专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 求两个位似图形的周长比 题型八 求两个位似图形的面积比 题型九 在坐标系中画位似图形 题型十 位似图形中的相关规律问题 题型十一 位似图形中的多结论问题 知识点：图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【经典例题一 位似图形的识别】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    3．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 【经典例题二 判断位似中心】 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【经典例题三 位似图形相关概念辨析】 【例3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【经典例题四 求两个位似图形的相似比】 【例4】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点共线，点为位似中心． (1)与平行吗为什么 (2)若，，求的长． 【经典例题五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例5】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（    ）    A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 1．（23-24·山东潍坊·一模）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24·湖南郴州·中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 ．    3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，；请解答下列问题： (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (2)以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，画出，并写出点坐标． 【经典例题六 求位似图形的对应坐标】 【例6】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （     ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出并写出点坐标； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 【经典例题七 求两个位似图形的周长比】 【例7】（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（    ） A．18 B．27 C．32 D．36 1．（23-24·重庆渝中·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）    A．10 B．6 C．5 D．4 2．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 ．    3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【经典例题八 求两个位似图形的面积比】 【例8】（23-24八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24·重庆九龙坡·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．18 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【经典例题九 在坐标系中画位似图形】 【例9】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·专题练习）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标； （2）△A1B1C与△ABC的面积比为　　． 3．（陕西省渭南市部分学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【经典例题十 位似图形中的相关规律问题】 【例10】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 2．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位． （1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出． （2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点． （说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．） 【经典例题十一 位似图形中的多结论问题】 【例11】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（  ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 2．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A．18 B．12 C．24 D．9 6．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B，E在第一象限，若点A的坐标为，则点E的坐标是 ． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 8．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到，则点A的对应点C的坐标是 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，和的面积之比为，点的坐标为；若点的横坐标为8，则点的对应点的横坐标为 ． 11．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：    (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； (2)以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）． (1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为； (2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正方形，按如图位置依次摆放，已知点，，，，在直线上，点的坐标为． (1)写出正方形的位似中心坐标 (2)求正方形四个顶点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的位似重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 求两个位似图形的周长比 题型八 求两个位似图形的面积比 题型九 在坐标系中画位似图形 题型十 位似图形中的相关规律问题 题型十一 位似图形中的多结论问题 知识点：图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【经典例题一 位似图形的识别】 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·山东滨州·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    【答案】16 【分析】根据位似图形的判定可得四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形，然后根据位似图形的性质可得，然后根据三角形中位线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形与四边形的对应边平行， ∴四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形 ∴ ∵是的中位线，若四边形的面积4， ∴EH=2AD ∴ 解得： 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质，掌握位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质是解决此题的关键． 3．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，在正方形网格中，每个最小正方形的边长均为1． (1)求证：； (2)和是位似三角形吗？如果是，请在图中画出位似中心的位置O；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和是位似三角形，见解析 【分析】（1）运用勾股定理求出两个三角形各边的长，再根据相似三角形的判定方法进行判断即可； （2）利用位似图形的性质进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵每个最小正方形的边长均为1， ∴，， ，， ∵ ∴ ∴ （2）和是位似三角形，位似中心的位置O如图所示： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的性质，注意位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 【经典例题二 判断位似中心】 【例2】（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 1．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（　　） A．（8，0） B．（8，1） C．（10，0） D．（10，1） 【答案】C 【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0）， 故选：C． 【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．    【答案】P． 【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心. 【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P． 故答案为：P．    【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心. 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；； （3）解：如图，即为所求． 【经典例题三 位似图形相关概念辨析】 【例3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3．若，则的长为（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查位似三角形的性质，根据位似图形的性质得到，从而得到，继而得解．掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：OD=18， 故选：B． 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)画出绕点O顺时针旋转后得到的； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； (3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求；    （2）解：如图1，即为所求； （3）解：由中心对称、位似的性质可知，，． 