3.3.2：抛物线的几何性质【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.2：抛物线的几何性质 【考点梳理】 · 考点一：抛物线的性质、范围 · 考点二：抛物线的对称性 · 考点三：抛物线的弦长问题 · 考点四：抛物线的中点弦、焦点弦性质问题 · 考点五：抛物线中的参数范围 · 考点六：抛物线的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一：抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点二：直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三：直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型归纳】 题型一：抛物线的性质、范围 1．（20-21高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 2．（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 3．（20-21高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则 ；周长的取值范围为 ． 题型二：抛物线的对称性 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（20-21高二上·北京·期末）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 题型三：抛物线的弦长问题 7．（24-25高二上·全国）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 题型四：抛物线的中点弦、焦点弦性质问题 10．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 12．（2021·辽宁朝阳·一模）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题： 甲：点坐标为； 乙：抛物线的准线方程为； 丙：线段长为4； 丁：直线与抛物线相切． 如果只有一个命题是假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型五：抛物线中的参数范围 13．（20-21高二上·江苏·期末）抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数的a取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（20-21高二上·陕西西安·期末）已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六：抛物线的定值、定点问题 16．（23-24高二上·四川成都）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设直线与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：直线过定点，并求出这个定点的坐标. 17．（21-22高二上·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值. 18．（20-21高二上·广东清远·期末）已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·湖南）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二下·安徽芜湖）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 21．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与抛物线交于A、B两点（异于O点），若，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．4 B．或4 C．4或 D． 24．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 25．（23-24高二上·江苏苏州）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 28．（23-24高二上·河南洛阳·期中）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（23-24高二上·江苏无锡·期末）直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A．直线的斜率为定值 B．直线经过定点 C． D．面积的最小值为16 30．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（    ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为12 31．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条 C．的最小值为 D．抛物线C：通径为4 32．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 33．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 34．（23-24高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 35．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 36．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 37．（23-24高三上·北京）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ． 四、解答题 38．（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 39．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 40．（23-24高二下·四川成都）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 41．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 42．（23-24高二下·吉林长春）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 43．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2：抛物线的几何性质 【考点梳理】 · 考点一：抛物线的性质、范围 · 考点二：抛物线的对称性 · 考点三：抛物线的弦长问题 · 考点四：抛物线的中点弦、焦点弦性质问题 · 考点五：抛物线中的参数范围 · 考点六：抛物线的定值、定点问题 【知识梳理】 知识点一：抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点二：直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三：直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型归纳】 题型一：抛物线的性质、范围 1．（20-21高二上·江苏扬州·期中）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河南·期中）抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4 3．（20-21高二下·湖南·期中）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则 ；周长的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】抛物线与圆的方程联立求得点的坐标；利用抛物线的定义转化，再求周长的取值范围. 【详解】 设与抛物线的准线交于点，则 周长为 又∴周长. 故答案为：； 题型二：抛物线的对称性 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 5．（2023高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 6．（20-21高二上·北京·期末）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设三角形其中一个顶点为，根据三角形为正三角形，由求得x即可. 【详解】设三角形其中一个顶点为， 因为三角形是正三角形， 所以，即， 解得， 所以三角形的两个顶点为， 所以三角形的面积为， 故选：A 题型三：抛物线的弦长问题 7．（24-25高二上·全国）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以， 解得，所以直线的斜率为． 故选：B. 8．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点､，若，则弦的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦的长. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为直线过抛物线的焦点， 且与该抛物线交于不同的两点、， 则. 故选：D. 9．（23-24高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】当直线l的斜率为0时，不合要求，设过F的直线l的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，根据面积之比得到，从而求出，，进而由抛物线焦点弦公式进行计算. 【详解】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去； 设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得， ， 设，，则， 因为面积是面积的两倍，所以， 则，解得，则， 则，解得， 故，    则. 故选：B 题型四：抛物线的中点弦、焦点弦性质问题 10．（22-23高二上·新疆·期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果. 【详解】设， 由得：， 线段的中点为，，， ，即直线的斜率为， 直线的方程为：，即. 故选：A. 11．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得. 【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线， 则，， 因为， 所以，所以，所以， 所以，， 所以. 因为， 所以， 解得，所以，点F到AM的距离为， 所以. 法二：因为， 所以，所以，即. 连接FM，又， 所以为等边三角形. 易得，所以. 故选：A. 12．（2021·辽宁朝阳·一模）抛物线（）的焦点为，过与轴垂直的直线交于点，，有下列四个命题： 甲：点坐标为； 乙：抛物线的准线方程为； 丙：线段长为4； 丁：直线与抛物线相切． 如果只有一个命题是假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】观察题意，甲与乙不能同时存在，因此可设其中一个正确进行推导判断其他选项，可得结论． 【详解】解：抛物线（）的焦点坐标为， 若，则，，甲正确； 抛物线的准线方程为，乙错误； 抛物线的通径为，丙正确； 抛物线方程为，与联立，可得，即， 可得直线与抛物线相切于，丁正确． 若，则，可得，甲错误； 准线方程为，乙正确； 抛物线的通径为，丙错误，不合题意． 故，甲、丙、丁正确，乙错误． 故选：B． 题型五：抛物线中的参数范围 13．（20-21高二上·江苏·期末）抛物线的顶点是抛物线上到点的距离最近的点，则实数的a取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设是抛物线上任一点，求出，由时取得最小值可得的范围． 【详解】设是抛物线上任一点， 则， ∵，∴当，即时，时，． 故选：D． 14．（2023·全国·模拟预测）已知圆过点，且与直线相切，是圆心的轨迹上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义得点的轨迹方程，然后设出点的坐标，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而求出的最小值. 【详解】由题意可知点到直线的距离等于点到点的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，且焦点到准线的距离， 所以点的轨迹方程为． 设，则点到直线的距离 ，所以的最小值为． 故选：A． 15．（20-21高二上·陕西西安·期末）已知抛物线方程为，直线，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程设点，利用点到直线的距离公式计算距离求最值即可. 【详解】设抛物线上的动点，， 则点P到直线l的距离. ∵，∴时. 故选：D. 题型六：抛物线的定值、定点问题 16．（23-24高二上·四川成都）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设直线与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：直线过定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）直接利用抛物线的性质和准线方程得出； （2）设直线l为，直曲联立，再由四边形是平行四边形，所以，得到，，代入，最后带入抛物线方程，解出. 【详解】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点，准线. （2） 设，，，，直线l为，联立. 则，，所以， 因为四边形是平行四边形，所以， 则， 所以，，代入， 得：，解得，即直线过定点. 17．（21-22高二上·青海玉树·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离等于点到直线的距离. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，，直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据抛物线定义及焦准距即得动点的轨迹方程； （2）先设出直线的方程，与抛物线方程联立，消元后整理成一元二次方程，得出韦达定理，再利用斜率定义，得到的表达式，整理成的对称式，代入韦达定理即得定值. 【详解】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离，故可知动点的轨迹是抛物线， 设其方程为，由题意得，故动点的轨迹方程为： （2） 如图，因直线的斜率不能为零（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点， 可设由消去并整理得：， 显然设，则由韦达定理，（*） 则， 将（*）代入得：, 故为定值. 18．（20-21高二上·广东清远·期末）已知抛物线和圆交于两点,且，其中O为坐标原点. (1)求的方程. (2)过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明:直线的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）根据题意得到，代入即可得到答案； （2）根据题意设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到进而求出定值即可. 【详解】（1）由O为坐标原点,且，得直线的方程为， 代入圆的方程，得， 解得或，则， 将点P的坐标代入的方程，得，则， 故C1的方程为 （2）由（1）可知，，，    因为直线不与坐标轴平行，所以直线斜率存在且不为， 设直线l的方程为， 联立， 整理得，. 设，则， 所以点M的横坐标为, 所以，则， 所以，故T是定值,且定值为 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·湖南）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立求出交点，再利用焦半径公式求解即可. 【详解】由题意得，， 直线与抛物线在第一象限交于点 ，解得或， 由于在第一象限，故的横坐标为1，则. 故选：B 20．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）直线与抛物线交于 两点，则 （    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得，又因为抛物线 的焦点在直线上，由抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】联立，消去可得， 设，， 所以， 又因为抛物线 的焦点在直线上， . 故选：B. 21．（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 22．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与抛物线交于A、B两点（异于O点），若，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】联立方程组，由题意和韦达定理得，可解. 【详解】依题意，设 联立方程组，，得， 所以， 因为，即， 解得. 故选：D 23．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和分别交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．4 B．或4 C．4或 D． 【答案】C 【分析】先求得直线的方程，然后通过联立方程组求得点的横坐标，进而求得. 【详解】抛物线：的，所以抛物线的准线方程为，焦点为， 直线的方程为， 由消去并化简得， 解得或， 所以或，C选项正确. 故选：C 24．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【详解】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 25．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出，在中，由，进而可推出，根据的范围，即可得到结果. 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 26．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知（O为坐标原点）的顶点都在抛物线上，若抛物线的焦点F恰好是的重心，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】确定，设， ，根据重心坐标公式计算得到点坐标，再利用两点间距离公式计算得到答案. 【详解】抛物线，则焦点，设， ， 则，解得或， 不妨取，， 则. 故选：A 27．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 28．（23-24高二上·河南洛阳·期中）设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解. 【详解】解：    如上图，由题意，抛物线的准线为，可得． ∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为， ∴设直线方程为， 将其代入，化简并整理得：． 由，得． 设，，则，， ∴． ∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为， 与抛物线交点为知，所以． 