第08讲 分式的基本性质、分式的运算（5个知识点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第08讲 分式的基本性质、分式的运算 （5个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1：分式 一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。 知识点2：分式的值 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值. 知识点3：分式有意义、无意义、值为零的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4：分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点5：约分、最简分式 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分 如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. 题型一：根据分式有意义、值为零的条件求值 1．（2024春•柴桑区月考）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求，的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 2．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 题型二：根据分式值的正、负确定字母的取值范围 3．（2023秋•宝山区期末）对于分式，如果，那么的取值范围是 　 　． 4．（2024秋•昌平区校级期中）若分式的值为正，则的取值范围是 　 　． 5．（2024•镇海区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是 　 　． 题型三：分式的实际应用 6．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可以买50份奖品．问：这笔钱全部用来买钢笔或日记本，各可买多少？ 7．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由． 题型四：分式基本性质的应用 8．（2022秋•松江区校级月考）如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 9．（2022秋•虹口区校级期中）若分式中和的值都扩大5倍，那么分式的值　　 A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对 10．（2022秋•静安区校级期中）和分式的值相等的分式是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•杨浦区期末）当时，的值是 　 　． 12．（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如． （1）下列分式中，属于真分式的是 　　 、 、 、 、 （2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式． 13．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 14．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号． （1）； （2）；（3）． 15．因为，所以（第一步） 所以．（第二步） （1）回答问题： ①第一步运用了 　　的基本性质； ②第二步的解题过程运用了 　　的方法，是对分式进行了 　　． （2）模仿材料解答：已知，求的值． 16．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． （1）； （2）． 17．（2024春•高州市月考）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则，，①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 18．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： （1）已知，求分式的值． （2）已知，其中，求的值． 19．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 题型五：利用分式的基本性质化简求值 20．（2024•海淀区校级开学）已知，求分式的值． 21．（2024春•金华期末）已知，求分式的值． 22．（2024春•萨尔图区校级月考）已知，，求的值． 23．（2024•平谷区二模）已知，求代数式的值． 题型六：分式在探究问题中的应用 24．（2024秋•涟源市月考）观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第个分式是 　 　． 25．（2024春•珠晖区校级月考）一组按规律排列的式子：，，，，，则第的个式子是　　． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•金山区校级月考）下列分式的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•宝山区期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 3．（2023秋•杨浦区期末）下列分式中，不是最简分式的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•奉贤区月考）如果、都不为零，且，那么可以是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•浦东新区期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共17小题） 6．（2023秋•青浦区期末）分式中的取值范围是 　　． 7．（2023秋•黄浦区校级月考）若分式的值为零，则的值是　　． 8．（2024秋•徐汇区校级期中）当满足条件 　　时，分式有意义． 9．（2024秋•黄浦区校级月考）当　　时，分式的值为零． 10．（2024•浦东新区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是　　． 11．（2023秋•杨浦区期末）若分式的值为零，则的值为 　　． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数的值的和为 　　． 13．（2023秋•浦东新区期末）分式有意义，则的取值范围是 　　． 14．（2024秋•黄浦区校级月考）当 　　时，分式有意义． 15．（2023秋•青浦区校级期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为0，则　　． 16．（2023秋•金山区校级月考）化简：　　． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）从整式、2、、中，任选两个构造一个分式 　　． 18．（2023秋•宝山区期末）化简：　　． 19．（2023秋•崇明区期末）若分式的值为零，则的值是 　　． 20．（2023秋•浦东新区期末）分式的值为0，则　　． 21．（2023秋•青浦区校级期中）约分：　　． 22．（2023秋•黄浦区校级月考）化简：　　． 三．解答题（共2小题） 23．（2023秋•徐州校级月考）已知、互为相反数，、互为倒数，求的值． 24．（2022秋•宣州区校级期中）当为何整数时， （1）分式的值为正整数； （2）分式的值是整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 分式的基本性质、分式的运算 （5个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1：分式 一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。 知识点2：分式的值 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值. 知识点3：分式有意义、无意义、值为零的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4：分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点5：约分、最简分式 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分 如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. 题型一：根据分式有意义、值为零的条件求值 1．（2024春•柴桑区月考）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求，的值． （2）在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【分析】（1）当时，分式无意义；当时，分式无意义；然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）当时，分式无意义， ， ， 解得：； 当时，分式无意义， ， ， 解得：； 的值为2；的值为1； （2）当，时，分式即为：， 分式的值为正整数， 或或， 解得：或或， 整数的值为0或1或3． 【点评】本题考查了分式的值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【分析】（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【解答】解：（1）原式； （2）原式； （3）①得， 解得； ②，得， 解得． 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． 题型二：根据分式值的正、负确定字母的取值范围 3．（2023秋•宝山区期末）对于分式，如果，那么的取值范围是 　 　． 【分析】将代入原分式后根据分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：， ， 则， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．（2024秋•昌平区校级期中）若分式的值为正，则的取值范围是 　 　． 【分析】两数相除，同号得正，而分母永远为正数，所以分子也要为正数，列出不等式求解即可． 【解答】解：分式有意义， ， ， 分式的值为正， ， ， ． 故答案为：且． 【点评】本题考查分式的值为正数的条件，解题的关键是知道两数相除，同号得正，异号得负，解题时注意平方的非负性． 5．（2024•镇海区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零得出，求解即可． 【解答】解：分式有意义， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解此题的关键． 题型三：分式的实际应用 6．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可以买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可以买50份奖品．问：这笔钱全部用来买钢笔或日记本，各可买多少？ 【分析】设钢笔每支元，日记每本元，根据题意可求出，分别代入即可求出答案． 【解答】解：设钢笔每支元，日记每本元，由题意可知 ， 化简得， 钢笔可买， 日记本可买， 答：这笔钱全部用来买钢笔可买100支，全部用来买日记可买300本． 【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型． 7．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确，并说明理由． 【分析】甲：可用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以； 乙：是否为0不能确定，所以不能用分式的基本性质． 【解答】解：甲同学的解法是正确的，乙同学的解法是错误的， 理由：分式中已经隐含了， 可用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以 甲同学的解法是正确的； 是否为0不能确定， 不能用分式的基本性质，将分式的分子与分母同除以； 乙同学的解法是错误的． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．这一性质的应用，应用性质时注意不等于0的整式是解题关键． 题型四：分式基本性质的应用 8．（2022秋•松江区校级月考）如果将分式中的和都扩大到原来的3倍，那么分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的9倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的3倍 【分析】依题意分式中每个未知量都扩大3倍后，再进行化简即可求解． 【解答】解：把和都扩大3倍后，原式， 约分后缩小到原来的， 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题的关键． 9．（2022秋•虹口区校级期中）若分式中和的值都扩大5倍，那么分式的值　　 A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．以上都不对 【分析】把分式中的分子，分母中的、都同时变成原来的5倍，就是用、分别代替式子中的、，看得到的式子与原式子的关系． 【解答】解：由分式中的和的值都扩大5倍，得 ， 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变． 10．（2022秋•静安区校级期中）和分式的值相等的分式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，将分式化简，即可选择． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；若只改变其中的一个，分式的值会改变的． 11．（2023秋•杨浦区期末）当时，的值是 　 　． 【分析】当时，则得到，代入可以求出它的值． 【解答】解：当时， ， 故的值是． 故答案为． 【点评】解题关键是用到了整体代入的思想． 12．（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如． （1）下列分式中，属于真分式的是 　　 、 、 、 、 （2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式． 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有是真分式； （2）先把化为得到，然后分成两个分式，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式． 【解答】解：（1）根据题意得是真分式． 故选． （2）． 【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 13．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． （1） （2）． 【分析】（1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【解答】解：（1）原式 （2）原式 ． 【点评】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 14．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“ “号． （1）； （2）；（3）． 【分析】根据分式的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变化简即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 【点评】本题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键． 15．因为，所以（第一步） 所以．（第二步） （1）回答问题： ①第一步运用了 　　的基本性质； ②第二步的解题过程运用了 　　的方法，是对分式进行了 　　． （2）模仿材料解答：已知，求的值． 【分析】（1）根据等式的基本性质进行解答即可； （2）令，再用表示出、、的值，代入分式进行计算即可． 【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质； ②第二步的解题过程运用了代入的方法，由得，是对分式进行了约分． 故答案为：①等式；②代入，约分； （2）， 令，则，，， 原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 16．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的基本性质解决此题． （2）根据分式的基本性质解决此题． 【解答】解：（1） ． （2） ． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 17．（2024春•高州市月考）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设， 则，，①； 所以②． （1）上述解题过程中，第①步运用了　　的基本性质； 第②步中，由求得结果运用了　　的基本性质； （2）参照上述材料解题： 已知：，求分式的值． 【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断； （2）按照阅读材料中的设法即可解答． 【解答】解：（1）上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质， 第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质， 故答案为：等式，分式； （2）设， 则，，， 所以， 分式的值为：． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握阅读材料中的设法是解题的关键． 18．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： （1）已知，求分式的值． （2）已知，其中，求的值． 【分析】（1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【解答】解：（1）设，则，，， ； （2）设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 【点评】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． 19．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【分析】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断； （2）依据题意化简即可； （3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可． 【解答】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）原式， 分式的值为整数， 或， 或或11或． 【点评】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键． 题型五：利用分式的基本性质化简求值 20．（2024•海淀区校级开学）已知，求分式的值． 【分析】由已知得到，再将原分式化简为，然后代入求值即可． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 21．（2024春•金华期末）已知，求分式的值． 【分析】由已知得到，再将原分式化简为，然后代入求值即可． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值的求法是解题的关键． 22．（2024春•萨尔图区校级月考）已知，，求的值． 【分析】先对多项式进行因式分解、变形，再代入求值，即可得到答案． 【解答】解：原式， ，， 原式． 【点评】本题考查的是分式的值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 23．（2024•平谷区二模）已知，求代数式的值． 【分析】由可得，再运用分式的运算法则化简得到，做好将整体代入即可解答． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，灵活运用分式的运算法则化简分式成为解题的关键． 题型六：分式在探究问题中的应用 24．（2024秋•涟源市月考）观察给定的分式：，猜想并探索规律，那么第个分式是 　 　． 【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是，第项是；再看分母，后面一项是前面一项的倍（第一项是，第二项是，第项是；据此可以找寻第个分式的通式． 【解答】解：先观察分子： 1、、、、； 再观察分母： 、、、； 所以，第个分式； 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律是，采用了归纳法． 25．（2024春•珠晖区校级月考）一组按规律排列的式子：，，，，，则第的个式子是　　． 【分析】根据观察可发现规律：． 【解答】解：由，，，，，得 系数是，的次数是，的次数是， 则第的个式子是， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的定义，发现规律第个分式是解题关键． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•金山区校级月考）下列分式的变形中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变． 【解答】解：中的不是分子、分母的因式，故错误； 、分子、分母乘的数不同，故错误； 、，故正确； 、分式的分子、分母同时减去同一个非0的，分式的值改变，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了分式的性质．注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0． 2．（2023秋•宝山区期末）如果将分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的2倍 D．缩小为原来的 【分析】利用分式的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得， 即将原分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值缩小为原来的， 故选：． 【点评】本题考查分式的基本性质，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（2023秋•杨浦区期末）下列分式中，不是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：、是最简分式，不符合题意； 、不是最简分式，符合题意； 、是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查最简分式，分式分子分母不能约分的分式才是最简分式． 4．（2023秋•奉贤区月考）如果、都不为零，且，那么可以是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，进行判断作答即可． 【解答】解：由分式的基本性质可得，， 可以是，符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 5．（2023秋•浦东新区期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】分子、分母分别进行因式分解，然后约分． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 二．填空题（共17小题） 6．（2023秋•青浦区期末）分式中的取值范围是 　　． 【分析】根据分式有意义的条件即可求得答案． 【解答】解：分式中的取值范围是， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 7．（2023秋•黄浦区校级月考）若分式的值为零，则的值是　　． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：由题意可得且， 解得． 故答案为：． 【点评】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 8．（2024秋•徐汇区校级期中）当满足条件 　　时，分式有意义． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 时，分式有意义， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 9．（2024秋•黄浦区校级月考）当　6　时，分式的值为零． 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题意得：且， 解得， 故答案为：6． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 10．（2024•浦东新区校级三模）若分式有意义，则的取值范围是　　． 【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 11．（2023秋•杨浦区期末）若分式的值为零，则的值为 　　． 【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可． 【解答】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 12．（2023秋•浦东新区校级期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数的值的和为 　8　． 【分析】根据题意确定的值后将它们相加即可． 【解答】解：分式的值为正整数，为整数， 或2或3或6， 则或1或2或5， 则， 故答案为：8． 【点评】本题考查分式的值，结合已知条件求得符合题意的的值是解题的关键． 13．（2023秋•浦东新区期末）分式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：要使分式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 14．（2024秋•黄浦区校级月考）当 　　时，分式有意义． 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 15．（2023秋•青浦区校级期中）已知时，分式无意义，时，此分式值为0，则　　． 【分析】根据分式无意义的条件、分式的值为0的条件分别求出、的值，代入代数式即可求解． 【解答】解：时，分式无意义， ， ， 时，此分式值为0， ， ， ． 【点评】本题考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，掌握分式无意义的条件，分式值为0的条件是解题的关键． 16．（2023秋•金山区校级月考）化简：　　． 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）从整式、2、、中，任选两个构造一个分式 　（答案不唯一）　． 【分析】根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式 【解答】解：2和可构造分式． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数． 18．（2023秋•宝山区期末）化简：　　． 【分析】先把分式的分母分解因式，再根据分式的基本性质进行约分即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了约分，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键． 19．（2023秋•崇明区期末）若分式的值为零，则的值是 　2　． 【分析】根据分式值为零的条件可得，且，求出的值即可． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 20．（2023秋•浦东新区期末）分式的值为0，则　3　． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：因为分式值为0，所以有，．故答案为3． 【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件． 21．（2023秋•青浦区校级期中）约分：　　． 【分析】先分解因式，再进行约分即可得． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键． 22．（2023秋•黄浦区校级月考）化简：　　． 【分析】先将分子和分母分别进行因式分解，再运用分式的性质化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了约分，解题的关键是掌握分式的基本性质和因式分解． 三．解答题（共2小题） 23．（2023秋•徐州校级月考）已知、互为相反数，、互为倒数，求的值． 【分析】利用相反数，倒数的定义求出，的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：和互为相反数，和互为倒数， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 24．（2022秋•宣州区校级期中）当为何整数时， （1）分式的值为正整数； （2）分式的值是整数． 【分析】（1）若使该式的值为正整数，则能够被4整除，所以可以为1，2，4；即，0.5，1.5；由为整数得，即可； （2）分式进行变形，化为，若要使值为整数，则的值一定是整数，则一定是3的约数，从而求得的值． 【解答】解：（1）若使该式的值为正整数，则能够被4整除， 可以为1，2，4， ，0.5，1.5， 为整数，； （2）， 的值为整数，且为整数； 为3的约数， 的值为1或或3或； 的值为2或0或4或． 【点评】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$