【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 【经典例题四 求两个位似图形的相似比】 【例4】（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，与是位似图形，点为位似中心，且，，则位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据与是位似图形，得出，相似比为，据此即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形，点为位似中心， ∴， ∵，， ∴相似比为， 即位似比为． 故选：B． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，点的坐标为，点A的坐标为，则相似比为 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理算出，，再结合位似的性质进行列式代入数值，进行计算即可作答．本题考查位似变换，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴相似比为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与是位似图形，点共线，点为位似中心． (1)与平行吗为什么 (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（）利用位似图形的性质，得出； （）利用位似图形的性质得出，即可得出答案； 此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）与平行， 理由： ∵与是位似图形，点共线， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． 【经典例题五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例5】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（    ）    A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 和的周长之比为， ， ， 故选：B． 1．（23-24·山东潍坊·一模）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求得、、的坐标，画出图形，根据求线段中点的坐标公式，即可求得． 【详解】解：、、，将向左平移4个单位，得到， 、、， 如图： 以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内， 的坐标为，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移和位似作图，熟练掌握和运用平移和位似作图的方法是解决本题的关键． 2．（23-24·湖南郴州·中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是 ．    【答案】． 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3）， ∴点A1的坐标是：， 即A1． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，；请解答下列问题： (1)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (2)以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，画出，并写出点坐标． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了画轴对称图形与位似图形，写出变换后点的坐标等知识． （1）由点坐标得到关于y轴的对称点的坐标并描出各点，依次连接即可，从而也可得到点的坐标； （2）画出点的对应点，并依次连接即可，也可得到点的坐标． 【详解】（1）解：关于轴对称的图形如下： 的坐标为； （2）解：以点O为位似中心在y轴右侧，将缩小到原来的一半，如图，即为所求作三角形． 点的坐标为． 【经典例题六 求位似图形的对应坐标】 【例6】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点A的坐标为，则点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点A的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，O为位似中心，相似比为， ∴， ∵点A的坐标为， 即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴E点的坐标为：． 故选：B． 1．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是和是对应顶点，和是对应顶点．本题考查位似变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：正方形和正方形中和点的坐标分别为，， 、、， （1）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 此函数的解析式为， 当时，则， 与的交点坐标是； （2）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得， 故此一次函数的解析式为①， 同理，设所在直线的解析式为， ， 解得：， 故此直线的解析式为②， 联立①②得， 解得， 故与的交点坐标是． 综上所述：位似中心的坐标是：或． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到． (1)在图中画出并写出点坐标； (2)若内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是______． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了坐标系中位似图形的画图，位似点的坐标计算，熟练掌握作图，坐标计算方法是解题的关键． （1）根据位似中心，结合位似比，画图即可． （2）根据位似坐标计算方法即起始点坐标的位似比倍或位似比的相反数倍计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，．以原点O为位似中心将向右侧放大两倍得到， 则，画图如下： 则即为所求． （2）内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是， 故答案为：． 【经典例题七 求两个位似图形的周长比】 【例7】（2024·湖南衡阳·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的周长为9，则的周长为（    ） A．18 B．27 C．32 D．36 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ，， ， ， ， ， 的周长为9， 的周长为36． 故选：D 1．（23-24·重庆渝中·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为15，则的周长为（   ）    A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形 ∴ 的周长为15， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，位似三角形的性质，解题关键是“相似三角形周长之比等相似比”． 由与位似可得出与相似，又已知位似比，相似比就等于位似比就等于相似三角形周长比． 【详解】与位似， ， ， ， 的周长为4， 的周长为2． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，． (1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，位似图形的性质和画位似图形： （1）根据B、C坐标确定坐标轴的位置，画出坐标系，再求出点A坐标即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点的坐标，描出，再顺次连接；利用勾股定理求出对应的边长，进而求出周长，再根据位似图形的周长之比等于位似比即可得到答案． 【详解】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∵，，， ∴，， ， ∴的周长为， ∵与的相似比为， ∴与的周长比为， ∴的周长为． 【经典例题八 求两个位似图形的面积比】 【例8】（23-24八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得，，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 与位似， ， ； 故选：C． 1．（23-24·重庆九龙坡·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，的面积为2，则的面积为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．18 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：与是以原点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， ， ， 的面积为2， 的面积为18， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是 ． 【答案】375 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：375． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 【经典例题九 在坐标系中画位似图形】 【例9】（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 2．（23-24九年级·全国·专题练习）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（﹣3，﹣4）、C（﹣1，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）以点C为位似中心，在网格中画出△A1B1C，使△A1B1C与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A1的坐标； （2）△A1B1C与△ABC的面积比为　　． 【答案】（1）见解析，A1的坐标为（﹣3，0）；（2）4：1 【分析】（1）延长CA到A1使AA1＝CA，延长CB到B1使BB1＝CB，从而得到△A1B1C；然后写出点A1的坐标； （2）根据面积的比等于位似比的平方求解． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C为所作；点A1的坐标为(﹣3，0)； （2））∵△A1B1C与△ABC的位似比为2：1， ∴△A1B1C与△ABC的面积比为4：1． 故答案为4：1． 【点睛】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质． 3．（陕西省渭南市部分学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)在轴右侧，以原点为位似中心，画出，使它与位似，且相似比为（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)在（1）的条件下，求的面积． 