又∵，则， ∴的面积． 由已知条件知，∴，解得（满足），解得：. ∴直线的方程为，即， ∴直线的斜率为． 故选：A． 二、多选题 29．（23-24高二上·江苏无锡·期末）直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A．直线的斜率为定值 B．直线经过定点 C． D．面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理逐项判断即得. 【详解】显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得，则， 则，，且， 由，得，而，解得，满足， 因此直线恒过定点，且，BC正确； 的面积，当时取等号，D正确， 显然直线是过点，且绕着该点旋转并与抛物线相交的直线，直线的斜率不为定值，A错误. 故选：BCD    30．（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（    ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为12 【答案】BD 【分析】先根据题意及直线过定点即可判断A，B；再根据抛物线的性质知直线垂直于轴，取得最小值，进而即可判断C，D． 【详解】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确； 对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确． 故选：BD． 31．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，是抛物线上一个动点，点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．过点与抛物线有唯一公共点的直线有2条 C．的最小值为 D．抛物线C：通径为4 【答案】AD 【分析】根据焦半径公式列方程求解判断A，分类讨论，设直线方程，与抛物线联立，判别式法判断B，利用三点共线距离和最短判断C，根据通径定义求解判断D. 【详解】由抛物线知，，焦点为， 对于A，因为，所以，所以，正确； 对于B，当过点的直线斜率不存在时，即直线为y轴时，满足直线与抛物线有唯一公共点； 当过点的直线斜率为0时，直线为，满足直线与抛物线有唯一公共点； 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线为， 联立，得， 由题意，解得， 所以过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条，错误； 对于C，，当且仅当三点共线时，等号成立，错误； 对于D，联立，得，所以通径两端点坐标为， 所以抛物线C：通径为4，正确. 故选：AD 32．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D. 【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确； 由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误； 若，故，即或（舍去）， 因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确； 设过点的切线方程为，联立 ， 所以，故 或，所以方程的根为， 故切线方程中分别为和，故， ， 可得直线，即，故D正确. 故选：ACD. 33．（23-24高二上·江苏盐城·期中）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设过焦点的直线方程为设直线：，，， 联立直线与抛物线方程得消元得， 由韦达定理可得，，所以， 又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确； 由知，解得， 所以，故选项C正确； ，故选项D正确； 故选：BCD. 三、填空题 34．（23-24高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，求出，的坐标，进而得到，再由点到直线的距离公式，求出的高，即可求得的面积． 【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图所示， 设抛物线的准线为，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于点，过点作垂直于且交于， 则，所以直线的倾斜角为， 又，故直线的方程为， 联立，消整理得，即，解得或， 则，，所以， 又原点到直线的距离为，所以， 当直线的斜率为负，即直线的倾斜角为时，同理可求． 故答案为：． 35．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得抛物线方程为，直线方程为，联立方程组，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解. 【详解】如图所示，由抛物线的焦点为， 可得，解得，所以抛物线的方程为， 又由过点且斜率为的直线， 联立方程组，整理得，其中， 设，可得， 又由抛物线的定义，可得. 故答案为：. 36．（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可. 【详解】 设圆心为，半径为2，则四边形的面积， 所以， 又在中，， 所以， 设，则， 所以当时，有最小值， 此时有最小值 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题中求有最小值关键是利用四边形的面积将的表达式求出来，再转化为的函数求最值. 37．（23-24高三上·北京·开学考试）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角. 【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作， 因为，，且，所以, 则，， 所以，则，即直线的倾斜角为.    故答案为： 四、解答题 38．（24-25高二上·江苏南京·期中）设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 39．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义来求得直线的方程. （2）根据来进行求解，利用弦长公式求得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， ，解得， 所以直线的方程为. （2）由，令，解得，则， 依题意，，， 所以，则， 结合，解得， 所以. 40．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义可求答案； （2）联立方程，结合韦达定理，求出的中点坐标，得到AB的垂直平分线，进而得到答案. 【详解】（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，且，曲线C的方程为：； （2）设直线AB的方程为，，， 直线与抛物线联立：， ，，，即， ，，     又，即， 又， ，即，         又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为， 令，则，故点N为定点，坐标为. 41．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P． (1)若，求P的坐标； (2)若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积. 【详解】（1）因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，， 由消去x得，， 所以，，， 由，得， 解得，满足，所以直线方程为， 令得，即P的坐标. （2）由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点， 由消去x得，， 所以，，， 所以，解得， 点到直线的距离为， 所以, 故的面积为.    42．（23-24高二下·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得，即得直线方程. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即， 所以，， 所以椭圆方程为 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意； 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得， 设，则， 根据焦点弦公式可得， 解得，， 所以直线方程为或 43．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线PA交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线C的标准方程； （2）方法1：设，，求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点的坐标，同理得点坐标，从而求得直线的方程，可得证；方法2：设，，，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，求出直线的方程，从而得点纵坐标，同理得点纵坐标，由对称性可得证. 【详解】（1）设抛物线C的标准方程为或， 将A坐标代入，得，所以； 将A坐标代入，得，所以， 所以抛物线C的标准方程为或． （2）方法1：由抛物线C开口向右得标准方程为， 准线，设，， 则，即， 由，得， 所以， 所以，， 所以， 用代m，得，则， 所以， 化简得 所以，直线MN过定点． 方法2：由抛物线C开口向右得标准方程为，准线， 直线MN不垂直于y轴，设，，， 由得， 所以，， 所以， 所以， 令，则，同理． 因为P，Q关于x轴对称， 所以， 则． 所以，直线MN过定点． 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$