解】， 故选：B. 6．（23-24高三上·山东青岛·期末）是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】由已知结合等差数列的性质可得：，，，然后分情况考虑，结合等差数列的通项公式可求. 【详解】由题意得，时，取得最大值，所以有，，， 若，则， 若，，则，有， . 故选：D 【题型二 等差数列中Sn的最小值问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．10 C．10或11 D．11 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 即． 又，故，则，，则， 则当取最小值时，. 故选：B． 3．（22-23高三上·湖南长沙·开学考试）设等差数列的前n项和为，且，，则取最小时，（    ） A．4045 B．4044 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得，，进而得出结论． 【详解】等差数列的前项和为，且，， ，， ，， ，公差，则当时最小． 故选：D 4．（21-22高二下·全国·期末）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，即可求解. 【详解】∵，∴，即． ∵，∴，∴， ∴当时取得最小值时，n的值为8． 故选:D． 二、填空题 5．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意可得，，，即，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 6．（23-24高二下·江西·阶段练习）设等差数列的前项和为，若对任意的，均有成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据已知得出，公差，然后分和两种情况讨论. 【详解】由题意知是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差， 若，此时，，是等差数列的前项和中的最小值， 此时，即，则； 若，，此时是等差数列的前项和中的最小值， 此时，，即， 则， 综上可得：的取值范围是， 故答案为：． 一、单选题 1．（22-23高二上·广东·期末）已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（    ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据已知条件，判断出，的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得. 【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又因为， 故可得，所以数列的前6项和有最大值， 且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于. 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】 由题意可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案. 【详解】 因为，则数列为等差数列， 设等差数列的公差为，则， 所以数列的通项公式为， 令，解得， 所以当时，，当时，， 所以数列中前项的和最大. 故选：A. 3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列的首项为1，前项和为，且对任意，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得等差数列是递减数列，可得，，结合等差数前和公式即可判断. 【详解】设的公差为，由题设条件可知，且则， 因此，， 而符号不确定． 故选：C． 4．（22-23高二下·浙江·期中）等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出是的最大值，从而有，且，，由此得出的范围，推导出结论． 【详解】等差数列的公差不为0，其前n和满足，因此是的最大值，显然， 从而，即，，， ． 故选：C． 5．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（    ） A．2022 B．2023 C．4043 D．4044 【答案】D 【分析】 根据题意分析出、、等，利用等差数列的前项和公式分析出结果. 【详解】解：因为等差数列的前项和有最小值， 所以等差数列的公差， 因为，所以，， 所以， 又因为， 所以，即，故， 所以， ， 当时，；当时，； 故使成立的正整数的最小值为. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二下·湖北·阶段练习）设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．，均为的最大值 【答案】BCD 【分析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项. 【详解】由题意， 又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对； 从而，所以，均为的最大值，D对； 而，所以，C对. 故选：BCD. 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B．， C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，，即可判断B、C，又判断A，根据，判断D. 【详解】，， ∴， ， ∴，， ∴，，且，故B、C正确； ∴公差，等差数列是递增数列，故A错误； 因为，，所以时，取得最小值， 所以，故D正确. 故选：BCD. 8．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列中，，，若，，则（    ） A．有最小值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最小值 D．无最大值，有最大值 【答案】AD 【分析】先利用等差数列的通项公式求得基本量，从而得到，利用它们的表达式进行分析即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意，得，解得， ， ， 当时，有最小值无最大值， 而， 易得，，且， 当时，， 当时，有最大值，无最小值. 故选：AD. 9．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知首项为正数的等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A． B．若，则 C．时，的最小值为27 D．最大时， 【答案】ABC 【分析】由等差中项的性质及等差数列前项和公式即可判断AB；由等差数列的前n项和和等差中项判断C；由A和等差数列的前项和判断D. 【详解】对于A，首项为正数的等差数列的前项和为， 所以， 若，则一定大于零，不符合题意， 所以，，故A正确； 对于B，由，， 可得，即， 解得，故B正确； 对于C，，， 所以时，的最小值为27，故C正确； 对于D，由A可知，因为，，可知， 即当时，，当时，， 所以时，取最大值，故D错误. 故选：ABC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$