【答案】(1)件解析 (2)1 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）连接，并延长使，同理作出点和点的对应点，再顺次连接即可得； （2）先求出的面积，再利用相似三角形的性质得出两个三角形的面积比求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：根据图象可得， ∵与的相似比为， ∴与的面积比为， ∴面积． 故答案为：1． 【经典例题十 位似图形中的相关规律问题】 【例10】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 1．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】 本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】 解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 正方形的边长为， ， ， 同理可得， ， ， 正方形的边长为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积为， …… ∴正方形的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知如下图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位． （1）将图1中的格点，按照的规律变换得到，请你在图1中画出． （2）在图2中画出一个与格点相似但相似比不等于1的格点． （说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）按题中要求，把图形上的每个关键点图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1单位后，依次连接各个关键点，即可得出要画的图形； （2）根据平移作图的规律作图即可做个位似图形即可，相似比可以是1：2． 【详解】（1）如图1．（2）如图2． （答案不唯一） 【点睛】本题考查了作图-平移变换、作图-位似图形，根据要求作图是解题的关键． 【经典例题十一 位似图形中的多结论问题】 【例11】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（  ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点，，三点在同一直线上，， ， ∴， ∴A选项错误，符合题意． 故选:A． 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024·湖南郴州·二模）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得到，则下列说法错误的是（　　） A．与位似 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， C、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D∴与的周长之比为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ） A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：、、的中点分别为、、， ∴，，，，，， ∴， 与是位似图形，位似中心为点，A选项不符合题意； 与是相似图形，B选项不符合题意； 与的周长比是，C选项不符合题意； 与的面积比是，D选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为6，则的周长是（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，进而得到，则，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为18， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图，小雪利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置．她在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为O，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高，则蜡烛到薯片筒底部小孔O的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，过点作于点，于点，先判定，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， 根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选B． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了位似变换、等腰直角三角形的判定和性质、图形和坐标等知识．过点C作轴于点D，则，得到点C的坐标为，根据以点为位似中心，按照的比例缩小，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 在中，，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵以点为位似中心，按照的比例缩小， ∴点的坐标为， 故选：A 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了图形位似，坐标与图形．熟练掌握位似图形的面积比等于相似比平方，坐标与图形的性质，是解决问题的关键． 由与是位似比为的位似图形，得到面积比等于位似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点O为位似中心，位似比为，点B，E在第一象限，若点A的坐标为，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键． 根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为，点A的坐标为， ，即， 解得，， 则点的坐标为， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与是位似图形， ，， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：8． 8．（2024·山东东营·模拟预测）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到，则点A的对应点C的坐标是 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进行计算即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为， 点C的坐标为或，即或， 故答案为：或． 9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将放大后得到．点， ∴与的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵与的相似比为， 则与的面积比是， 故答案为：；． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，和的面积之比为，点的坐标为；若点的横坐标为8，则点的对应点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的判定与性质，作轴于，于，则，得出，即，由和的面积之比为，得出和的相似比为，即可得出的长，从而得解． 【详解】解：如图，作轴于，于， ， 则， ∴， ∴， ∵点的坐标为；若点的横坐标为8， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形，和的面积之比为， ∴和的相似比为， ∴， ∴， ∴， ∴点的对应点的横坐标为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上，，，点落在格点上． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)将向右平移4个单位长度得到，画出． (3)以点为位似中心，将放大为原来的2倍．得到．画出． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣位似变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，平移变换的性质． （1）根据坐标系直接写出坐标即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． 【详解】（1）解：根据坐标系可得：； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：如图所示，为所求． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：    (1)在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应 ，，； (2)以点为位似中心，在x轴上方作出，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； (3)直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于轴对称的点、、，依次连接即可解答； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所求；    （2）解：如图，为所求； （3）解：点的坐标为． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）． (1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为； (2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线l是的切线，理由见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定： （1）根据题意可得，，据此作图即可； （2）连接，作于点C，设和的半径分别为．由切线的性质得到，则可证明，得到，再由和的关于点P位似，得到，则，据此可证明直线l是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求； 由题意得，， 由，得到，； （2）解：直线l是的切线，理由如下： 如图，连接，作于点C， 设和的半径分别为． ∵直线l是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的关于点P位似， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴直线l是的切线． 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正方形，按如图位置依次摆放，已知点，，，，在直线上，点的坐标为． (1)写出正方形的位似中心坐标 (2)求正方形四个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查位似变换、一次函数图象上点的坐标特点以及正方形的性质，解答本题的关键是正确得出各线段的长； （1）直接利用位似图形的性质可知，对应点连线的交点即为位似中心坐标点，据此即可得到答案； （2）利用一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质得出各线段的长，即可得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，正方形的位似中心坐标为． （2）解：∵点，，，，在直线上，点的坐标为， ∴，则， ∴， 则， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$