精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

宁朔中学2024-2025（一）高二数学期中考试测试卷 出卷人：张艳荣 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 2. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角求出直线斜率，然后用斜截式方程即可得解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为． 又直线在轴上的截距是3，代入截距式方程得． 故选：C 3. 下列各组向量，不能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，令，得，即无解，向量不共面，能构成空间基底； 对于B，因为，所以，即共面，不能构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，能构成空间基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，能构成空间基底. 故选：B. 4. 已知在三棱柱中，侧棱底面，点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得异面直线夹角的余弦值，从而得解. 【详解】依题意，建立空间直角坐标系，如图，设， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 故选：A 6. 在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为 . 故选：D 7. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 8. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 二．多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若向量，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. ∥ D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算判断A；求出两向量的模，判断B；根据向量平线的定义判断C；求出两向量的数量积，判断D. 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 10. 下列说法正确的有（ ） A 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 若，则直线不经过第二象限 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，将直线变形为点斜式，求出所过定点；B选项，根据两直线平行，得到方程，求出实数的值，检验后得到答案；C选项，直线变形为斜截式，得到斜率与与轴截距，得到C正确；D选项，求出过定点，画出图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】A选项，， 故直线恒过定点，A正确； B选项，两直线与平行，则， 解得或， 当时，两直线与满足要求， 当时，两直线与满足要求， 综上，或，B错误； C选项，若，则直线变形为， 直线斜率，与轴截距为 直线经过一，三，四象限，不经过第二象限，C正确； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中，， 则要想直线与线段相交，则直线斜率或， 解得或，D错误. 故选：AC 11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B. 轨迹C上的点到直线的最小距离为 C. 若点在轨迹C上，则的最小值是 D. 圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D. 【详解】设，由， 整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故A正确； 圆心到直线的距离， 所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误； 设，易知圆心到直线的距离 ，故C正确； 易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意， 则圆心距，解之得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答． 【详解】依题意，，而为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离, 故答案为： 13. 已知圆与圆的交点为，则直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由两圆方程作差后求解. 【详解】， 两圆方程相减可得：. 故答案为： 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程； （2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程. 【小问1详解】 由，由两点式可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程； 【小问2详解】 由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 16. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量垂直证明； （2）利用向量法，线面角的求法求解. 【小问1详解】 解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则 因为 ， 且， 所以 ， 又，平面， 所以 平面； 【小问2详解】 由（1）可知，为平面AB1C的一个法向量， 又， 所以 所以直线B1C1与平面AB1C所成角的正弦值为， 故直线B1C1与平面AB1C所成角的余弦值为 17. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程，结合圆的标准方程，得出不等式，即可求解； （2）根据题意，求得圆与圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆相外切，列出方程，即求解； （3）利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. 【小问3详解】 由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明. （3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 又，且平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（1）知，，且， 设平面的法向量为，则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此，而，则， 所以平面与平面的夹角为. 19. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁朔中学2024-2025（一）高二数学期中考试测试卷 出卷人：张艳荣 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知圆方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量，不能构成空间基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在三棱柱中，侧棱底面，点分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若向量，，则下列结论正确为（ ） A. B. C. ∥ D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 若，则直线不经过第二象限 D. 点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B. 轨迹C上的点到直线的最小距离为 C. 若点在轨迹C上，则的最小值是 D. 圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12. 已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________． 13. 已知圆与圆的交点为，则直线方程为______． 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 16. 如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知关于的方程. （1）若方程表示圆，求m的取值范围； （2）若圆与圆外切，求的值； （3）若圆与直线相交于两点，且，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 19. 已知线段AB端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$