专题3.7 抛物线的标准方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题3.7 抛物线的标准方程 教学目标 1. 了解抛物线的定义，能推导出抛物线的标准方程． 2. 能根据已知条件求抛物线的标准方程． 3. 会求直线与抛物线的交点坐标． 4. 通过对恰当坐标系的选择和建立过程，提升数学建模素养；在推导标准方程的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在解决与抛物线有关问题的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 抛物线的定义及其标准方程的求法． 2.难点 区分标准方程的四种形式． 知识点01 抛物线的定义 双曲线的定义： 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线． 注意：（1）定点F不在这条定直线l上； （2）设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【即学即练】 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解析】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 2．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【即学即练】 1．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解析】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 2．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出. 【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为， 又抛物线的准线方程为， 所以可得，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 知识点03 与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（  ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线的焦点坐标，求出a，设出P的坐标，表示出距离，利用二次函数的性质求解最小值即可． 【解析】因为抛物线的焦点为，由题意得，则，所以，设， 则， 所以当时，. 故选：A. 2．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【解析】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 题型01 抛物线的定义及辨析 【典例1】已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论. 【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为， 因为点到焦点的距离是， 由抛物线的定义，可得点到准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 抛物线的定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定焦点；一定直线；一个定值 注意：（1）焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （2）解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【变式1】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【解析】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式2】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】由题得抛物线焦点，准线方程为，F到准线距离为， 所以圆的半径为， 所以该圆的方程为. 故选：D. 【变式3】若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则_______ 【答案】2 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【解析】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故答案为：2 【变式4】已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 【答案】4 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，      则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 题型02 轨迹问题——抛物线 【典例1】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据抛物线的定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【解析】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 【变式2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故选：A. 【变式3】与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 【变式4】设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【分析】根据题干运算定义，推出，从而得到，所以，即，从而根据点P的轨迹判断正确选项. 【解析】， ， ， ,即． 故点P的轨迹为抛物线的一部分． 故选：D． 【变式5】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 题型03 抛物线的焦点坐标及准线方程 【典例1】抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【解析】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 抛物线的焦点坐标及准线方程的求解方法: 将所给抛物线方程化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标 【变式1】已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【解析】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 【变式2】已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【解析】抛物线的标准方程为，则，可得，， 故抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 【变式3】抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 【答案】 【分析】化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标，得到答案. 【解析】由抛物线，可得，则抛物线的焦点在轴上，且，即， 所以抛物线焦点坐标为，准线方程为, 故答案为：；. 题型04 抛物线标准方程的求解 【典例1】已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解析】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　 【变式1】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 【变式2】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1);(2)或;(3) 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 题型05 利用抛物线方程求参数值（范围） 【典例1】抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（  ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【解析】因为，所以，其准线方程为 ， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 根据抛物线方程以及抛物线定义求解参数值.有时还需借助几何图形求解 【变式1】已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得答案. 【解析】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D. 【变式2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解析】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 【变式3】若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【解析】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 【变式4】已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【解析】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故答案为：2 题型06 求抛物线上的点到定点的距离最值 【典例1】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解析】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 设利用两点间距离计算用过抛物线方程将二元二次函数转化为一元二次函数求最值即可. 【变式1】已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【解析】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 【变式2】设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解析】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 【变式3】已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得， ，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【解析】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故答案为：． 题型07 抛物线上距离的和、差最值问题 【典例1】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解析】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 【变式3】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 【变式4】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3. 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解析】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 2．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【解析】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 3．抛物线的准线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知方程化为标准方程，再求准线方程. 【解析】将化为标准方程， 由此得，所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 4．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【解析】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】由题意可知，如图所示， 在抛物线上，则 易知，，由， 因为被直线截得的弦长为，则， 由，于是在中， 由解得：，所以． 故选：C. 6．已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，圆的半径，圆的半径． 因为，当且仅当点在线段上，点在线段上时，等号成立， 所以，当且仅当点共线，且从左到右依次为点时两等号同时成立． 故选:C． 7．（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（  ） A．若，则曲线表示椭圆 B．若曲线表示双曲线，则 C．无论取何值，曲线都不能表示圆 D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线 【答案】BD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆、抛物线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】A选项，若曲线表示椭圆， 则，解得，所以A选项错误. B选项，若曲线表示双曲线， 则，解得，所以B选项正确. C选项，由上述分析可知，当时，曲线方程可化为， 表示圆，所以C选项错误. D选项，依题意可知且， 由上述分析可知：无论取何值，曲线C都不能表示抛物线，D选项正确. 故选：BD 8．（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用点到直线的距离可得答案. 【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或， 故选AB． 9．（多选）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（  ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可. 【解析】由抛物线：，可得，故D错误； 由抛物线的定义可得，所以，故A正确； 因为点在抛物线上， 所以，所以，故B正确； 则，故C正确. 故选：ABC. 10．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解析】由题意知，动点M到的距离比到的距离多1， 则动点M到的距离与到的距离相等， 根据抛物线的定义，为准线，为焦点， 设抛物线为，，， 故. 故答案为：. 11．若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【解答过程】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A. 12．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是________ 【答案】3 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解析】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故答案为：3. 13．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1);(2)或;(3);(4) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出焦准距p，即可得答案. 【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； （4）由题意抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 故， 故抛物线标准方程为. 14．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）根据题意可知，解得． 故的值为. （2）由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 抛物线的标准方程 教学目标 1. 了解抛物线的定义，能推导出抛物线的标准方程． 2. 能根据已知条件求抛物线的标准方程． 3. 会求直线与抛物线的交点坐标． 4. 通过对恰当坐标系的选择和建立过程，提升数学建模素养；在推导标准方程的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养；在解决与抛物线有关问题的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 抛物线的定义及其标准方程的求法． 2.难点 区分标准方程的四种形式． 知识点01 抛物线的定义 双曲线的定义： 平面内到一个定点F和一条定直线l(________)的距离________的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的________，定直线l叫作抛物线的________． 注意：（1）定点F不在这条定直线l上； （2）设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 【即学即练】 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点02 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【即学即练】 1．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 2．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 知识点03 与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)________：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)________：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【即学即练】 1．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则点到点距离的最小值为（  ） A． B．5 C． D．6 2．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．8 题型01 抛物线的定义及辨析 【典例1】已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 抛物线的定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定焦点；一定直线；一个定值 注意：（1）焦点不在准线上，若在上，抛物线变为过且垂直与的一条直线． （2）解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化． 【变式1】已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知拋物线的焦点为.若的准线被以为圆心的圆截得的弦长为2，则该圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则_______ 【变式4】已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 题型02 轨迹问题——抛物线 【典例1】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 求轨迹方程的常见方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据抛物线的定义列方程． (3)相关点法：由相关点法求轨迹方程时，先设所求曲线上一点的坐标，根据题中条件，确定已知曲线上的点与所求点之间的关系，用所求点的坐标表示出已知点，代入已知曲线方程化简整理，即可得出结果．有时也需要用参数表示出所求点，再消去参数，即可得出结果． 【变式1】已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【变式4】设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【变式5】已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 题型03 抛物线的焦点坐标及准线方程 【典例1】抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 抛物线的焦点坐标及准线方程的求解方法: 将所给抛物线方程化简得到抛物线的标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求得其准线和焦点坐标 【变式1】已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式3】抛物线的焦点坐标是 ；准线方程 题型04 抛物线标准方程的求解 【典例1】已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数 直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．　　　　 【变式1】以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 题型05 利用抛物线方程求参数值（范围） 【典例1】抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（  ） A． B． C．-8 D．-4 根据抛物线方程以及抛物线定义求解参数值.有时还需借助几何图形求解 【变式1】已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式2】已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（  ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【变式4】已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则 ． 题型06 求抛物线上的点到定点的距离最值 【典例1】已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 设利用两点间距离计算用过抛物线方程将二元二次函数转化为一元二次函数求最值即可. 【变式1】已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 题型07 抛物线上距离的和、差最值问题 【典例1】已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值：利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化；定点所在位置是抛物线的内部还是外部；根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【变式4】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 2．与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（  ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 3．抛物线的准线方程是（  ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（  ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（  ） A． B． C． D． 6．已知分别为圆和抛物线上的点，抛物线的焦点为．若点为以点为圆心，以1为半径的圆上的动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（  ） A．若，则曲线表示椭圆 B．若曲线表示双曲线，则 C．无论取何值，曲线都不能表示圆 D．无论取何值，曲线都不能表示抛物线 8．（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则（  ） A． B． C． D．的坐标为 10．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为 . 11．若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是________ 13．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上； (4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 14．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． (1)求p； (2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $