精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由特称命题的否定判断． 【详解】由题意得，的否定是，， 故选：B 3. 下列函数中为偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性,得到答案. 【详解】对于A选项，，定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数，故A错误； 对于B选项，函数，定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为，关于原点对称，， 所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，函数，其定义域为,关于原点对称，， 所以是奇函数，不是偶函数，故D错误， 故选：C. 4. 已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把各个数都转化为的形式，结合幂函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为在上是增函数，且，所以. 故选：D. 5. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象. 【详解】由的解集为， 可知函数的大致图象为选项D中的图象， 又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项. 故选:C． 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求最小值． 【详解】， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8. 故选：C． 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性得到不等式，求出，根据是的真子集，得到答案. 【详解】函数在上单调递增， 故，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 方程有无数解 D. 函数f（x）的值域为Z 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，可得答案. 【详解】由题意，设，则， 对于A，显然，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，由函数定义，可得D正确. 故选：ACD. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例判断选项AC错误；利用作差法判断B选项，利用不等式的性质判断D选项即可. 【详解】对于A，当时，，故选项A错误； 对于B，因为,所以，所以，故选项B正确； 对于C，当时，，故选项C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，故选项D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分及解不等式即可得；对D：分别求出当时，时，的取值范围即可得. 【详解】对A：因为，则，故A正确； 对B：当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 对C：当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 对D：当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D错误； 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用函数的对称性定义验证即可；选项B，计算值域即可；选项C，根据函数的单调性运算判断单调性即可；选项D：找到，计算即可. 【详解】由题可知 选项A：由题可知，所以得，故的对称中心为，选项A正确； 选项B：因为，显然，所以的值域为，选项B错误； 选项C：当时，单调递减，所以单调递增，所以单调递增，选项C正确； 选项D：，所以，所以有，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. =______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数运算性质计算即可得出结果. 【详解】＋ ＝. 故答案为： 13. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据求定义域的法则求解. 【详解】要使函数有意义， 需满足，即， 则函数的定义域为， 故答案为：. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设的对称中心为，根据函数为奇函数可得，构造方程组即可解得. 【详解】根据题意，设的对称中心为， 则由函数为奇函数可得， 变形可得，即； 整理可得，所以； 解得，所以其对称中心为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数经过． （1）试求函数的解析式； （2）写出函数的单调区间． 【答案】（1） （2）单调减区间为和 【解析】 【分析】（1）设出的表达式，利用点进行求解. （2）根据函数的单调性求得正确答案. 【小问1详解】 设幂函数，．由函数经过点得，∴． 所以，幂函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得幂函数的解析式为， 定义域为，其单调减区间为和． 16. 给定函数. （1）在同一坐标系中画出函数的图像， （2）若表示中的较小者，例如.记. （i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间， （ii）当时，求的最大值和最小值 【答案】（1） （2）（i），图象答案见解析，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；（ii）， 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接画一次函数和二次函数的图象即可， （2）（i）结合（1）作出的图象求解即可，（ii）结合图象求出，比较可求出其最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，得，解得或， 则由题意可知：， 的图象如下： 由图象可知：的单调递增区间为和； 的单调递减区间为； （ii）因为，结合图象可知在上连续， 且，， ，， 所以，， 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）判定的奇偶性； （3）判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】（1） （2）奇函数 （3） 任取，则， ，，， 在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由可构造方程求得； （2）利用奇偶性定义直接判断即可； （3）任取，可证得，由单调性定义可得结论. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由（1）得：，则定义域为， ，为定义在上的奇函数. 【小问3详解】 略 18. 已知函数为上的奇函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数满足不等式，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质结合题意可得当时，，设，则，利用奇偶性可得时的解析式，可得的解析式； （2）由（1）可得的单调性，根据函数的单调性、奇偶性结合列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数， 且当时，， 所以， 又，解得， 所以当时，， 设，则， ， ， . 【小问2详解】 由（1）知， 可得在上是减函数， 又为奇函数，， ， 解得， 所以的取值范围是. 19. 对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间 （1）求函数的所有“保值”区间 （2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数的值域是，可得，从而函数在区间上单调，列出方程组，可求解； （2）根据已知保值区间的定义，分函数在区间上单调递减和函数在区间单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案. 【详解】（1）因为函数 的值域是，且在的最后综合讨论结果， 即可得到值域是 ，所以，所以，从而函数在区间上单调递增， 故有，解得 . 又 ，所以.所以函数的“保值”区间为 . （2）若函数存在“保值”区间，则有： ①若，此时函数在区间上单调递减， 所以 ，消去得，整理得 . 因为，所以 ，即.又 ，所以. 因为 ，所以. ②若 ，此时函数在区间上单调递增， 所以，消去 得，整理得. 因为，所以，即. 又 ，所以. 因为 ，所以 . 综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中为偶函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则、、的大小顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 方程有无数解 D. 函数f（x）的值域为Z 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 的值域为 C. 在区间上单调递增 D. 的值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. =______ 13. 函数的定义域为______． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数图象的对称中心为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数经过． （1）试求函数的解析式； （2）写出函数的单调区间． 16. 给定函数. （1）在同一坐标系中画出函数的图像， （2）若表示中的较小者，例如.记. （i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间， （ii）当时，求的最大值和最小值 17. 已知函数，且． （1）求的值； （2）判定的奇偶性； （3）判断在上的单调性，并给予证明． 18. 已知函数为上的奇函数，当时，，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数满足不等式，求实数t的取值范围. 19. 对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足：①在[a,b]上是单调函数，②函数在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数的“保值”区间 （1）求函数的所有“保值”区间 （2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $