3.3.1抛物线的标准方程【6大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3.1抛物线的标准方程 【考点梳理】 · 考点一：抛物线的定义求轨迹方程 · 考点二：抛物线的最值问题 · 考点三：抛物线焦半径的公式 · 考点四：抛物线的四种标准方程 · 考点五：抛物线在生活中的实际应用 · 考点六：抛物线的方程综合问题 【知识梳理】 知识点一：抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二：抛物线的标准方程、【考点梳理】 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 【题型归纳】 题型一：抛物线的定义求轨迹方程 1．（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·江苏）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是 ． 3．（21-22高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 题型二：抛物线的最值问题 4．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 5．（23-24高二上·福建厦门）已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 6．（22-23高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：抛物线焦半径的公式 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 9．（22-23高二下·甘肃白银·期末）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    题型四：抛物线的四种标准方程 10．（22-23高二下·河南洛阳）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 11．（2023·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·全国）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 题型五：抛物线在生活中的实际应用 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·江西赣州·期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（    ） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 15．（2023·广西玉林·二模）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 题型六：抛物线的方程综合问题 16．（22-23高二上·全国）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 17．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 18．（23-24高二上·河北保定·期中）已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 20．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 21．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（2023·贵州遵义·三模）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高三上·江苏南京·期中）抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（    ） A．1 B． C．或 D．或 27．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 28．（22-23高二下·贵州黔西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 29．（22-23高二下·云南保山·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 30．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）设是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为2 B．若点的坐标为，则 C．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条 D．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 31．（2023·海南海口·模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 三、填空题 32．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 33．（23-24高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，且，则的值为 . 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 . 35．（2023·湖南永州·一模）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ． 四、解答题 36．（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 37．（23-24高二上·全国）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 38．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 39．（22-23高二下·四川遂宁）已知抛物线上横坐标的点到其焦点的距离为，在轴上截距为2的直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点． (1)求抛物线方程和准线方程； (2)若，求直线的方程． 40．（22-23高二上·陕西商洛·期末）直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.1抛物线的标准方程 【考点梳理】 · 考点一：抛物线的定义求轨迹方程 · 考点二：抛物线的最值问题 · 考点三：抛物线焦半径的公式 · 考点四：抛物线的四种标准方程 · 考点五：抛物线在生活中的实际应用 · 考点六：抛物线的方程综合问题 【知识梳理】 知识点一：抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 知识点二：抛物线的标准方程、【考点梳理】 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 【题型归纳】 题型一：抛物线的定义求轨迹方程 1．（21-22高二上·重庆沙坪坝·期中）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方程． 【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1， ∴点到点的距离等于它到直线的距离， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. 故选：D. 2．（21-22高二·江苏）若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将条件转化为点到直线的距离与它到点的距离相等，结合抛物线的定义即可求解点的轨迹方程． 【详解】点到直线的距离比它到点的距离小， 点到直线的距离与它到点的距离相等， 点的轨迹是以为焦点、直线：为准线的抛物线， 因此，设的轨迹方程为，， 可得，解得，， 动点的轨迹方程为． 故答案为：． 3．（21-22高二上·全国·课前预习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】将转化为动点到点的距离，转化为动点到直线的距离，再根据抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为， 所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为． 故答案为： 题型二：抛物线的最值问题 4．（22-23高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．11 D．26 【答案】C 【分析】根据，再结合图形求解即可. 【详解】因为抛物线：，所以抛物线的准线为， 记抛物线的准线为，作于，如图所示： 因为，， 所以当，，共线时，有最小值，最小值为. 故选：C. 5．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义，数形结合即可得解. 【详解】如图，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接， 则，当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 6．（22-23高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 题型三：抛物线焦半径的公式 7．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知是抛物线的焦点，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入点坐标求得，从而得焦点坐标，然后由焦半径公式可得结论． 【详解】由已知，，所以. 故选：C． 8．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出，的长度，然后列出方程即可得到结果. 【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点， 因为点在抛物线上，所以，， 又，为正三角形，， 又，在中，即， 解得或（舍去），所以到的距离为. 故选：A. 9．（22-23高二下·甘肃白银·期末）如图，是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则 .    【答案】10 【分析】根据列方程，求得点的横坐标，进而求得. 【详解】依题意， 过向轴作垂线，记垂足为，如下图所示，设的横坐标为， 则，. 因为，所以. 由，得，故. 故答案为：      题型四：抛物线的四种标准方程 10．（22-23高二下·河南洛阳）点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由抛物线的准线方程,分类讨论求参数的值. 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 11．（2023·河南新乡·三模）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：依题意得 ， 因为，所以. 又，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：D 12．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 题型五：抛物线在生活中的实际应用 13．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 14．（23-24高二上·江西赣州·期中）石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（    ） A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解. 【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，    设抛物线的标准方程为， 由题意知，点在抛物线上， 代入抛物线方程可得， 解得， 所以抛物线方程为， 由题意，当水面下降0.9m时，点在抛物线上， 代入抛物线方程可得，解得， 所以水面的宽度为. 故选：C 15．（2023·广西玉林·二模）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，代入点的坐标求出即可得解. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为． 设抛物线的标准方程为，则，解得． 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：C 题型六：抛物线的方程综合问题 16．（22-23高二上·全国）根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程是； (2)过点； (3)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）（2）（3）利用抛物线的定义及其性质即可得出． 【详解】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且， 则，故所求抛物线的标准方程为． （2）点在第二象限， 设所求抛物线的标准方程为或， 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为； 将点代入，得，解得， 所以抛物线方程为． 综上所求抛物线的标准方程为或． （3）由焦点到准线的距离为，所以， 故所求抛物线的标准方程为或或或． 17．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出抛物线的方程，然后代点计算即可得答案； （2）将直线与抛物线的方程联立，求出两点坐标，然后用两点距离公式求解即可. 【详解】（1）设抛物线的方程为， 将代入方程解得． 因此抛物线C的标准方程为； （2）直线的方程为，设， 联立直线与抛物线的方程：，解得 所以的长为． 18．（23-24高二上·河北保定·期中）已知定点，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义求解； （2）设直线方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理，由求解. 【详解】（1）由题意得：等于点到直线的距离， 即点M的轨迹是以为焦点，以l：为准线的抛物线， 则，解得， 所以抛物线的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 当时，，此时，不合题意，舍去； 则直线l的斜率存在，设直线方程为，， 与抛物线方程联立，消去得， 因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点， 由韦达定理得， 所以弦长：， 解得，即， 所以直线l的方程为：. 【高分达标】 一、单选题 19．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得. 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 20．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知抛物线的焦点为点在上. 若到直线的距离为4，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解． 【详解】因为抛物线的焦点准线方程为， 点M在C上，所以M到准线的距离为. 又M到直线的距离为4，故. 故选：D. 21．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为， 所以抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：D. 22．（23-24高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 23．（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解. 【详解】如图所示：   为准线与轴的交点， 因为，且，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以. 故选：A. 24．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且点到的距离为，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出的值，即可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的准线方程为，焦点为， 由抛物线的定义可知，点到的距离为，可得，故. 故选：B. 25．（2023·贵州遵义·三模）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 26．（23-24高三上·江苏南京·期中）抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（    ） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为， 不妨取，设，， 解得或，或. 故选：D 27．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点（在第一象限），是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义，联立直线与抛物线，结合韦达定理可得解. 【详解】 如图所示， 由抛物线的焦点为，可知， 所以抛物线方程为， 又是以为直径的圆与抛物线的准线的公共点， 所以， 又，， 所以， 所以， 所以直线的斜率， 则直线的方程为， 联立直线与抛物线，得， 则， 所以， 故选：B. 二、多选题 28．（22-23高二下·贵州黔西·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（    ） A．F的坐标为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C正确； 由，所以D正确． 故选：BCD． 29．（22-23高二下·云南保山·阶段练习）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】 根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】 由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 30．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）设是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为2 B．若点的坐标为，则 C．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条 D．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的弦长公式可判定A选项；点到点的距离公式可得出B选项； 直线与抛物线只有一个公共点一定要考虑斜率为0和斜率不存在的特殊情况，不仅仅是； D选项利用向量的坐标运算，得到，再带入韦达定理求解即可. 【详解】由题，，设直线    联立 ，（※） ， 故的最小值为2，A选项正确； 点的坐标为，则，故B选项正确； 设过点的直线方程为或或， 时，与抛物线只有一个公共点； 时，与抛物线只有一个公共点； 时，联立 解得，故与抛物线只有一个公共点的直线有3条，C选项错误； 因为（点在第一象限），所以直线AB经过点F， 带入（※）式得：且, 故直线的倾斜角为. 故选：ABD. 31．（2023·海南海口·模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ） A． B． C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABD 【分析】根据抛物线的标准方程确定的值，得抛物线方程与焦点坐标，再由抛物线定义求得的坐标，确定直线的斜率与的面积，逐项判断即可得答案. 【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；    由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得， 所以，故C不正确； 则的面积，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 32．（23-24高二上·河南信阳·期末）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求得，从而得解. 【详解】依题意，，设抛物线的准线为， 分别过点作，为垂足，则，如图， 则， 所以周长. 故答案为：. 33．（23-24高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，且，则的值为 . 【答案】 【分析】利用抛物线定义得到为正三角形，，即可根据角度求得结果. 【详解】由抛物线定义可知， 所以，为正三角形. 由，得. 如图，设准线与轴交于点， 由抛物线方程可知. 因为，所以， 所以，所以，故.    故答案为： 34．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知一个抛物线形拱桥在一次暴雨前后的水位之差为，暴雨后的水面宽为，暴雨来临之前的水面宽为，则暴雨后的水面离拱顶的距离为 . 【答案】1 【分析】设出抛物线方程为，代入，利用水位之差得到方程，求出，求出答案. 【详解】如图所示，以拱顶为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 为暴雨前的水面宽度，为暴雨后的水面宽度， 设，则， 故，解得， 故，即暴雨后的水面离拱顶的距离为1m. 故答案为：1 35．（2023·湖南永州·一模）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】 设，表示出，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于的方程，即可求得p，即得答案. 【详解】由可知， 设，则， 则，故，即①； 又点在抛物线上， 故②，且，即③， ②联立得，得或， 由于，故，结合③， 解得，故抛物线方程为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数间的等量关系，从而列出方程组，即可求解. 四、解答题 36．（2023高二上·江苏·专题练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)过点； (3)焦点在直线上． 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，直接写出方程即得. （2）设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求解即得. （3）求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程即得. 【详解】（1）准线方程为，即，则抛物线的焦点坐标为， 所以所求抛物线的标准方程为. （2）设所求抛物线的标准方程为或， 于是，解得，或，解得， 所以所求抛物线的标准方程为或. （3）直线交y轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为； 直线交x轴于点，则以为焦点的抛物线标准方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 37．（23-24高二上·全国·课后作业）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.      (1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标； (2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，焦点的坐标为； (2) 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法、代入法进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为：，把代入方程中，得 ， 所以抛物线的标准方程为，焦点的坐标为；    （2）设抛物线的方程为， 把代入方程中，得， 所以焦点的坐标为：. 38．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点，延长交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，，. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，结合点坐标，列出等式求出即可求得抛物线方程； （2）根据抛物线方程求出点坐标,进而求得直线方程，联立直线与抛物线方程求得两根之和，根据抛物线定义即可得，再求出点到直线的距离，根据三角形面积公式即可求得面积值。 【详解】（1）解：由题知A为抛物线上一点，所以， 解得，故抛物线方程为； （2）由（1）知，抛物线方程为， 所以，，， 所以，，即， 因为直线交抛物线另一点为， 记点横坐标为，点横坐标为， 联立，可得：， 所以，所以， 而点到直线的距离， 所以. 39．（22-23高二下·四川遂宁·阶段练习）已知抛物线上横坐标的点到其焦点的距离为，在轴上截距为2的直线与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点． (1)求抛物线方程和准线方程； (2)若，求直线的方程． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）利用抛物线上一点到其焦点的距离为，根据焦半径公式求出，得到抛物线的标准方程和准线． （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解． 【详解】（1）题意可得，解得， 故抛物线方程为；故准线方程为 （2）设，，，，由题意可知直线有斜率且不为0，故设其方程为， 联立方程中，消去得，， 则，， ， 又由， 化简得 故直线方程为，    40．（22-23高二上·陕西商洛·期末）直线：与抛物线：交于，两点，且 (1)求抛物线的方程； (2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）判断出直线过抛物线的焦点，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，根据列方程，求得，进而求得抛物线的方程. （2）利用点差法求得的斜率. 【详解】（1） 因为M的焦点为， 且直线l：经过点，所以经过的焦点． 联立，得． 设，，则， 则， 解得．所以M的方程为． （2） 设，，则， 两式相减，得． 因为， 所以l＇的斜率为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$